“喇叭花”函数赏析

张亚东

(上海市大同中学 200011)

1 问题提出 石破天惊”

最近高三复习调研出了这样一个填空题难倒了不少学生：

2 问题解决 “水落石出”

2．1 轨迹探究

图1

我们知道用平面去截球面得到的截面图形一定是圆，圆的大小取决于球心到平面的距离.

图2

图3

2．2 问题解决

图4

2．3 图像探究

图5

3 问题生成 “再起波澜”

意犹未尽，学生提出了新的问题：“喇叭花”函数在其它正多面体中情况如何？利用类似的研究方法同样加以解决.

3.1 在正四面体中生长的“喇叭花”

问题2：动点P在棱长为1的正四面体A-BCD表面上运动，且|PA|=x(0

随着半径x从0到1的变化，动点P的轨迹形状不尽相同，分以下三种情形：

图6

图7

图8

图9

图10

图11

3．2 正八面体中生长的“喇叭花”

点P在面TAB上的轨迹图形是什么样呢？为此取AB中点M，过点S作SH⊥TM，垂足为H，易证SH⊥面TAB，所以点P在面TAB上的轨迹是以H点为圆心,HE为半径的一段圆弧.

图12

当x=1时，TE正好与轨迹圆弧相切(图15).

图13

图14

图15

图16

作出函数图像(图17)，在正八面体中，关于x的方程f(x)=m解的个数可能为0,1,2.

图17

在正八面体中的“喇叭花”函数图像与正四面体中的图像形状相似，先直线上升，然后盛开，接下来开始凋谢，所不同的是它在生长过程中始终 没有出现“花蕊”，盛开得更慢一些，开得最盛时的 花朵要大一些，花期也更长一些．

运用类似的方法可以继续研究“喇叭花”在正十二面体和正二十面体中盛开的情况，可以想象它们将会更为绚丽夺目，五彩缤纷.其实，“喇叭花”函数不仅仅可以在正多面体中盛开，对于任何多面体也存在类似的问题.

通过对“喇叭花”函数的研究，可以发挥学生的空间想象力，在问题解决过程中体悟分类讨论、数形结合的思想，学会把一个“可以想象却难以言传”的数学问题表达清楚，学会运用TI图形计算器作出函数图像，研究函数性质，探究数学问题解决途径和方法.