向量在解答解析几何问题中的活用

◇ 山东 王 兵



向量在解答解析几何问题中的活用

◇ 山东 王 兵

向量是解决数学问题的重要工具.运用向量求解解析几何中的共线(平行)、垂直、夹角和位置关系等复杂问题,不仅方法新颖、巧妙,而且可以减少计算量,优化解题过程.下面以高考试题为例说明向量在解答解析几何问题中的灵活运用.

1 求解有关共线(平行)问题

例1(2016年四川卷) 设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM斜率的最大值为( ).

点评本题若根据条件利用2点间的距离公式,会出现根式,计算量和难度都相当大,这里利用向量共线的坐标运算则较为方便,这就是用向量解决问题的优势.

2 求解有关垂直问题

点评2个向量的数量积是一个实数,它在求解有关垂直等问题中有着明显的优势;2条直线垂直可转化为2条直线的方向向量垂直,即2向量的数量积为0.

3 求解位置关系问题

(1) 求椭圆E的方程;

(2) 设直线x=my-1 (m∈R)交椭圆E于A、B2点,判断点G(-9/4,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

解(1) 椭圆E的方程为x2/4+y2/2=1.

点评第(2)问,若利用点到圆心的距离和半径比较大小,需将直线方程与椭圆E的方程联立,利用根与系数的关系求弦AB的中点H(即圆心坐标),利用2点间的距离公式求|GH|,利用弦长公式求|AB|,从而求出半径,进而比较大小判断出点与圆的位置关系,解题过程十分复杂.而这里通过构造向量,由2个向量数量积的正、负来判断点与圆的位置关系，使解答过程简洁、轻松得多.

山东省泰安长城中学)