高中数学问题串教学的现状及思考*

☉江苏省溧水高级中学 李宽珍

高中数学问题串教学的现状及思考*

☉江苏省溧水高级中学 李宽珍

问题串教学模式是当今教育研究的一个重要主题，在国外的教育研究中已有相当的基础.20世纪在以皮亚杰、卡茨、维果斯基等为代表物的“建构主义”学习理论认为，问题是开启思维的钥匙，教学活动可以通过解决问题展开.因此，开展问题串教学，学生根据教师设计的问题，在解决问题和不断发现问题中优化学习方法，优化思维品质.“建构主义”理论中这种以“解决问题为主线”为问题串教学模式提供了理论依据，问题串教学模式提倡学生动手实践、自主探索、解决问题.

一、问题串教学的内涵

问题串教学是指教师按照学生的学情和教学任务，将教学内容设计成一系列的基础性问题和核心问题，并将这些问题排列成一个由浅入深、循序渐进的问题串，通过对学生提问，引导学生思考，并积极参与到教学探究中，促进学生达成教学目标的教学方法.

二、高中数学课堂中运用问题串教学的现状

通过调查，高中数学课堂教学模式很多，大多数仍以讲授为主，利用问题串来引导教学的教学方法没有普遍运用，究其原因，大致体现在下面几个方面：

（一）缺乏对学生学习主体性的认识

新课改以来，大部分教师在日常的高中数学课堂教学中时常采用一些生动的情景或与数学概念有关的生活现象来导入.然而，这些引入往往脱离学生实际生活，不能与教学内容紧密相连.另外，不少教师追求圆满答案，急于完成教学内容，对学生进行“灌注”知识，导致学生被动地接受知识，忽视了学生的主体地位，不利于提高学生的创新意识和思维能力的培养，不能有效促进学生的健康发展.

（二）缺乏对问题串教学的重视

不少教师以为只要是问题都是有益于课堂的，因此课堂虽然充斥着问题，杂乱无章，不成体系.我们知道，孤立的问题对学生思维发展的作用微乎其微.学生只有在问题串的引领下，进行系列、连续的思维活动，才能提升思维能力.单个的问题设置缺乏鲜明的课堂主线，学生不能有效地把握整个课堂，使得整个课堂缺乏紧凑性，从而不能够达到其理想的效果.

（三）缺乏问题串教学的实践经验

通过调查研究，我们发现，不少高中数学教师都能意识到使用问题串教学的益处和重要性，并且也都在积极使用问题串教学.然而，对于不同的课型的问题串教学，其问题的设计教学策略与方法都不明确，没有一个很好的教学模式，缺少问题串教学的实践经验.这样看似整个课堂上是问题满堂跑，却不能有效培养学生的学习兴趣与思维能力，还降低了课堂教学效果.

三、高中数学课堂教学中问题串设计策略的思考

（一）根据教学目标设计问题串

在数学课堂教学中，根据教学内容和目标精心设计问题串，做到谆谆善诱，于无意识中激发学生的兴趣和积极的探究热情，提高学生的数学素养.

案例1“两角和与差的余弦”的问题串设计.

教学目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，能应用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明；在亲身经历中感受数学发现的过程，体会向量和三角函数的联系；渗透分类讨论、化归与转化和由特殊到一般的数学思想方法.

根据本课教学目标，可以设计如下问题串来突破难点：

问题（1）按下面两种要求进行计算，你发现了什么？

设向量a=（cos75°，sin75°），b=（cos15°，sin15°），试分别计算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2.（苏教版《数学》必修4的第83页探究·拓展题）

问题（2）下面计算的依据是什么？cosx+sinx=（cosx， sinx）·（1，1）=，其中θ为向量（1，1）与向量（cosx，sinx）的夹角.（苏教版《数学》必修4的第93页3.1节前言）

问题（3）这两个情景有什么共同点？

问题（4）cosx+sinx怎样化为Asin（ωx+φ）？

问题（6）你能说出cos（α-β）与α和β的三角函数的关系吗？对这个猜想能给出证明吗？证明的方法是什么？

问题（7）如何推导cos（α+β）呢？

设置意图：问题串中问题（1）、（2）的两个提问，创设学习的情境，主要是为了激发学生的学习兴趣、引起学生对本节课所学的思考.通过问题（3）～（6）的思考，进行归纳猜想，再由问题（3）思考证明的方法.整个解决问题的过程循序渐进，层层深入，不断挑战学生的思维，使学生在解决问题的过程中掌握了知识，并知晓了知识的发生、发展、形成等过程，提高了创新的能力.

（二）根据教育原则设计问题串

1.因材施教原则

教师所提出的问题应依据课程标准，将教材中的知识以问题形式呈现.提出的问题必须要有一定的针对性和准确性，针对教材和教学目标中的要求，注意突出教材中的重点，使学生在解决问题的过程中实现教学目标.设计的问题要求通俗易懂，条理清晰，表达准确，言简意赅，避免出现词不达意、模棱两可的表述.

2.循序渐进原则

通过问题串的设置，循序渐进地提出由浅入深的问题，引领学生对知识的理解逐步深入；同时激发学生最大限度地来体验与参与发现、设计创新，形成一种积极、主动、探究的高效学习方式.下面以一道课本题的问题串设置来说明.

这是苏教版数学必修2第129页第26题，解决完此题后可以设置问题串，让学生对直线与曲线相交有更深刻的认识.

设置意图：思考源于问题，随着问题的深入，学生对用“数形结合的思想解题的认识更加深刻，在此过程中学生经历观察、比较、概括、猜测、推理等思维活动，不断尝试成功，增加了学习积极性，有效地培养学生的逻辑思维.

3.启发性原则

在问题串教学中，要加强多个问题之间的相互联系，注意上一问题对下一问题的启发性.问题是培养学生思维能力的重要载体，具有启发性的问题能激活学生思维、培养学生严谨的思维能力，下面结合“平面向量基本定理”教学来具体说明.

案例3“平面向量基本定理”教学.

师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一个有序实数对来表示，那么平面内的任一个向量，如何表示呢？能否用特定的向量来表示？

问题（1）平面内任一向量能否用特定的向量来表示？怎样表示？例如e为平面内给定的非零向量，能否用e来表示平面内任一向量a？

问题（2）a和e一定共线吗？若a和e不共线，能否用e来表示a？

问题（3）既然用一个向量e不能表示平面内任一向量？那么用两个向量是否可以表示了？

问题（4）设e1，e2为平面内给定的两个非零向量，能否用e1，e2来表示平面内任一向量a？

问题（5）若e1，e2不共线呢？能否用e1，e2来表示平面内任一向量a？

问题（6）λ1，λ2为什么是存在且是唯一的一对实数？

问题（7）设m1，m2为平面内给定的另两个不共线向量，能否用m1，m2来表示平面内任一向量a？

问题（8）m1，m2可以成为平面内所有向量的一组基底吗？一组向量成为基底有什么条件吗？

问题（9）能成为平面内一组基底的向量有多少对？

问题（10）已知△ABC中，G为重心，过G的直线EF交 CA，CB于E，F，且，试探究是否为定值？

设置意图：通过前面一系列问题的提出、引领和解决，学生对平面向量基本定理的来龙去脉了解透彻，对问题（10）的探究，选取合适的基向量是学生容易想到，关键是如何用基向量来表示平面内的其他向量，这种表示是存在的并且是唯一的，这也是平面向量基本定理的要义所在.

（三）根据教学内容设计问题串

1.课堂引入时运用问题串创设情境

数学是枯燥的，但若能在枯燥的数学学习中引入故事，不仅能吸引学生的注意力，而且能点亮我们的数学课堂，使数学变得生动有趣.因此，为有效激发学生的学习兴趣，可根据学生心理发展需求，引入一些与教学内容有关的小故事，引发学生的连串思考.下面以“指数函数及其性质”教学为例说明.

案例4“指数函数及其性质”的教学.

教学活动——折纸：将一张面积为1个单位的矩形纸片按同样的方式对折x次后.

问题（1）纸的层数y与次数x有什么关系？

问题（2）纸的面积s与次数x有什么关系？所列出的式子是函数吗？为什么？

问题（3）这些函数有什么共同特点？

问题（4）初中学过的一次函数、反比例函数和二次函数都可以用一般的形式表示，那么上面的两个式子如何用一般的形式来表示呢？如何给这个函数命名？

问题（5）你能再举几个例子吗？能否归纳一下底数的取值范围？

设置意图：以学生熟悉的折纸问题为背景提出实例，从学生已有的知识出发，逐层递进学习新知，在解决问题的过程中，激发了学生的学习兴趣，让学生体会到数学来源于生活实际，而且为顺利引出指数函数定义作了铺垫，实现了从特殊到一般、感性认识到抽象思维的过渡.定义中对a的规定是本节课的一个难点，通过问题来突破难点，培养学生思维的严谨性.

2.习题课时通过问题串来分解难度

在教学习题课时，若原题难度较大，学生一时难以想到，可以在学生的思维起点处设置问题串，逐步打开学生的思维，将学生的思维逐步引入到更高的层次.

案例5已知函数f（x）=x|x-a|-b，a，b∈R.当x∈［0，1］时，f（x）＜0恒成立，求实数b的取值范围（结果用a表示）.

本题是含绝对值的二次函数问题，考查学生运用分类讨论和数形结合解决问题的能力，此类问题难度较大，可以在学生的难点处设置相应的问题串，逐个突破难点.

问题（1）作出下列函数的图像并指出其单调性：①f（x）=x|x|；②f（x）=x|x-2|；③f（x）=x|x+2|.

问题（2）请作出函数f（x）=x|x-a|（a＞0）的图像，并讨论：f（x）在x∈［0，1］上单调递增时，实数a的取值范围.

问题（3）请作出函数f（x）=x|x-a|（a∈R）的图像，并讨论：f（x）在x∈［0，1］上单调递增时，实数a的取值范围.

问题（4）已知a∈R，设函数f（x）=x|x-a|-x.

①当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

②当a≤1时，对于任意的x∈［0，t］，不等式-1≤f（x）≤6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值.

设置意图：这组问题串将本题难点还原到思维的起点.由问题（1）中三个具体含绝对值的二次函数到问题（2）中的一般函数情况.逐步推进，引导学生最终解决问题.问题（4）通过形似异质问题的辨析，不仅让学生巩固了分类讨论、数形结合的思想方法，还让学生的思维得到进一步的突破，克服了知其然不知其所以然的弊病.

四、几点思考

问题串教学能够在实际教学中取得长远的收益，在设计问题串教学时，教师应深入思考以下几个问题：（1）问题串的设计是否有目的性？问题必须具有鲜明的目的性.每一个题目都不可缺少，在整个课堂中，都有它的目的和作用.提出这样的问题的原因是什么？对解决问题起什么作用？（2）问题串的设计是否有启发性？问题与问题之间，需要有思维搭桥的地方，隐秘地帮助学生.（3）问题串的设计是否有梯度性？问题串的设计需要有合理的梯度.既能通过问题的解决发展学生的思维，又能让学生通过自己的努力，最终顺利地解决问题，“跳一跳，就能摘到桃子”，促使学生享受成功的喜悦，增强自信.（4）问题串的设计是否有导向性？需针对学生的易错点设计问题串，引发学生的认知冲突.将“问题串”的教学方法引入到高中数学教学中，能有效地将学生引入到教学情境中，充分发挥学生的主体作用和调动学生的积极性，提高教师的教学水平.因此，为更好地发挥“问题串”教学方法的作用，实现学生各方面素质水平的全面提高，高中数学教师要树立“以学生为本”的教学意识，不断提高自己的知识水平和专业文化素养，提高问题串的设计能力.

*本文系南京市教育科学“十二五”2015年度立项课题《高中数学“问题串”教学模式的实践研究》的阶段成果，课题编号：L/2015/244.