椭圆和双曲线共焦点问题规律探寻

◇ 甘肃 马俊杰



椭圆和双曲线共焦点问题规律探寻

◇ 甘肃 马俊杰

当椭圆与双曲线共焦点时,借助焦点三角形及有关解三角形知识,可顺利考查二者离心率之间的关系.此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力,所以值得关注.

1 探究规律

图1

例1如图1,中心在坐标原点的椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2,点P是椭圆和双曲线的一个交点,已知∠F1PF2=θ,试探究椭圆和双曲线的离心率e1、e2满足的关系式.

①

设|F1F2|=2c,则在△PF1F2中由余弦定理得

(2c)2=m2+n2-2mncosθ.

②

将式①代入②,化简得

2c2=a2+a′2-(a2-a′2)cosθ,

即

2c2=a2(1-cosθ)+a′2(1+cosθ),

点评上述求解的关键在于将椭圆和双曲线的“定义”与解三角形中的“余弦定理”综合应用.

2 应用举例

A 1/2; B 1; C 2; D 不确定

点评一般地,遇到“平方和”为定值,可灵活利用三角换元法求解有关代数式的最值.此外,本题还可借助柯西不等式求解,请读者自行思考.

解析在例1所得关系式中取θ=60°,可得

于是

点评一般地,灵活利用基本不等式,可巧求有关代数式的最值以及取得最值的具体情景.此外,本题还可借助三角换元求解,请读者自行思考.

甘肃省临夏回民中学)