从欧拉买邮票问题说开去

耿晓华

编者按：像牛顿、欧拉、高斯等大数学家，他们穷其一生研究数学，做出了很多我们难以企及的数学贡献，甚至推动了人类社会、科技的进步与发展，所以他们是值得我们敬佩的.如果你是热爱数学的，那你肯定也想多了解一些他们的数学故事，今天，我们将以“大数学家与数学问题”为切入点，和大家聊一聊大数学家们也研究过的一些有意思的数学问题.

伟大的数学家欧拉是不是集邮爱好者，或许已经无法考证，但欧拉买邮票问题却流传了下来.传说欧拉在邮局买了一些邮票，其中2分钱一张的邮票数量是1分钱一张的邮票数量的3/4，5分钱一张的邮票数量又是2分钱一张的邮票数量3/4，还买了8分钱一张的邮票5张，他只用一张钞票（这里假设有8种面额：1元、2元、5元、10元、50元、100元、1000元、10000元，且100分=1元）付款，并且没有找回零钱（数学家的做事风格嘛，哈哈），试问欧拉每种邮票各买了多少张？

显然，我们可以借用方程思想解决这个问题.假设y为欧拉买的1分钱一张的邮票数量，则2分钱与5分钱一张的邮票的数量分别为3/4y，9/16y.这说明y一定是16的正整数倍，我们不妨设y=16x，这样所有邮票的总价为（16x+2X12x+5X9x+40）分，恰好是一张钞票的面值k元.令16x+2X12x+5X9x+40=100k，其中x为正整数，k是1，2，5，10，50，100，1000，10000中的某个数.化简这个方程得到17x=20k-8.要解决这个问题，最终就归结为如何求二元一次方程17x=20k-8的正整数解，其中k∈{1，2，5，10，50，100，1000，10000}.

下面，我们给出如下几种方案.

方案1：对于方程17x=20k-8，直接验证k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000，求得的x为正整数即可.验证得到k只可能是1000.容易解得1分的邮票是18816张，2分的邮票14112张，5分的邮票10584张.这种方案运算量大，相对比较麻烦.

方案2：对于方程17x==20k-8，我们用方程一边的“整”描述另外一边的“整”，再枚举即可.例如

则

是整数，再将k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000逐一代入，即可知道k=1000是符合条件的，这样x也可以求得.以下同方案1.

方案3：对于方程17x=20k-8，我们可以用方程一边的“因子”描述另外一边的“因子”，再枚举即可.注意到右边是4的倍数，方程可写为17x=4（5k-2），所以x也一定是4的倍数.可设x=4m，则17X4m=4（5k-2），约分得到17m=5k-2，再将k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000逐一代人，即可知道k=1000是符合条件的.以下同方案1.

实际上，这个问题中k的取值是有限的，可以借助于枚举的方法得到，相对比较容易.如果我们可以把条件放宽一点，即k只要是正整数即可，那这个问题就远比原问题复杂多了，即求17x=20k-8所有的正整数解或者给出正整数解的结构.像这样形如ax+by=c（a，b，c∈Z，ab≠0）的方程，我们称为最简单的二元一次不定方程.不定方程历史悠久，早在1700多年前，古希腊的数学家丢番图就对不定方程做过深人的研究，所以不定方程又被称为丢番图方程.

我们先来分析一下最简单的二元一次不定方程的解的结构：

设方程ax+by=c，其中a，b，c为整数，且ab≠0.

若a，b的最大正公因数记为（a，b），当且仅当c是

（a，b）的倍数时，该方程才有整数解，其所有的整数解为

（t为整数），其中（xo，yo）是某个具体的解，我们也称之为特解.

回到欧拉买邮票问题，考虑上述方程即20k-17x=8的正整数解，容易观察x是4的倍数，所以通过简单的枚举得到k=14，x=16就是原方程的一组解，所以根据前面的结论就可以得到该方程所有的整数解为

（t为整数）.再进一步，求原方程的正整数解还需要满足k>0，且x>0，所以只要参数t为自然数即可.因此，20k-17x=8的所有的正整数解为

，（t为自然数），这还表明这个方程组有无穷多组正整数解.

不定方程问题是非常有趣的代数问题，有一些不定方程有一些程序化的解决方案，对这一类不定方程的研究已经成熟，例如前面的二元一次不定方程.但更多的不定方程因为结构的多样性，方法也是多样的，没有程序化的解决方案，甚至难度还特别大，例如著名的费马大定理就是一个不定方程的解的問题：xn+yn=zn，当n为大于2的正整数时，该方程无正整数解.很明显，当n=2时，任意一组勾股数就是解，但n>2时，就特别困难.费马提出的这个猜想，直到上世纪末才由美国数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使得猜想成为定理，经历了350多年.怀尔斯因此获得了1998年国际数学届的最高奖之一的菲尔兹特别奖.值得一提的是，在这350多年里，还有很多的数学家锲而不舍地研究这个问题，虽然他们没有最终解决问题，但是在研究的过程中发现了新的问题，提出了新的猜想，创造了新的方法，有力地推动了数学的发展.

数学的发展是波澜壮阔的，代数中的不定方程就是其中的浪花一朵.