走近等角螺线

2019-06-28 13:28杨元韡
新高考·高二数学 2019年1期
关键词:极坐标蜘蛛曲线

杨元韡

谜曰:小小诸葛亮,稳坐军中帐.摆下八卦阵,只等飞来将.

聪明的你肯定可以猜出讲的是蜘蛛,后两句讲的是蜘蛛织网捕虫的生动情形.让我们再来好好观察一下蜘蛛的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线,越接近中心,每周间的距离越密,直到中断.只有中心部分的辅助线一圈密似一圈,向中心绕去.小精灵所画出的曲线,就是几何学中的等角螺线.

自然界还有很多蕴藏着等角螺线的事物,最典型的是鹦鹉螺(如图2),它的贝壳的几何顺序,竟是标准的等角螺线.令人惊奇的是,贝壳新增生出来的每一部位,都严格按照原先已有的等角螺旋结构增生,从不会改变.同样,如果你仔细观察雏菊花蕊和向日葵籽的排列,你会发现它们在花盘上也排列出左右两组相互交织的等角螺线.

等角螺线在自然界已经神秘地存在了上万年,但真正引起人们的研究兴趣还是从1638年笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)描述了等角螺线并给出了螺旋线的解析式开始的.此后的很多数学家对它进行了深人的研究,研究成果最为丰硕的是数学家伯努利(J.Bernouli,1654-1705).他对等角螺线在作某些变换后的曲线仍然是不变的性质非常惊叹,以至于在遗嘱中要求后人将等角螺线刻在自己的墓碑上,并赋以颂词:“纵然变化,依旧故我.”数学家对数学的痴迷可见一斑.

小伙伴们不禁要问,等角螺线究竟是怎样的螺线呢?有什么特征呢?

首先,我们给它下一个定义.若一条曲线在每個点P处的切向量PT都与某定点O到此点P所成的向量OP夹角为一定角a,且定角a不是直角,我们把这样的曲线称为一条等角螺线(如图3),其中0称为它的极点.等角螺线的极坐标方程为r=aeθcota,其中θ称为辐角,r称为向径,a,a为常数,且a>0(该方程推导过程较复杂,我们在进人大学后有可能会学习到).由于此方程的推导过程中用到了自然对数,所以等角螺线也被称为对数螺线.

有了等角螺线的极坐标方程后,就可以很容易解释开头所提到的蜘蛛网所体现出的螺线的特征.等角螺线是一-条无尽的曲线,向内侧方向,它永远向着极点绕,越绕越靠近极点,但又永远达不到极点,向外侧方向,它向外无限延伸.

等角螺线还有着很有意思的数列性质.若辐角θ1,θ2,…,θn,…成等差数列,根据指数的性质,对应的向径r1,r2,…,rn,…成等比数列换句话说,若设Pn的极坐标为(aeθncota,n,),则|OP1|,|OP2|,…,|OPn|,…成等比数列.如果又注意到

∠P1OP2,∠P2OP3,…,∠PnOPn+1,…这些角都相等,我们有△P1OP2,△P2OP3,…,△PnOPn+1,…都是相似的三角形,从而可以发现|P1P2|,|P2P3|,…,|PnPn+1|,…也成等比数列(如图4).

等角螺线还有一个有意思的几何性质.对于一般的几何图形,若我们选定某个点为伸缩中心将图形放大或者缩小,则可得到一个与原图相似的图形.在等角螺线中,若选极点为伸缩中心,则不论放大多少倍,或者缩小多少倍,所得的图形是与原等角螺线全等!

美妙的等角螺线除了上面两个有趣的性质之外,还有很多其他有趣的性质,小读者们可以参考《数学文化素质教育资源库·数学之美》中有关资料来探究.正是由于它有很多特殊的性质,在很多方面都有着极其重要的应用.例如,在工业生产中,把抽水机的涡轮叶片的曲面做成等角螺线的形状,抽水就很均匀;在农业生产中,把轧刀的刀口弯曲成等角螺线的形状,它就会按特定的角度来切割草料,又快又好.

自然界中除了等角螺线之外,还有很多有意思的螺线,比如阿基米德螺线、费马螺线等等,这些螺线也同样有着迷人的地方值得你去欣赏、探究、发现!

猜你喜欢
极坐标蜘蛛曲线
小蜘蛛冻僵了,它在哪儿呢?
二重积分的极坐标计算法探讨
蜘蛛
《极坐标与参数方程》过关测试卷
梦寐以求的S曲线
大蜘蛛
曲线的华丽赞美诗
招魔法练出“腿曲线”
数学问答