一类广义螺面的方程与图示

周小辉

浙江财经大学东方学院，浙江嘉兴，314408

一类广义螺面的方程与图示

周小辉

浙江财经大学东方学院，浙江嘉兴，314408

根据正螺面的方程与图形，利用质点运动模型给出了椭圆螺旋线、双曲螺旋线、正弦螺旋线的方程及图像；根据“线成面”的思想给出了椭圆螺旋面、双曲螺旋面、正弦螺旋面的方程及图像。然后，基于几个螺旋面实例构造广义螺旋面的一般方程,并讨论其坐标网性质，并且根据“圆”螺旋面的方程讨论了它的坐标网性质。

广义螺旋面；“圆”螺旋面；椭圆螺旋面；双曲螺旋面；抛物螺旋面

微分几何中的正螺面具有一些特性。比如，它的渐近曲线一族是直线,另一族是圆柱螺线;它是螺面中的极小曲面等。目前,某些光滑曲面上的小波分析成为国际上小波分析理论研究的新趋势[1-6]，比如,球面上的小波分析、旋转曲面上的小波分析、可展曲面上的小波分析、广义典型流形上的小波分析[1-5]等。本文从正螺面出发,研究广义螺面，主要是指正螺面之外的其他螺面。

1 广义螺面方程与图示

先来逐步找出广义螺面的方程,并作出其图像。让一个质点绕着一根固定轴做匀速圆周运动，同时再平行于轴做匀速直线运动(这样就形成了如图1的圆柱螺线);将质点换成一垂直于轴直线后同样做上述的运动。这条直线划过的轨迹与轴组成的曲面就是正螺面，如图2,它的方程可以表示成:

图1 圆柱螺线 图2 正螺面

用类似的思路来思考怎样得到“圆”螺面方程及图像。形成正螺面的运动模型，简单地说就是一个匀速转动与一个匀速平动的复合。想得到“圆”螺面就先从一个点的运动说起。如果上述运动中的匀速平动改成另外一个圆周运动,满足一定的条件就得到“圆”螺线的图形。其实是两个转动的复合。先考虑延“圆轴”方向的转动，得到一个质点运动的轨迹方程：

下面考虑剩下的转动,首先可以确定z轴的坐标为v0sin(bt),然后再考虑x,y轴的坐标。在这个转动过程中，质点的运动半径是变化的,却是有规律的。考虑它的一个瞬间就有x,y轴的坐标分别为：

(a+v0cos(bt))cos(t),(a+v0cos(bt))sin(t)

所以质点的运动轨迹方程为：

将上述a、v0取定值之后，运用Matlab绘出如图3的“圆”螺线中间的圆轨道的半径就是a，螺线中的半径即是v0。同样，用一条垂直于圆轴的线段来替换上述质点时，并且将其中点附在圆轨道上，然后，它沿着圆轨道运动的同时，自身也做着以中点为圆心、线段长为直径的匀速圆周运动。可以想象，这条线段的运动轨迹与圆轨道组成的曲面就是要探讨的“圆”螺面。带着这种想象去寻求“圆”螺面的方程，并且试图绘出它的图像。换个角度思考，从“圆”螺线出发，就可以立即得到“圆”螺面的方程。只要注意到当“圆”螺线方程：

图3 “圆”螺线 图4 “圆”螺面

取a=3，b=4,则t∈[0,2π], v∈[-1,1]时，运用Matlab绘出如图4的“圆”螺旋面的图形。若取a=2，b=0.5时，可以得到麦比乌之带的图形。

根据圆锥曲线的参数方程及类似探索“圆”螺面运动模型的方式来探索和圆锥曲线有关的三种螺线与螺面的方程及图像。

图5 双曲螺旋线 图6 双曲螺面

下面给出双曲螺线的图像及方程。

当v0变动时，就形成了双曲螺面。

一条线段垂直于一条连续曲线匀速转动的同时并沿着该曲线匀速运动产生螺面的过程中，这条连续曲线就称为“导线”或“轴”。

根据上述定义，若一广义螺旋线的“导线”为正弦曲线，就称该螺线为正弦螺线。

图7 正弦螺旋线 图8 正弦螺旋面(1)

现在给出广义螺面的一般方程:

在该定义下讨论正弦螺旋面的方程与图形。

2 广义螺旋面的性质

命题1 关于广义螺旋面的曲纹坐标网：

那么,广义螺旋面的曲纹坐标网有什么特点呢?考虑它的第一基本量和第二基本量，于是,得到以下几个结论。

命题2广义螺面的曲纹坐标网一般不是正交的。

推论广义螺面的曲纹坐标网正交，若满足f2(t)+g2(t)=1。

根据上述命题2的推论及命题3、命题4，“圆”螺旋面的曲纹坐标网是正交的，但它既不是渐近网，也不是曲率线网。

3 结束语

文中构造了广义螺旋面的方程与图示，讨论了广义螺旋面曲纹坐标网的性质并且构造若干实例。利用这些方程与性质，可以建立广义螺旋面上的几何投影，Hilbert空间与多分辨分析理论等。从而为研究这些曲面上的小波分析奠定了基础。比如，利用在文献[1，2]中的理论与方法，讨论了广义螺旋面上的局部小波变换，或者建立相关的群理论来构造小波理论，这些都是下一步可以研究的问题。另外，广义螺旋面在工程设计与工业生产中有一定参考意义,例如,涡轮面的设计、运输管道的设计等，而且为进一步的数据采样与处理分析的研究中提供了有力的参考。

[1]WANG Bao-qin,GANG Wang,YUAN Li-xia,et al.The wavelet transform and Reconstruction formular on the generalized canonical manifold[C].Guilin:proceedings of 2011 International Conference on wavelet analysis and Pattern Recognition,2011:187-191

[2]WANG Bao-qin,GANG Wang,ZHOU Xiao-hui,et al.Wavelet analysis on developable surface base on area preserving projection[J].International Journal of Wavelets,Multi-resolution,Information and Processing, 2015, 13(1550007): 1-23

[3]王宝勤，周小辉，王刚．一类光滑曲面的保面积投影[J]．西北大学学报:自然科学版，2012，42(6)：877-881

[4]周小辉，王刚，王宝勤．广义典型流形的实例构作[J]．纯粹数学与应用数学，2011，27(2)：176-181

[5]陈维恒．微分几何[M]．第2版．北京：北京大学出版社，2002：57-90

[6]周小辉，王刚．数字1金字塔的研究[J]．新疆师范大学学报:自然科学版，2015，34(2)：53-57

[7]王刚，周小辉，王宝勤．n维特殊伸缩矩阵的构造与n维广义插值细分函数向量[J]．计算数学，2013，35(4)：377-384

[8]周小辉，王刚．基于GCTST变换研究多尺度函数的构造与性质[J]．电子学报，2013，41(7)：1273-1277

The Equations and Figures of a Class of Generalized Helicoid

ZHOU Xiaohui

Zhejiang University of Finance and Economics Dongfang College,Jiaxing,Zhejiang 314408

In this paper, the equations of the elliptic helix, hyperbolic helix, sine helix are defined and their figures are shown according to the right helicoid’s equation and figure; the equations of the elliptic helicoid, hyperbolic helicoid, parabolic helicoid are defined and their figures are shown with “lines painted face”. The equation and coordinate net’s characteristcs of the generalized helicoid is presented and discussed by several examples. And the coordinate net’s characteristics according to circle helicoid”s equation is discussed.

generalized helicoid;“circle” helicoid,elliptic helicoid; hyperbolic helicoid; parabolic helicoid

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.03.024

2015-11-25

浙江财经大学东方学院教学科研课题项目(2015JK33)。

周小辉(1986-)，江苏常州人，硕士，讲师,主要研究方向：微分几何与小波分析。

O186.1

A

1673-2006(2016)03-0093-03