一道确界习题的几种证法

何忠华

（广东金融学院 应用数学系，广东 广州 510521）

一道确界习题的几种证法

何忠华

（广东金融学院 应用数学系，广东 广州 510521）

确界是数学分析中一个非常重要的概念，确界原理作为极限理论的基石在微积分理论中占有极为重要的地位，故而确界概念的理解在数学分析学习中就显得尤为重要.但是，在练习中，学生往往不懂如何使用确界概念来解答.因此，首先给出确界的定义，然后通过一道确界习题的几种证明方法来说明确界概念的应用.

数学分析；证明方法；确界概念；极限

确界原理是数学分析中极限理论的基石，由它可以证明单调有界定理以及实数完备性的几个等价命题.因此，理解确界概念对学好数学分析至关重要，也对后面极限思想和微积分学知识有着辅助的作用.而确界是数学分析中首个涉及极限思想的概念，初学者往往难以理解与掌握，对如何运用这个概念就感到更加困难.考虑到该概念的抽象性，为了使学生更好地掌握确界的概念及其使用方法，不少学者进行了相关的研究［1-6］.本文主要是通过一道确界习题的证明方法来帮助学生加深对定义的理解，掌握其使用方法.

上确界和下确界统称为确界.通俗地讲，有上界数集的最小上界，称为该数集的上确界；有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界.

定义1［7］6设S是R中的一个数集.若数η满足：

（i）对一切x∈S，都有x≤η，即η是S的上界；

（ii）对任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即η又是S的最小上界.

定义2［7］6设S是R中的一个数集.若数ξ满足：

（i）对一切x∈S，都有x≥ξ，即ξ是S的下界；

（ii）对任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界.

定义1～2一般称为上确界和下确界的第1定义.但是，在解题时往往用得更多的是它的精确化定义，即所说的第2定义.

定义1'［4］74设S是R中的一个数集.若数η满足：

（i）对一切x∈S，都有x≤η；

（ii）对任何ε＞0，存在x0∈S，使得x0＞η-ε.

定义2'［4］74设S是R中的一个数集.若数ξ满足：

（i）对一切x∈S，都有x≥ξ；

（ii）对任何ε＞0，存在x0∈S，使得x0＜ξ+ε.

则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ=inf S .

［1］ 毛旭华.关于确界及确界原理的教学［J］.衡阳师专学报：自然科学版，1994，12（2）：70-73

［2］ 江家敏.谈确界概念在证明中的应用［J］.开封教育学院学报，1986（2）：75-79

［3］ 郭家勇.关于上确界与下确界的概念的教学［J］.科技文汇，2011（8）：94-96

［4］ 吴焱生.关于确界概念教法探究［J］.宜春师专学报，1998（2）：74-77

［5］ 陈尚杰.关于确界的教学心得［J］.科技文汇，2012（4）：86-87

［6］ 王金才.关于《数学分析》中原始概念的教学法［J］.数学教育学报，2013，22（4）：94-96

［7］ 华东师范大学数学系.数学分析（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2010

［8］ 任亲谋.数学分析习题解析（上册）［M］.西安：陕西师范大学出版社，2004

Several proof methods for a supremum and infimum exercise

HE Zhong-hua
（Department of Applied Mathematics，Guangdong University of Finance，Guangzhou 510521，China）

Supremum and infimum are very important concept in mathematics analysis.As the foundation of the limit theory，they play a very important role in the calculus theory.Therefore，the understanding of the concept of supremum and infimum is particularly important in study mathematics analysis.However，students often do not understand how to use them to solve the problem in exercises.First of all，give the definition of supremum and infimum，and then explain the application of the concept by several kinds of proof methods for a exercise.

mathematics analysis；proof method；supremum and infimum concept；limit

O17∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.017

1007-9831（2016）06-0054-02

2016-03-20

国家自然科学基金资助项目（11501130）；广东金融学院省级数学建模教学团队资助项目；广东高校省级重点平台和重大科研项目（2015GXJK102）

何忠华（1984-），男，广东南雄人，讲师，博士，从事泛函分析研究.E-mail：zhonghuahe2010@163.com