几类代数、三角问题的构圆处理

福建省莆田第三中学(351100)翁国富

几类代数、三角问题的构圆处理

福建省莆田第三中学(351100)翁国富

圆是最简单、最常见的且为人们所熟悉的一种曲线,它具有许多优美的性质.一些代数、三角问题,表面上看去似乎与圆没有联系,但如果细心观察,类比联想,就能发现其中蕴含圆的影子.解题时,如果能根据题目的结构特点,通过构造辅助圆,灵活运用圆的性质,往往能独辟蹊径、出奇制胜,使问题获得简捷巧妙的解决.正如美国著名数学家斯蒂恩所说,“如果一个数学问题可以转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法.”又如笛卡尔所说,“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了,因为用(几何)这种方式来表达事物是非常有益的”.普通高中《数学课程标准》也指出:加强几何直观,重视图形在数学学习中的作用,鼓励学生借助直观进行思考,借助几何直观,揭示代数问题的性质和关系.下面举例说明几类代数、三角问题的构圆处理.

1.等式求值问题的构圆处理

例1已知7sinα+24cosα=25,求tanα的值.(2007年全国高中数学联赛河南省预选试题)

(2008年全国高考江苏卷(理)题(8)(答案:B))

2.条件等式证明问题的构圆处理

3.解方程(组)问题的构圆处理

评注本题有多种解法,这里从方程的结构特征入手,赋等式以新的几何解释,解法标新立异,给人以耳目一新之感.

第2届美国数学奥林匹克试题)

简析第二个方程含有”x2+y2”,由此构造圆x2+y2=3−z2.由前两个方程知直线x+y+(z−3)=0与该圆有公共点(x,y),其充要条件是圆心到直线的距离不大于半径,即得(z−1)2≤0,由此易得z=1,同理可得x=y=1.可见前两个方程有唯一组实数解x=y=z=1,它也适合第三个方程,故为原方程组的唯一组实数解.

4.不等式证明问题的构圆处理

例7记a,b,c为直角三角形ABC的两直角边和斜边的长,求证a+b≤(加拿大第1届数学竞赛试题)

简析显然有a2+b2=c2,构造平面ao′b内的圆

设a+b=m(m＞0),则直线

即a+b−m=0(m＞0)与此圆有公共点(a,b).由圆心到此直线的距离不大于半径得

即原不等式成立.

5.取值范围问题的构圆处理

例9已知1−3b,2a,1+3b成等比数列,则u=8a+9b的取值范围是___.(第19届“希望杯”全国数学邀请赛试题)

简析由1−3b,2a,1+3b成等比数列得

6.最大(小)值问题的构圆处理

例11已知x2+y2+5x=0,求z=3x+4y的最小值.( 2007年大理市高中数学竞赛试题)

简析由已知等式构造圆

则直线z=3x+4y,即3x+4y−z=0与该圆有公共点(x,y).由

得−20≤z≤50.则z的最小值为−20.

即x+y+1−u=0.此直线与单位圆有公共点(x,y),由

得

例13已知a,b∈R,关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根,求a2+b2的最小值.(2011年湖北省预赛高一试题)

简析构造平面aOb内的圆a2+b2=r2.设m是原方程的一个实数根,则

(显然m≠0).它表示平面aOb内的直线,此直线与圆a2+b2=r2有公共点(a,b),由

由上观之,通过构圆处理,使以上几类代数、三角问题获得了巧妙简捷的解决,在思路和方法方面有着出奇制胜之妙,充分体现了数形结合的优越性和无穷魅力.这种从数、式中发现形的信息,借助形的性质解决数的问题的训练,不仅有利于开拓和优化学生的解题思路,而且对促进知识的融汇贯通,加强知识间的横向联系,激发学生的学习兴趣和培养学生的创造性思维能力,不无裨益,正如《普通高中数学课程标准(实验)》所强调的:“教学中应注意沟通各部分内容之间的联系,通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,进一步理解数学的本质,提高解决问题的能力”.