例谈高中数学的解题教学的几点想法

☉江苏省西亭高级中学 黄素霞

例谈高中数学的解题教学的几点想法

☉江苏省西亭高级中学 黄素霞

著名数学教育家波利亚曾说过：“掌握数学就意味着要善于解题.”因此，“中学数学教育的首要任务就是要加强解题训练”，但并不能断章取义地认为加强解题训练就是力求“多而全”，与其囫囵吞枣般的“见多识广”，不如静下心来专注其一.解题教学就是要教会学生如何解题、怎样解题，而不仅仅是给学生讲题、把题讲懂.在教学的过程中，经常听到学生说自己上课能听懂教师讲的内容，但拿到习题就不会做，其实这是值得我们在教学过程中反思的，毕竟“听懂”与“学会”是两个截然不同的层次.基于此，笔者结合平时教学的感悟，来谈谈对于解题教学的若干思考，与各位同行交流.

一、注重一题多解，培养学生的求异思维

如今的高中教学时间紧，任务重，在讲解例习题时教师过多地关注题目的解答或答案，并不注重题目是如何想的以及为什么这样想，不注重解题思路生成的分析、传授、讲解，这样直接导致学生对问题的本质理解不透，只能盲目记忆题目的解法.对于学生来说，他们看到的是经过“加工”的解答，而那些为破解题目而进行的思维过程已经不见了，一个个所谓的“奇思妙想”出现了，这也是很多学生认为数学抽象而对其望而却步的原因.下面以人教B版习题3-2B组的一个题目为例来阐述解题思路的生成过程.

例1已知a，b∈R+，且a+b=1，求的最小值.

分析：本题属于多变元最值问题，学生刚接触此类问题会比较陌生，可以引导其通过减少变量的个数，转化为熟悉的单变元问题，由此得到下面方法：

解法1：由a+b=1，可得b=1-a，且a∈（0，1），因此当且仅当的最小值为4．

本章讲均值不等式时，课本中有一条结论：两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．这使得我们想到如下方法：

解法2：当a，b∈R+时，有由a+b=1，可得时，等号成立．

数和”的关系，联系题中条件及所求可得如下方法：

解法4：由a，b∈R+，且a+b=1，结合不等式，当且仅当时，等号成的最小值为4．

解法5：由a，b∈R+，且a+b=1，可得时，等号成立．

理解了上述解法5，我们可以将上式稍作改进，等价的改写为：．这体现了条件与结论的联系，也便于后续讲解时对此类问题通性通法的引入．

阐述解题思路的生成时，要多从学生熟悉的问题或方法上入手，深入浅出、循序渐进，这样符合学生对知识的认知规律．

二、注重一题多变，培养学生思维的灵活性与深刻性

波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展．”具体的做法是：①变换题目条件，形成新的问题，让学生重新思考解决．变换条件是克服思维定式的有效方法，通过变换条件训练使学生学会思考问题的方法，避免学生生搬硬套．②变换题目结论，形成新的问题，让学生重新思考解决．题目条件不变的情况下，变换问题的提问形式，能够拓展学生的数学思维，培养学生思维的深刻性．③将问题进行一般化处理，探求题目蕴含的规律性．教师可以将题目条件中的一些数字改为字母，让学生重新思考，让学生发现题目中蕴含的规律性．通过变式教学，可以培养学生思维的灵活性．仍以上述题目为例，可以设置如下变式：

变式1已知a，b∈R+，且a+b=1，求的最小值．

变式2已知a，b∈R+，且a+3b=5ab，求3a+5b的最小值．

变式3已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求的最小值．

变式4已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求的最小值．

变式5已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求的最小值．

变式1是一道陷阱型习题，若还用原例题中的解法3，两次运用均值不等式导致等号不同时成立，将无法确定最小值，这可以让学生更深刻地体会均值不等式中等号成立条件的重要性．通过在教学中设置陷阱型习题，借助学生的认知冲突，突破困惑，建立对问题正确的认识，这要比直接告知学生更有效．通过变式1、变式2和变式3还能让学生体会此类问题的通性通法，通过实践得知解法5为处理这类问题的通法，而且在寻求通法的过程中也会理解其他解法的局限性，从而对问题的本质有了更深层次的理解.变式4体现了数学中转化的重要性，借助换元法，令x=a+b，y=b+c，z=c+a，则题目变为：

已知x，y，z∈R+，且x+y+z=2，求的最小值，这与变式3类似.

在变式6中，令b=1-2a，可转化为：

此题运用原例题中的解法5容易获解，进而可确定k的最大值.

变式是模仿与创新的中介，高中学生具有创新的潜能和欲望，而教师是学生数学学习活动的领路人，在积极营造变式探究的教学情境中，能够帮助学生改进数学学习方式、获得数学活动经验、形成数学思维方式、培养学生的理性思维，能有效促进学生的数学素养和创新意识的发展.

三、重视对问题和方法的反思

例习题教学绝不是单纯的解题活动或解题过程，还应该在解题后认真反思解题的探索过程，概括提炼出规律性的东西，归纳总结出一类问题的最本质的解法，以达到举一反三、触类旁通的目的.我们不但要反思自己的例习题教学是否科学，是否符合学生的认知规律，也要让学生养成做题后及时反思的好习惯.

解题教学要引导学生对问题结构特征进行反思，以派生出新的问题，由此再引导学生进一步探究，得到新的命题结论.经过反思，学生的思维结构更趋完善，对问题的认识更全面完整，便于形成和梳理知识网络，能够在解题中做到举一反三，达到触类旁通的学习效果，解题教学的目的也更加完善、作用更加显著.

四、注重转化在解题中的运用

高中数学解题其实就是一个不断转化的过程，将不熟悉的问题转化为一个等价的、比较简单的、容易解决的、熟悉的新问题，即把不熟悉的、陌生的、复杂的问题转化为已经解决的、熟悉的、容易的问题.因此要将转化这一数学基本功练扎实，才能更有利于数学解题.

例2若实数a，b，c满足2a+4b=2c，4a+2b=4c，求c的最小值.

分析：通过换元将指数问题转化为一次或二次函数问题，再将两个等式联立，进而将问题转化为一元变量的最值问题.

解：令x=2a，y=2b，z=2c，把x=z-y2代入z2-y=x2，消去x，得z2-y=（z-y2）2.把右端展开、整理，得

此题连续转化了二次，第一次转化是通过换元转化

总之，在数学解题过程中要充分发挥教师的主导作用，要求教师在平时教学中能够预料、发现学生解题时遇到的思维障碍，并在教学过程中加以排解，激活学生的思维，激发学生学习数学的兴趣，使学生轻松地、愉快地学习.