非线性油膜力下裂纹-碰摩故障转子动力学分析

向 玲， 高雪媛， 张力佳， 邸薇薇

(华北电力大学 机械工程系，河北保定 071003)



非线性油膜力下裂纹-碰摩故障转子动力学分析

向 玲， 高雪媛， 张力佳， 邸薇薇

(华北电力大学 机械工程系，河北保定 071003)

在考虑裂纹轴时变刚度、碰摩力和非线性油膜力的基础上，建立了裂纹-碰摩双故障转子-轴承系统的非线性动力学模型，采用数值积分方法对其进行求解，结合分岔图、poincaré截面图、轴心轨迹图和最大Lyapunov指数(LLE)曲线图，从定性和定量的角度分析了无量纲裂纹深度和转速对系统响应、稳定性及碰摩力的影响.结果表明：该类转子-轴承系统出现了p-2、p-4、p-8、拟周期和混沌等丰富的非线性运动；随着无量纲裂纹深度的增加，系统首次分岔点转速提高，进入拟周期和混沌等运动的临界转速提前；在高速区间，随着无量纲裂纹深度的增加，系统响应由拟周期运动演变为混沌和多周期运动交替出现；在不同转速阶段，裂纹的加深对碰摩力的影响不同，在高速区间的影响更为明显.

转子； 裂纹； 碰摩； 非线性动力学； 最大Lyapunov指数

转子系统作为大型旋转机械的核心部件，长时间在高温高压、重载、高速等恶劣的环境中工作，会产生疲劳裂纹.随着裂纹扩展，系统横向振动加剧，严重时可能会导致转子与定子之间出现碰摩现象.裂纹和碰摩都会使转子系统出现非线性现象，在2种故障同时发生的情况下，转子系统会出现更复杂、更丰富的非线性动力学行为.

国内外学者对含裂纹-碰摩双故障的转子-轴承系统进行了一系列研究.Patel等[1-2]从频域角度研究了裂纹、碰摩故障转子的动力学响应，发现在频谱图中存在比较明显的二倍频.Hou等[3]研究了航空发动机转子在悬停飞行下发生碰摩的非线性行为. AL-Shudeifat[4]建立了非对称裂纹转子的有限元模型，找到了区分呼吸裂纹与开裂纹的方法.Han等[5]在同时考虑非对称圆盘和斜裂纹的基础上建立了转子系统模型.宋光雄等[6]分析了国内外汽轮机组转子裂纹故障的案例，归纳出转子裂纹的主要原因和振动特征.杨丹等[7]研究了含初始弯曲的裂纹-碰摩转子系统，结果表明浅裂纹下初始弯曲起主导作用，随着裂纹深度的增加，交替出现周期运动和混沌运动.陶海亮等[8]运用多种时频分析相结合的方法较为全面地研究了转子的故障特征，发现裂纹转子在1/5、1/3临界转速时会发生较明显的5X、3X谐波.针对带有裂纹-碰摩双故障的转子-轴承系统，笔者在考虑非线性油膜力的基础上，建立此类故障转子的非线性动力学模型，并结合分岔图和最大Lyapunov指数(LLE)曲线图，定性和定量地分析了无量纲裂纹深度对裂纹-碰摩双故障转子非线性动力学行为以及系统运动稳定性的影响.

1 裂纹-碰摩双故障转子-轴承系统模型

研究对象为简化的裂纹-碰摩双故障转子-轴承系统，转子两端采用对称结构的滑动轴承支承，如图1所示，其中O1为轴端轴承内瓦几何中心，O2为转子几何中心，O3为转子质心；m1为转子在轴承处的集中质量，m2为转轴中央圆盘等效质量，在靠近圆盘处有一横向弓形裂纹.另外，轴承半径为R，长度为L，轴承间隙为c.

假设含裂纹与碰摩的转子-轴承系统左端轴颈的径向位移为x1、y1，中央圆盘处的径向位移为x2、y2，c1为转子在轴承处的结构阻尼(以下简称轴承阻尼)，c2为转子圆盘处的结构阻尼(以下简称圆盘阻尼)；滑动轴承作用在转轴上的非线性油膜力为Fx、Fy，忽略陀螺力矩和扭转振动，只考虑系统的横向振动，则系统的运动微分方程为

(1)

式中：Px、Py为碰摩力；kij(i=x,y，j=x,y)为考虑裂纹后轴的刚度；e为质量偏心；β为裂纹扩展方向与不平衡方向之间的夹角；g为重力加速度；ω为转速；t为时间.

图1 裂纹-碰摩双故障转子-轴承系统

1.1 裂纹轴的刚度

图2为转轴裂纹处横截面示意图，其中xoy为绝对坐标系，ξo′η为固定在圆盘上并随圆盘转动的坐标系，o′ξ方向为裂纹扩展方向，o′η方向为裂纹扩展垂直方向，Ψ为转子的涡动角，θ=ωt为自转角，φ为转涡差角，φ=θ-Ψ.在考虑呼吸裂纹后，转轴刚度矩阵[9]可表示为

φ)×

(2)

式中：φ=θ+β；k0为无裂纹轴的刚度；Δks(s=ξ,η)为ξ、η方向由裂纹引起的转轴刚度改变量；f(φ)为描述裂纹开闭的函数，f(φ)=[(1+cosφ)/2]A，A为无量纲裂纹深度，A=a/R，a为实际裂纹深度.

该裂纹轴刚度模型在文献[10]和文献[11]中也有使用，较为经典，适用于含有裂纹故障的Jeffcott单盘转子模型的建立.

图2 开闭裂纹模型示意图

1.2 碰摩力模型

当碰摩发生时，首先进行如下假设：转子与定子间的初始间隙为δ；与运动周期相比，碰摩的时间非常短，此时可用弹性接触模型.接触面的摩擦为库伦摩擦，并假设摩擦因数为常数，即摩擦因数与转子、定子间的相对速度无关.发生碰摩时径向力Pn和切向力Pr可表示为

(3)

在xoy坐标系中，碰摩力[12]可表示为

(4)

(5)

1.3 油膜力模型

本文中滑动轴承处所产生的油膜力具有强非线性，理论分析中采用经典的Capone圆轴承理论[13-14]，该模型精度较高，其表达式如下：

(6)

式中：fx、fy分别为滑动轴承处x与y方向上的无量纲油膜力；σ为Sommerfeld修正数.

(7)

(8)

与式(8)相关的表达式如下：

(9)

式中：x、y为轴承位移；μ为润滑油黏度.

2 系统运动微分方程求解

2.1 系统运动微分方程的无量纲处理

式(1)给出了裂纹-碰摩双故障转子-轴承系统的运动微分方程，综合考虑了刚度的变化以及碰摩力和油膜力的影响，将式(2)中的刚度模型、式(5)中的碰摩力及式(8)中的无量纲油膜力代入系统运动微分方程式(1)中，同时引入无量纲变换：

(10)

2.2 参数设置

系统的主要参数见表1.由于运动微分方程式(10)表示一个强非线性系统，这里采用四阶Runge-Kutta法对其进行数值积分求解，并且舍去前300个周期的结果以消除瞬态响应，进而可得到系统的分岔图和LLE曲线图等.

表1 系统主要参数

3 仿真与分析

裂纹的存在会对碰摩-裂纹双故障转子的动力学行为产生较大影响，且在一定程度上影响系统的稳定性.利用不同无量纲裂纹深度下的分岔图和LLE曲线图来分析裂纹深度对系统分岔特性及运动稳定性的影响.

3.1 不同无量纲裂纹深度下的系统响应

图3～图5为无量纲裂纹深度A分别为0、0.5和0.9 3种情况下，转子系统响应随转速变化的分岔图及对应的LLE曲线图.对比图3(a)、图4(a)和图5(a)可以发现，在转速较低时，系统首次发生倍周期分岔的转速ω分别为700 rad/s，715 rad/s和770 rad/s，此时系统因出现早期油膜涡动而由p-1失稳状态进入p-2运动状态，说明无量纲裂纹深度的增加会使系统首次分岔的转速提高，原因在于裂纹的存在干扰了油膜涡动的形成，使不稳定性有所滞后，对应图3(b)、图4(b)和图5(b)中分岔点处的LLE值(La)均为0.

在中速阶段，系统由p-2运动状态继续发生倍周期分岔，经历了p-4和p-8等运动，在裂纹较深时(A=0.9)，系统经由倍周期分岔进入有2个吸引子的混沌运动，此时对应图5(b)中的La值为正；另外，随着裂纹的加深，系统发生倍周期分岔的转速窗口在逐渐缩小.随着转速的继续升高，图3(a)中转速ω=1 505 rad/s时，系统进入到长期的拟周期运动，此时图3(b)中La约为0；图4(a)中系统进入到长期拟周期运动区间的转速阈值为ω=1 455 rad/s，且在转速范围1 545～1 560 rad/s和1 740～1 770 rad/s内出现了p-7运动；而图5(a)中系统在经历混沌运动发生倒分岔回到p-2运动后再次进入到强非线性运动区间的转速为1 070 rad/s，并且图3(a)和图4(a)中在此转速区间内的拟周期运动演变为阵发性混沌，对应图5(b)中的La值正负交替变化，此时系统具有强非线性和强不稳定性.

(a)分岔图

(b)LLE曲线图

(a)分岔图

(b)LLE曲线图

(a)分岔图

(b)LLE曲线图

3.2 定转速下系统响应随无量纲裂纹深度的变化

为了进一步说明裂纹深度变化对系统响应的影响，图6给出了ω=980 rad/s时，系统响应随无量纲裂纹深度A变化的分岔图和LLE曲线图.图7给出了不同无量纲裂纹深度A下转子的轴心轨迹图和poincaré截面图.从图6(a)可以看出，当无量纲裂纹深度A较小时，系统处于p-8运动状态，图6(b)中相对应的La小于0，其运动特性如图7(a)所示，A=0时的轴心轨迹8环相交，poincaré截面图上为8个孤立的相点，此时La为-0.006 9.当A∈(0.380，0.393)时，系统发生倒分岔，处于p-4运动，对应图6(b)中的La等于0.在短暂的p-4运动后，系统发生倍周期分岔继续进入到p-8运动.当A增至0.78时，系统再次发生倍周期分岔进入到p-16运动，该处的La跳变为0.随着A的增加，转子系统响应经由倍周期分岔途径进入到混沌状态，在区间(0.818,0.875)和(0.895,0.985)内系统的La均大于0，系统响应的轴心轨迹图及poincaré截面图都有所变化，如图7(b)所示，A=0.87时的轴心轨迹多圆叠交，poincaré截面吸引子图为4个混沌小岛.当A∈(0.878,0.895)时，混沌运动演变为p-12周期振动，此时系统的La小于0，图7(c)中A=0.88时，轴心轨迹图为有限条曲线交叠，poincaré截面上呈现12个离散相点，La为-0.024 2.随着A的进一步增加，系统再次进入到混沌状态，在区间(0.889,0.986)内系统的La为正值，图7(d)中轴心轨迹更加复杂，混沌小岛由4个变为2个.当A增至0.99后，系统结束混沌运动，进入到p-10周期运动.因此，随着A的增加，系统的运动特性趋于复杂，不稳定性变强.综上，系统的运动过程为p-8→p-4→p-8→p-16→混沌→p-12→混沌→p-10，说明裂纹深度的加深使得系统的运动状态变得非常复杂，并且可能使系统由稳定的周期运动进入不稳定的混沌运动，造成系统失稳.

(a)分岔图

(b)LLE曲线图

Fig.6 Bifurcation diagram and LLE curve varying with the non-dimensional crack depthA(ω=980 rad/s)

3.3 无量纲裂纹深度对碰摩力的影响

图8给出了无量纲裂纹深度A分别为0、0.5和0.9时碰摩力随转速的变化，其中碰摩力为各转速下x方向无量纲碰摩力的有效值，记为Px.

从图8可以看出，在转速200～410 rad/s内，A=0和A=0.5时的曲线重合度较高，而A=0.9时碰摩力反而小，说明在该转速范围内较深的裂纹在一定程度上抑制了碰摩的力度；在转速411～515 rad/s内，裂纹的加深反而使碰摩力变大，且碰摩力在该范围内出现小波峰，系统振动剧烈，裂纹的影响较大；在ω=515 rad/s后的中速阶段，裂纹的加深使同转速下的碰摩力变小，而在高速阶段，裂纹的加深会使同转速下的碰摩力变大，且影响很明显.另外，图8中中速阶段出现了峰谷：A为0、0.5和0.9时的峰谷转速分别为700 rad/s、715 rad/s和770 rad/s，与首次倍周期分岔的转速相同，说明系统周期运动的切换会影响系统的稳定性，碰摩力由减小趋势变为增大趋势，振动重新变得剧烈.系统碰摩力第2次发生跳变的转速为1 255 rad/s、1 150 rad/s和1 070 rad/s，分别与系统在A=0、0.5时首次进入拟周期运动和A=0.9时进入到阵发混沌的转速相同.此后A=0和0.5时的碰摩力变化并不大，但在跳跃点1 505 rad/s和1 455 rad/s后碰摩力持续增大，对应分岔图中此时系统第2次进入拟周期运动；而A=0.9时的碰摩力一直呈增大趋势，在跳跃点处均能在分岔图上找到对应的状态切换.

(a)A=0

(b)A=0.87

(c)A=0.88

(d)A=0.92

图7ω=980 rad/s时不同无量纲裂纹深度A下转子的轴心轨迹图和poincaré截面图

Fig.7 Axis orbit and poincaré maps of rotor under different non-dimensional depths of crackA(ω=980 rad/s)

图8 不同无量纲裂纹深度A下碰摩力随转速变化的有效值曲线

Fig.8 RMS curve of rub-impact force varying with different non-dimensional depths of crackA

4 结 论

(1)在低速区间，随着无量纲裂纹深度A的增加，系统首次分岔点后移，说明裂纹的加深在该转速区间内增强了系统的稳定性；中速区间内，虽然p-2、p-4和p-8等多周期运动转速范围在逐渐减小，但在无量纲裂纹深度较大时系统经由倍周期分岔道路进入到混沌运动，并且系统进入拟周期、混沌等运动的临界转速提前；在高速区间，无量纲裂纹深度的增加使得拟周期运动逐渐演变为混沌和多周期运动交替出现，分岔情况更为复杂，且随着无量纲裂纹深度的增加，高速区间的响应幅值逐渐增大，不稳定性增加.

(2)在不同转速阶段，裂纹的加深对碰摩力的影响不同，其中在高速区间的影响更为明显；随着转速增大，碰摩力虽呈增大趋势，但存在多个跳跃点，并且跳跃点数随着无量纲裂纹深度的增加而增加，部分跳跃点提前.

(3)裂纹的加深和转速的升高均会影响系统的稳定性.

[1] PATEL T H, DARPE A K. Vibration response of a cracked rotor in presence of rotor-stator rub[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 317(3/4/5): 841-865.

[2] PATEL T H, DARPE A K. Coupled bending-torsional vibration analysis of rotor with rub and crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 326(3/4/5): 740-752.

[3] HOU Lei, CHEN Yushu, CAO Qingjie. Nonlinear vibration phenomenon of an aircraft rub-impact rotor system due to hovering flight[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19(1): 286-297.

[4] AL-SHUDEIFAT M A. On the finite element modeling of the asymmetric cracked rotor[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(11): 2795-2807.

[5] HAN Qinkai, CHU Fulei. The effect of transverse crack upon parametric instability of a rotor-bearing system with an asymmetric disk[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17(12): 5189-5200.

[6] 宋光雄, 陈松平, 宋君辉, 等. 汽轮发电机组转子裂纹故障研究及分析[J]. 动力工程学报, 2012, 32(4): 289-295, 320.

SONG Guangxiong, CHEN Songping, SONG Junhui,etal. Cause analysis of rotor cracks in turbine-generator units[J]. Journal of Chinese Society of Power Engineering, 2012, 32(4): 289-295, 320.

[7] 杨丹, 甘春标, 杨世锡, 等. 一类初弯曲转子的裂纹-碰摩故障响应分析[J]. 浙江大学学报(工学版), 2014, 48(8): 1496-1501.

YANG Dan, GAN Chunbiao, YANG Shixi,etal. Analysis on response of a rotor with initial bend deformation under coupling fault of crack and rub-impact[J]. Journal of Zhejiang University (Engineering Science), 2014, 48(8): 1496-1501.

[8] 陶海亮, 左志涛, 高庆, 等. 基于时频分析的裂纹转子碰摩故障特征研究[J]. 推进技术, 2013, 34(4): 520-528.

TAO Hailiang, ZUO Zhitao, GAO Qing,etal. Fault analysis of rotor with rub-impact and crack based on time-frequency analysis[J]. Journal of Propulsion Technology, 2013, 34(4): 520-528.

[9] 刘元峰, 赵玫, 朱厚军. 考虑碰摩的裂纹转子非线性特性研究[J]. 振动工程学报, 2003, 16(2): 203-206.

LIU Yuanfeng, ZHAO Mei, ZHU Houjun. Nonlinear characteristics of a cracked rotor with rub-impact[J]. Journal of Vibration Engineering, 2003, 16(2): 203-206.

[10] 于海, 陈予恕, 曹庆杰. 多自由度裂纹转子系统非线性动力学特性分析[J]. 振动与冲击, 2014, 33(7): 92-98.

YU Hai, CHEN Yushu, CAO Qingjie. Nonlinear dynamic behavior analysis for a cracked multi-DOF rotor system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(7): 92-98.

[11] ZOU J, LI S D, HU C Q,etal. Dynamic stability of a rotor containing transverse crack and initial deflection[C]//International Conference on Management Science and Artificial Intelligence. USA: IEEE, 2011.

[12] 袁惠群, 闻邦椿, 王德友. 非线性碰摩力对碰摩转子分叉与混沌行为的影响[J]. 应用力学学报, 2001, 18(4): 16-20.

YUAN Huiqun, WEN Bangchun, WANG Deyou. Effects of nonlinear rubbing and impact forces on the bifurcation and chaos behaviors of rub rotor[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2001, 18(4): 16-20.

[13] DING Q, COOPER J E, LEUNG A Y T. Hopf bifurcation analysis of a rotor/seal system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 252(5): 817-833.

[14] ADILETTA G, GUIDO A R, ROSSI C. Chaotic motions of a rigid rotor in short journal bearings[J]. Nonlinear Dynamics, 1996, 10(3): 251-269.

Dynamic Analysis of a Rotor with Coupling Faults of Crack and Rub-Impact Under Nonlinear Oil-film Force

XIANGLing,GAOXueyuan,ZHANGLijia,DIWeiwei

(Faculty of Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, Hebei Province, China)

A nonlinear dynamic model was established for the rotor with coupling faults of crack and rub-impact, considering the time-varying rigidity of crack, rub-impact force and nonlinear oil-film force, which was solved by numerical integration method. Meanwhile, the bifurcation diagrams, poincaré maps, axis orbit and the largest Lyapunov exponent (LLE) were used to analyze the effects of non-dimensional crack depth and rotating speed on the system response, system stability and the rub-impact force in both qualitative and quantitative ways. Results indicate that, the system has undergone diverse nonlinear motions, such as 2T-periodic motion, 4T-periodic motion, 8T-periodic motion, quasi-periodic motion and chaos. As the non-dimensional crack depth increases, the speed of the first bifurcation rises, and the time reaching the critical speeds of quasi-periodic motion and chaos advances. Besides, with the increase of non-dimensional crack depth, the quasi-periodic motion evolves into alteration of chaos and multi-periodic motion in the high-speed area. Moreover, the influence of crack depth on rub-impact force varies in different speed areas, which becomes particularly noticeable in the high-speed area.

rotor; crack; rub-impact; nonlinear dynamics; largest Lyapunov exponent

2015-11-23

国家自然科学基金资助项目(51475164)

向 玲(1971-),女, 湖北随州人,教授,博士,研究方向为非线性动力学和故障诊断. 电话(Tel.)：15032496266； E-mail：ncepuxl@163.com.

1674-7607(2016)10-0788-07

TH113

A 学科分类号：470.30