方程的根与函数零点的教学分层设计与反思

甘绮雯

【摘要】方程的根与函数零点的分层教学内容包含一个概念、三个等价关系、一个定理.为达成教学目标，本节课先通过四个方程是否有实根，根据学生的思维特点分层设计，让不同层次学生都碰撞思维的火花，激发求知欲，从而引入课题；再利用函数的图像与性质去探究方程的根，给出“函数零点”的定义以及等价关系；最后探究零点存在的条件，引出“零点存在性定理”，并利用该定理解决具体问题，再辅以分层作业，进行巩固提高.

【关键词】方程的根；函数零点；分层设计；教学反思

【基金项目】广州市2013年“十二五”教育规划课题《高中数学作业分层设计的实践研究》的阶段性成果.课题编号：2013B263

2014年10月，广州市黄埔区高中数学学科举行了“同课异构”教学研讨活动，我采用了分层教学设计.作为一名青年教师，我有幸参加此次活动.这次活动的课题是人教A版必修1第三章3.1.1“方程的根与函数的零点”，通过这次活动，笔者对这节课有一些粗浅认识，现记录下来，与大家分享和交流.

一、关于教学目标的分层定位

课堂教学目标应该以该节教学内容为载体，扎根于具体教学内容之中，对教学目标进一步细化，以突出教学目标对教学的导向作用.而本节课的教学重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理，教学难点是探究函数零点存在的条件.

基于以上认识，本节课的教学目标定位如下：

（1）从一些具体方程（如一次、二次方程）根的求解以及相应函数图像，理解函数零点的概念以及探索出方程的实根与其相应函数零点之间的关系；（2）会将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，并会用定理判断存在零点的区间；（3）通过观察一些特殊函数在区间端点上函数值之积的特点，探索发现函数零点存在性定理；（4）在学习过程中感悟化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想.

对于不同层次的学生，教学目标要求是不一样的：A组学生达到（1）—（2）；B组学生达到（1）—（3）；C组学生达到（1）—（4）.

二、创设问题情境，分层定标，引入零点概念

一个好的引入可以帮助学生更好地理解所学习的内容，激发各个层次学生自己提出数学问题.所以本人在课本的基础上设计了以下问题来引入新课.

教学设计如下：

问题1：判断下列方程是否有解？

①x-1=0；②x2-2x-3=0； ③x3-x=0；④lnx+2x-6=0.

（设计意图：问题1中方程①②③学生都可以利用初中知识解决，但方程④用现有方法解决不了，以此引起认知冲突）

问题2：求出表中方程的实数根，画出相应的函数图像的简图，并写出函数图像与x轴交点的坐标.（由A层次学生回答）

（设计意图：利用函数的图像与性质去探究方程的根，给出函数零点的概念）

问题3：结合函数零点的定义，你能说说函数y=f（x）的零点、方程f（x）=0的实数根、函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？（由B或C层次学生解决）

（设计意图：引导学生发现方程的实数根和相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系，建构函数的零点与方程的实数根的关系）

三、关于零点存在性定理的辨析处理

1.对零点存在性定理的辨析主要有两个方面：第一，对于定理条件的“充分不必要性”的认识，这可以通过举反例（如画y=x2函数图像）理解.第二，对于定理中零点个数问题，首先要明确“零点的个数”不是这节课的重点，只要让学生在直观上认识到，在定理的条件下，一定能保证零点存在，“有多少个”定理无法确定.课本中的例1，求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数，意在用信息技术做函数值对应表和函数图像，通过直观判断得出结论.本人觉得这节课的重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理，所以本人把例题改为：

例题 设x0是方程lnx+2x-6=0的解，则x0属于区间（ ）.

A.（-1，0） B.（1，2）

C.（2，3）D.（3，4）

解决完本题后可以利用几何画板画出函数f（x）=lnx+2x-6图像，再次验证结论.

2.在什么时候进行定理辨析？刚学定理，在对定理不熟练的情况下，马上进行定理的辨析，对部分学生（尤其是A层次学生）来说是有一定难度的，这样的辨析只会弱化对定理的掌握和理解.所以，本人的处理方法是把定理的辨析放在课后练习中处理（详见课堂练习第（6）题），由B和C层次的学生来解决.

四、关于课堂练习的设置——分层作业

根据因材施教的理论，这节课的课堂训练设计为分层练习，分为A、B、C三组练习，以满足不同层次学生的需要.

A组：（由A层次学生展示）

（1）求下列函数的零点：

①f（x）=2x-1；②y=x-1x；③f（x）=（x+2）（x-4），x<0，lgx，x≥0.

（2）下列图像表示的函数中没有零点的是（ ）.

（小结求函数零点的方法：①代数法，即求方程的实根；②几何法，即利用函数y=f（x）的图像和性质找出零点）

（3）函数f（x）=4-4x-ex的零点所在区间为（ ）.

A.（1，2）B.（0，1）

C.（-1，0）D.（-2，-1）

B组：（B层次学生展示）

（4）设x0是方程x2-4x=0的解，则x0属于区间（ ）.

A.（-1，0）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）

（5）若函数f（x）在[a，b]上连续，且有f（a）f（b）>0.则函数f（x）在[a，b]上（ ）.

A.一定没有零点B.至少有一个零点

C.只有一个零点D.零点情况不确定

概念辨析：

①将零点存在性定理的条件和结论交换，所得命题成立吗？即命题“函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，那么f（a）·f（b）<0.”成立吗？若不成立请举反例.

②你能在下面横线上填一个条件使结论成立吗？

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并有f（a）·f（b）<0且，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有且只有一个零点.

C组：（由C层次学生展示或留作课后C层次学生解决）

（6）已知函数f（x）=ax2+x-1+3a（a∈R）在区间[-1，1]上有一个零点，求a的取值范围.

五、教学反思

（一）本节课的成功之处

1.引入自然.为了激发学生的求知欲，使学生感受到学习本内容的必要性，本人先给出四个方程，其中三个是学生能通过已有的知识解决的，但第四个就不行了，这样激发学生学习的兴趣，又让学生产生疑惑，为引入新课做铺垫.然后通过一个表格引导学生观察三个方程的解与相应函数图像的关系，顺势提出了函数零点的定义，此时学生很容易得到三个等价关系，并明确要转换角度来研究方程的根：利用函数的性质和图像.

2.突破难点.对于函数零点存在性定理，高中阶段不可能给以证明，只需要让学生通过函数图像，直观感知零点存在的条件.基于此，本人精心设计了几个问题：问题4中的两个探究活动是学生熟悉的一次函数和二次函数，探究函数值在零点附近的变化规律，通过问题4很多学生能得到：函数f（x）在区间（a，b）内一定有零点的条件是f（a）·f（b）<0，问题5和问题6进一步引导学生正确得到一般情况下，函数f（x）在区间（a，b）内一定有零点的条件.这三个问题层层递进，引导学生一边画草图，一边积极思考，举反例，从几何直观上感知零点存在的条件.这样设计符合学生的认知规律：从简单到复杂，从具体到抽象，让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征，得出一般性的结论，使学生思维发生碰撞，弄懂了定理.

3.采用分层教学设计，满足各层次学生学习需要，充分调动各层次学生学习的积极性.让不同层次学生都有碰撞思维的火花，课堂气氛活跃，学生的参与意识明显.学生在“成功的体验”中，不知不觉中掌握概念，突破难点.最后辅以分层作业，进行巩固提高.这节课基本能保证C层在听课时不等待，A层基本听懂，得到及时辅导，即A层“吃得了”，B层“吃得好”，C层“吃得饱”.

（二）本节课的不足之处

1.本节课的新知识都具有“形”与“数”两方面的含义，而几何直观是理性认识的基础，教学时应充分利用好函数图像，努力体现数形结合思想.在教学过程中，对现代教育手段的使用未能充分体现，对如何展现函数图像上的动点经过x轴这一最为关键的过程，没有突出和强调，从而没能更充分利用媒体强化对学生思维刺激的辅助作用.

2.在教学过程中没有注意学生思维的连贯性.不应该在学完函数零点的概念和三个等价关系时马上进行了课堂练习（1）—（4）题的训练，然后再学习零点存在性定理.这样操作学生的思维被打断，不连贯，不利于下一个问题的学习.所以应该把所有问题讲完才进行课堂训练，这样效果更好.实践证明，只要学生真正理解概念和定理，是不需要急着解太多的题.概念的理解和定理的形成过程才是这节课的关键.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]章建跃.方程的根与函数的零点的教学[J].中国数学教育（高中版），2012（1/2）：16-18.