走近等角螺线

杨元韡

谜曰：小小诸葛亮，稳坐军中帐．摆下八卦阵，只等飞来将．

聪明的你肯定可以猜出讲的是蜘蛛，后两句讲的是蜘蛛织网捕虫的生动情形．让我们再来好好观察一下蜘蛛的杰作：从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断．只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去．小精灵所画出的曲线，就是几何学中的等角螺线．

图1

图2

自然界还有很多蕴藏着等角螺线的事物，最典型的是鹦鹉螺（如图2），它的贝壳的几何顺序，竟是标准的等角螺线．令人惊奇的是，贝壳新增生出来的每一部位，都严格按照原先已有的等角螺旋结构增生，从不会改变．同样，如果你仔细观察雏菊花蕊和向日葵籽的排列，你会发现它们在花盘上也排列出左右两组相互交织的等角螺线．

等角螺线在自然界已经神秘地存在了上万年，但真正引起人们的研究兴趣还是从1638年笛卡儿（R．Descartes，1596—1650）描述了等角螺线并给出了螺旋线的解析式开始的．此后的很多数学家对它进行了深入的研究，研究成果最为丰硕的是数学家伯努利（J．Bernouli，1654—1705）．他对等角螺线在作某些变换后的曲线仍然是不变的性质非常惊叹，以至于在遗嘱中要求后人将等角螺线刻在自己的墓碑上，并赋以颂词：“纵然变化，依旧故我．”数学家对数学的痴迷可见一斑．

图3

小伙伴们不禁要问，等角螺线究竟是怎样的螺线呢？有什么特征呢？

首先，我们给它下一个定义．若一条曲线在每个点P 处的切向量都与某定点O到此点P所成的向量夹角为一定角α，且定角α不是直角，我们把这样的曲线称为一条等角螺线（如图3），其中O称为它的极点．等角螺线的极坐标方程为r=aeθcotα，其中θ称为辐角，r称为向径，a，α为常数，且a＞0（该方程推导过程较复杂，我们在进入大学后有可能会学习到）．由于此方程的推导过程中用到了自然对数，所以等角螺线也被称为对数螺线．

有了等角螺线的极坐标方程后，就可以很容易解释开头所提到的蜘蛛网所体现出的螺线的特征．等角螺线是一条无尽的曲线，向内侧方向，它永远向着极点绕，越绕越靠近极点，但又永远达不到极点，向外侧方向，它向外无限延伸．

图4

等角螺线还有着很有意思的数列性质．若辐角θ1，θ2，…，θn，…成等差数列，根据指数的性质，对应的向径r1，r2，…，rn，…成等比数列．换句话说，若设Pn的极坐标为（aeθncotα，θn），则|OP1|，|OP2|，…，|OPn|，…成等比数列．如果又注意到∠P1OP2，∠P2OP3，…，∠PnOPn+1，…这些角都相等，我们有△P1OP2，△P2OP3，…，△PnOPn+1，…都是相似的三角形，从而可以发现|P1P2|，|P2P3|，…，|PnPn+1|，…也成等比数列（如图4）．

图5

等角螺线还有一个有意思的几何性质．对于一般的几何图形，若我们选定某个点为伸缩中心将图形放大或者缩小，则可得到一个与原图相似的图形．在等角螺线中，若选极点为伸缩中心，则不论放大多少倍，或者缩小多少倍，所得的图形是与原等角螺线全等！

美妙的等角螺线除了上面两个有趣的性质之外，还有很多其他有趣的性质，小读者们可以参考《数学文化素质教育资源库·数学之美》中有关资料来探究．正是由于它有很多特殊的性质，在很多方面都有着极其重要的应用．例如，在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面做成等角螺线的形状，抽水就很均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成等角螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好．

图6

自然界中除了等角螺线之外，还有很多有意思的螺线，比如阿基米德螺线、费马螺线等等，这些螺线也同样有着迷人的地方值得你去欣赏、探究、发现！