以计算均匀球体转动惯量为例浅谈微元的选取

饶黄云， 赵 鹏， 曾省辉， 黄 山

(东华理工大学 抚州师范学院，江西 抚州 344000)

以计算均匀球体转动惯量为例浅谈微元的选取

饶黄云， 赵 鹏， 曾省辉， 黄 山

(东华理工大学 抚州师范学院，江西 抚州 344000)

恰当选取微元，是应用微元法计算刚体转动惯量的关键。通过分析均质球体转动惯量计算中微元的选取的例子，阐明合适选取微元，必须建立好物理模型，如此，不仅计算简便，重要的是从不同角度加深了对物理概念的理解，同时也促进对微积分的应用的再认识。

物理模型；转动惯量；均质球体；微元

饶黄云，赵鹏，曾省辉，等.以计算均匀球体转动惯量为例浅谈微元的选取[J].东华理工大学学报：社会科学版，2016，35(4)：386-388.

Rao Huang-yun，Zhao Peng, Zeng Sheng-hui,et al.Discussion on the Selection of infinitesimal elements through taking the calculation of rotational inertia of even sphere for example[J].Journal of East China University of Technology(Social Science)，2016，35(4)：386-388.

微元法是物理学分析、解决物理问题中常见的一种方法，也是从部分到整体的思维方法。微元法是指在处理问题时，先对事物的极小部分(微元)分析入手，探求每个微元遵循的相同规律，然后再进行必要的物理思想和数学方法处理，以达到解决事物整体目的的方法。其主要思想就是“化整为零”，先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。微元法在物理学各门课程中如力学、电磁学、光学等方面都有着广泛的应用[1-3]。掌握微元法，对于培养提高学生分析、解决物理问题的能力意义重大。

在刚体力学研究中，转动惯量是一个非常重要的物理量，它是刚体转动惯性大小的量度，其作用可类比平动中的物体的质量。现有教材[4，5]和文献[6，7]介绍了各种计算转动惯量的方法。采用微积分来求解物体的转动惯量实际上就是微元法思想的应用过程。本文以微元的选取为主线，给出均匀球体转动惯量的几种不同计算方法，其最终结果是一致的。

1 分别选取圆环及簿圆盘为质元

(1) 先考虑一个质量为m，半径为R的圆环，绕过其中心轴的转动惯量为：

J=mR2

(2)其次将圆盘可以看成是大小不同的圆环叠加而成的(设面密度为σ,以下相同)。

(3)再考虑均匀球体可以看成是大小不同的圆盘叠加而成(设ρ为体密度，以下相同)。半径为r、厚度为dz的薄圆盘微元对轴的转动惯量为：

则均匀球体的转动惯量为：

2 分别选取圆环带及簿球壳为质元

(1) 先考虑一个质量为dm，面密度为σ，半径为r,圆弧长为dl=Rdφ的圆环带(类比圆环)绕过其中心轴的转动惯量为：

dJ=r2dm(dm=σ2πrdl=σ2πRsinφRdφ),

(2) 其次将簿球壳可以看成是大小不同的圆环带叠加而成的

( 3)再考虑球体可以看成是大小不同的簿球壳叠加而成的。

则均匀球体的转动惯量为：

3 直接选取基本体积元为质元

在球面坐标系中，选取任意一体积元作为质元。体积元的体积为：

dV=rsinφdθ·rdφ·dr,dm=ρdV

则均匀球体的转动惯量为：

4 利用转动惯量定义和对称性来计算

在直角坐标系中，取球心在坐标原点上，均匀球体对各坐标轴的转动惯量之和为：

Ix+Iy+Iz=∫(y2+z2)dm+∫(x2+z2)dm+∫(x2+y2)dm=2∫r2dm

根据对称性，Ix=Iy=Iz，

有，3Iz=2∫r2dm

则均匀球体的转动惯量为：

5 小结

物理学长期发展形成的科学思想和方法对整个自然科学也包括社会科学的研究发展和进步具有较大的影响和促进作用。从一定意义上说，学生素质和创新能力的高低，主要体现在掌握科学思想和方法的多少及应用方法的灵活、熟练程度[8]。在上述均匀球体转动惯量的求解方法一中，我们分别选取圆环和薄圆盘作为微元；方法二中，我们分别选取圆环带(类似圆环)和薄球壳作为微元；方法三在球坐标系中，直接选取基本体积质元为微元；尤其在方法四中，我们巧妙利用了转动惯量定义和对称性来计算。通过比较上述求解过程，进一步研究表明，物理模型的确立和微元的合适选取是解决问题的关键[9]。这样，不仅可以简化计算过程，更重要的是从不同的角度深化了对物理概念及模型的本质理解，同时也促进对微积分的应用的再认识。当前国家积极提倡对大学生进行创新创业教育培养，因此，我们在物理教学中，更应注意结合具体问题的分析和求解，引导学生主动学习、开发智力，开拓思维，并为学生提供全面发展的空间。还应不断探索新的教学方法，采用新的教学手段，以提高教学质量，培养国家需要的创新创业人才[10]。

[1]邓发明，李光耀.普通物理学中的微元法[J].广西右江民族师专学报，2002(12)：28-29.

[2]覃铭.微元法在力学中的应用 [J].广西右江民族师专学报，2002(12)：28-29.

[3]张桂琴.微元法在电磁学中的应用 [J].曲靖师范学院学报，2002(3)：30-33.

[4]吴百诗.大学物理(新版)[M].北京：科学出版社2001，188.

[5]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社 1986:176-184.

[6]楼智美.巧算常见均匀旋转体对母线的转动惯量[J].大学物理，2003，22(11)：26-27.

[7]秦瑶.常见均质刚体的转动惯量的求法讨论[J].大学物理，2002，21(2)：39-41.

[8]饶黄云，符五久.大学物理教学中物理思想和方法的渗透[J].东华理工大学：社会科学版，2007，26(1)：80-83.

[9]黎定国，邓玲娜，刘义保，等.大学物理中微积分思想和方法教学浅谈[J].大学物理，2005，24(12)：51-54.

[10]饶黄云. “磁场与电磁波”课程的教学研究 [J].东华理工大学：社会科学版， 2010，29(1)：71-73.

Discussion on the Selection of Infinitesimal Elements Through Taking the Calculation of Rotational Inertia of Even Sphere for Example

RAO Huang-yun， ZHAO Peng, ZENG Sheng-hui, HUANG Shan

(Fuzhou Normal College of East China University of Technology，Fuzhou 344000, China)

The proper selection of infinitesimal elements is the key to calculate the rotational inertia of rigid bodies with infinitesimal method. Through analyzing the examples of selecting infinitesimal elements in the calculation of rotational inertia of even sphere, the paper states, in order to make a proper selection of infinitesimal elements, the physical model must be first established. In this case, the calculating will become easy, and the more important is that it will deepen the understanding of physical concepts from different angles and promote the recognition on the application of the differential and integral calculus.

the physical model； constant rotation quantity; even sphere; infinitesimal elements

2016-04-21

东华理工大学大学物理教学培育团队基金资助；东华理工大学长江学院2015年立项教研课题。

饶黄云(1965—)，男，江西抚州人，副教授，主要从事物理教学及量子几何研究。

G642.423

A

1674-3512(2016)04-0386-03