本立而道生——例谈“数系的扩充和复数的概念”教学设计

杨海燕

(江苏省南京市第十三中学,210008)



○教学研究○

本立而道生
——例谈“数系的扩充和复数的概念”教学设计

杨海燕

(江苏省南京市第十三中学,210008)

“本立而道生”出自《论语》,即做任何事情都要明白事情的根本.教师在教学中同样需要以学生的发展为根本.在具体数学教学中,除了要帮助学生获得基础的数学知识和能力之外,更要帮助学生领会数学思想、学会运用数学思想方法统领数学问题.

本文基于“本立而道生”的思想，谈谈“数系的扩充和复数的概念”的教学设计.

一、教材与学情分析

“数系的扩充和复数的概念”是苏教版高中数学选修1-2第3章第1节内容,这节课的主要内容是数系的扩充、复数的引入以及复数的有关概念.其中数系的扩充体现了数的发现和创造的过程,同时也体现了数的发展的客观需求和现实背景;而复数的引入,则是中学阶段数系的又一次也是最后一次扩充.对于高中生来说,学习一些复数的基础知识是十分必要的,可以促使他们对数的概念有一个初步的、较为完整的认识,也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具.

学生学习这一节内容,可能存在如下障碍:为什么引入虚数单位i?怎么引入的?复数是个什么样的数?它有何意义?

二、教学目标

(1)理解复数的概念及复数的代数表示,掌握复数相等的充要条件.

(2)通过回忆并感知数系扩充的过程,通过归纳并感悟数系扩充的基本方法,进而形成并理解复数的有关概念.

(3)通过问题情境感受虚数引入的必要性,体会人类理性思维的作用,形成学习数学知识的积极态度.

三、教学重点难点

教学重点:数系扩充的过程,复数的有关概念,复数相等的充要条件.

教学难点:数系扩充的原则及对虚数单位i的理解.

四、教学过程

本节课的教学程序分成五个环节来进行.

1.以“矛盾”诱发认知冲突,帮助学生认识“虚数”的产生

问题1我们学校高一年级多少个班?高二年级多少个班?高一、高二年级班级数之比是多少?

设计意图引出熟悉的数,为本节课做铺垫.数字是数学的基本语言,数学正是起源于对数的研究.在对数的研究中,数系不断扩充和壮大.

1545年意大利著名的数学家卡尔丹遇到令人头疼的问题:

问题2能否将10分成两部分,且使两者的乘积为40?

设计意图引领学生重温历史,感悟数学发现并不神秘,让学生与数学大师一起思考问题、解决问题.归纳出:“找不到这样的两个实数,它们的和为10,积为40”,也就是“方程x2-10x+40=0在实数集内无解”.追问:“为什么这个方程无解呢?”“其根本原因是什么?”“-15不能开方，哪个数能开方就解决了所有负数开方的问题?”实数已经不够用了,让学生处于“愤悱”状态,形成认知冲突,诱发学生主动、积极地思考问题,引出课题.

2.以“统一”促进认知顺应,帮助学生扩展数的认识

问题3数系经历了哪几次扩充?每一次扩充分别解决了哪些原来无法解决的问题?

设计意图本节课的生长点是学生对数已经建立的认知序,即学生已经学习过一些数集.在此基础之上,帮助学生梳理数系扩充的过程,了解数系扩充的历史序,从而形成数系扩充的逻辑序.在此过程中,让学生充分交流、合作、讨论,感受到每一次扩充都要引入新数.与此同时,感受到数系扩充是社会发展的需要,如计数、平均分配、测量等；同时也是数学内部发展的需要,如不够减了、不能整除了、不能开方了等,从而完成数系扩充：

问题4这几次数系的扩充有什么共同特征?

设计意图引导学生通过对前几次数系扩充的归纳与梳理,感受到数系扩充的合理性,并能提炼出数系扩充的一般原则:① 引入新数;② 在新的数集中,原有的运算及其性质仍然适用,同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础.同时,有利于培养学生的归纳、概括与表达能力.由此,突破本节课的一个难点.

综上所述：食管癌放射治疗患者接受优质护理干预后，并发症发生率，减轻不适；因此，值得在临床护理工作中采纳与应用。

问题5为了解决负数开平方问题,实数集应怎样扩充呢?

设计意图寻找一个数的平方等于-1,让“引入新元i”水到渠成.再规定:① i2=-1;② 实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立，从而实数集得以扩充.同时,介绍新元i的200多年的发展史,使学生们体会在知识发现过程中的数学思想、方法和数学精神,感受到浓厚的数学文化气息.

3.以“否定之否定”联系“意义赋予”,帮助学生掌握复数

问题6虚数单位i和实数进行四则运算后,可产生新的数,请举例.能否归纳出其一般形式?

设计意图学生利用新知尝试写出含有i的一些新数,追问:“这些数中,你觉得哪些可以归为一类?”“其一般形式是什么?”学生通常会先发现bi,再发现a+bi(b≠0)，但会遗漏实数.接着追问:“会不会产生2,3…?”“你觉得哪个形式把刚才所写的数都包含在内?”引导学生由特殊到一般,从而概括出复数的代数形式a+bi(a,b∈R),并学习复数的有关概念,从而完成从实数集到复数集的扩充.追问:“请说出刚刚所举复数的实部、虚部分别是什么?”“能否根据某个特征对复数进行分类?”引导学生由实数a,b的不同取值对复数进行分类,即

从而深化复数概念,攻克本节课的重点,数系扩充表得以完善.

4.精选例题,学以致用

为了检测学生对复数有关概念的理解,设置了下列四组练习:

(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数；

(2)若b为实数,则z=bi为纯虚数；

(3)若b=0,则z=a+bi为实数.

设计意图这个诊断性练习出现在学生自主归纳出复数的分类后,及时巩固对复数分类的理解.学生口答,属于容易题.

例2请用韦恩图表示出数集N,Z,Q,R,C的关系?

设计意图例2主要是前后照应,采用概念同化的方式完善认知结构,用符号语言重现数系扩充的过程,像树的年轮一样在生长.

例3实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是(1)实数?(2)虚数? (3)纯虚数?

设计意图让学生熟悉复数的分类标准,在解决问题的过程中内化复数有关概念,起到及时反馈、学以致用的功效.并追问:例3中m取什么值时,复数z是0?是6+2i?学生根据其学习经验能够自主解决,进而得到复数相等的概念.

例4已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.

设计意图强化复数相等的充要条件,并在解决问题过程中让学生初步感受到复数问题可以化归为实数问题.

今天我们从数系扩充的角度引入新元,解决了实数集内负数不能开平方问题,进而学习了复数的有关概念.

5.小结收获,理性升华

通过本节课的学习,你学到了什么?

设计意图学生总结,教师提炼,在课堂交流中形成总结的模式和反思的习惯.

五、教学反思

本节课的教学设计，围绕 “本立而道生”这一核心思想,紧抓三条主线:数学史、学习方法和学生活动.

1.数学史渗透整节课,体现数学的文化内涵

笔者从学生已有的知识基础(常见的数集)出发,再现历史上数学家卡尔丹的问题,让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程,感受到小小的“i”硬是经过了两个世纪的努力才被人接受.数学并不神秘,只要我们跳出原有的旧框框,一片更为广阔的数学天地便尽收眼底……数学的文化内涵在历史的脉络中体现得淋漓尽至,学生学到的不仅是知识,还感受到浓浓的数学文化气息.

2.数学方法贯穿整节课,体现数学的思想内涵

数学作为一门具有严密的逻辑性的科学体系,以学术形态存在,具有抽象性、逻辑性和系统性,蕴含着丰富的思想方法.学生在理解、把握数学知识中,不仅仅是记忆形式上的数学知识,更重要的是领会以数学知识为载体的数学思想方法,诸如类比思想、化归思想等.

从实数系到复数系的扩充与前3次数系扩充必然有类似之处,其扩充方法也必然有相似之处.笔者设计问题串,引领学生追溯数的发展历史,类比前几次数系的扩充,让学生在知识发生过程中进行“火热的思考”,实现“再创造”,抽象概括出数系扩充的原则.实数可以根据某个特征进行分类，类似地,复数能否分类?如何分类?在此过程中,学生不仅仅是实现了数系的扩充、复数的分类,更重要的是通过“火热的思考”、“再创造”,体会到新旧知识在研究方法上的一致性,形成数学学习的一贯方法.

3.学生活动串联整节课,体现数学的人本精神

人们的认识过程是从感性到知性再到理性的,因而要形成理性认识,必须依赖于感性的体验到知性的理解.从虚数的“生长”过程来看,是一个从无到有、从疑惑到接受、从模糊到清晰、从片面到完善的过程.只有学生亲身“经历”这一历史过程,才能消除学生对复数的疑惑:复数是什么?为什么要引入?怎么引入?引入后有什么用?

笔者引导学生主要进行两次活动:一是切合自己从一年级起至今的学习经历,回顾依次遇到的数集,思考数集扩充的原因以及每一次扩充解决了哪些原本无法解决的问题,再小组交流;二是虚数单位i与实数可构成哪些新的数?同时,小组成员讨论:这些新的数从形式看有什么特征?其一般形式是什么?可以怎么分类?这两次活动设计,让学生在探究中自主形成概念,有利于培养学生科学品质和创新精神.