“1+1”定理，初等证法

胡成恩

【摘要】本文建立了素数的判定定理；论述了连续合数定理；连续合数对定理，证明了“1+1”定理和孪生素数的无穷定理.

主要内容

一、素数无限多定理； 二、素数判定定理； 三、PK级合数分布的周期性； 四、PK级素数平均数定理；五、PK级素数定理及推论；六、“1+1”定理；七、孪生素数的无穷性.

一、素数无限多定理

华罗庚教授对素数的无穷做过这样的论述：假定PK是最大的素数，那么：2×3×5×7×…×PK+1是素数还是合数呢？如果是素数，则大于PK与假设矛盾，如果是合数，又不能被2，3，5，7，…，PK中任何一个质因数整除，所以PK不会是最大的素数，最大的素数是不存在的.

二、素数判定定理

如果一个整数M不能被2，3，5，7，…，PK中任何一个质因数整除，称M为PK级素数，其余整数为PK级合数，当1

证：假设M不是素数，则至少存在两个不等于1的正整数α和β，使得αβ能整除M，又因为α和β均不小于PK+1，所以αβ≥（PK+1）2 ，所以M≥（PK+1）2 ，与条件矛盾，所以M是素数.

三、PK级合数分布的周期性

PK级合数各因数的分布是有周期性的，每相差 P1×P2×P3×P4×…×PK个整数，各因数的分布序列重复出现一次.

证：给出连续的PK个整数，从前两个数可知，2的倍数分布只有两种可能，同理，3的倍数分布只有3种可能，依次类推，PK的倍数分布有PK种可能.根据乘法原理，每PK个整数各倍数的分布序列的周期为P1×P2×P3×P4×…×PK.

四、PK级素数平均数及定理

在PK级素数出现的一个周期中，所有整数个数，与PK级素数个数的比值，称PK级素数平均数：

给出一组从2开始的连续正整数，第一个位置为2的倍数，计1个，以后，每个偶数都不计，每个奇数都计2，不论从哪里停止，计入的和都包含了下一个2级素数前的合数.如果考虑到3，到了3的位置，3仍计入2，因为3的倍数按正整数分布，所以从3到6，倍数增加1个，整数增加3个，倍数增加一个2级平均数，整数增加3个2级平均数，每个平均数中有一个2级素数，3倍数中2 级素数不计，只需把前两个扩大计入来补充.在我们的计数方法中，第一个位置是2，计1个，第二个是3，计一个新平均数2，以后每个3级素数计一个新平均数2×

3[]2，遇到3级合数不计，不论从哪里停止，计入的和，都包含了下一个3级素数前所有合数.

用这种计法，设直到K =m时Pm计入

，以后Pm级合数不计，Pm级素数计入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1，这样不论从哪里停止，计入的总和，都包含了下一个素数前所有合数.

那么：K=m+1时，Pm+1的倍数第一次出现，记入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1这样仍然计入了所有下邻的Pm级合数，因为Pm+1的倍数是正整数依次出现的.倍数每增1，整数增Pm+1，倍数增1个平均数，整数增Pm+1个平均数，运算中平均数和素数是对应的，倍数中有一个素数不计，前有Pm+1-1个Pm+1级素数出现，在我们的计数方法中，以后，遇到Pm+1级合数不计，遇到Pm+1级素数时，计入一个新平均数21×32×54×76×1110×…×pmpm-1×pm+1pm+1-1.使少计的部分得到了补充，由数学归纳法原理，这样无论从哪里停止，所计入总数，都包括了后面相邻的合数，按所给的计入方法，PK已出现

（2）双方向前置定理：

PK级合数连续个数最多为2PK-1-1个.

证：从0开始向两端计数，0计1个，±1各计1个，从±2向外，按单向前置的计数方法，一直计到PK-2.

这时，±1的位置尚不是合数，这样的合数分布，每个分布周期一个，显然只有把PK和PK-1的倍数放在这两处，构成最多的PK级合数.所以，PK级合数连续个数最多为2PK-1-1个.

五、PK级素数对及定理

定义：把两个相同的数轴，偶数与偶数对齐，形成整数对，如果每对整数中的两个整数均是PK级素数，称该数对为PK 级素数对，否则，称该数对为PK级合数对.

在PK级素数对出现的一个周期中，所有整数对个数，与PK级素数对个数的比值，称PK级素数对平均数：

证：第一个位置为2的倍数，计1个，以后，每个偶数对都不计，每个奇数对都计2，不论从哪里停止，计入的和都包含了下一个2级素数对前的合数对.如果考虑到3，每3个数对，最多有2个含 3的倍数.

又因为3的倍数按正整数分布，所以从3到6，倍数增加1个，整数增加3个，倍数增加一个2级平均数，整数增加3个2级平均数，每个平均数中对应一个2级素数，

3倍数中每增2个2 级素数对，数对增3个2级素数对.3倍数前两个出现在2级素对时，仍各计入2对，以后每个3级素数对计一个新平均数2×3[]1，遇到3级合数不计，不论从哪里停止，计入的和，都包含了下一个3级素数对前所有合数对.

用这种计法，设直到K =m时，前两个Pm出现在PK-1级素对时，仍各计入

上面的公式正是PK级合数对单向最多的计法.

（2）双方向前置定理：

证：从±2向外，按单向前置的计数方法，一直计到PK，

构成最多的PK级合数对才是上面公式.

六、“1+1”定理

任给一个不小于6的偶数，都能写成两个素数之和.

证：设这个偶数为2m（m≥3，且m是整数），看下列数对：

恰能看成两个数轴形成的数对，每对之和为2m.只需取：

在上面给的数对中，有PK级素对存在，根据素数判定定理，正是素数对.

七、孪生素数无穷定理

请看下面的数对：