三角形中的不等式问题

王可

三角形中的范围与不等式问题是学生学习解三角形过程中比较困惑的问题，不仅需要用到三角变换、正余弦定理，还涉及基本不等式及求函数值域.现就以教学过程中遇到的该类问题与大家共同分享、探讨.

题型一：求三角函数值范围问题

例1.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 .

【解析】cosC=，由sinA+sinB=2sinC可得：a+b=2c，

∴c=

∴cosC====·+·-

≥2=.

【点评】所求cosC的最值可想到余弦定理用边表示，cosC=，考虑sinA+sinB=2sinC角化边得到：a+b=2c，进而消去c，计算表达式的最值即可.

题型二：求边的比值范围问题

例2.在锐角△ABC中∠A=2∠B，∠B、∠C的对边长分别是b、c，则的取值范围是（）.

A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）

【思路分析】本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：==，只需求出的范围即可.条件所给的是A，B关系，从而=，利用∠A=2∠B减少角的个数：sinA=sin2B=2sinBcosB，cosA=cos2B=2cosB-1，代入可得：=4cosB-1，根据锐角三角形求出B的范围即可.

【解析】==

∵==

由∠A=2∠B？圯sinA=sin2B=2sinBcosB，cosA=cos2B=2cosB-1

∴==2cosB+cos2B=4cosB-1

因为△ABC为锐角三角形，∴0

∴cosB∈（，）∴=4cosB-1∈（1，2），=∈（，）.

【点评】本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及边关系，只给了角的条件，因此优先选择角的系统，从而进行角化边处理，并进行一个分式的常见变形，将变量集中在分母上.另一个就是主元的确定：本题的主元是B，所以在求表达式范围时将A，C均用B表示，以便于求得值域.

题型三：面积范围问题

例3.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a+b=c+ab，若△ABC的外接圆半径为，则△ABC面积的最大值为 .

【思路分析】：由a+b=c+ab可联想到余弦定理求cosC，所以cosC==，从而sinC=，所求面积可表示为S=absinC，则只需解出ab的最大值即可.

【解析】由外接圆半径R=及sinC可得：c=2RsinC=4，所以a+b=16+ab，而a+b≥2ab，所以有16+ab≥2ab？圯ab≤12，所以S≤·12·=4.

【点评】本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C，计算面积时有三组边角可供选择：S=absinC=bcsinA=acsinB，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值.要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值.