从“做”数学到再创造—初三复习中如何有效发展数学的基本思想

广东省佛山市南海区里水镇和顺第一初级中学(528241)麦穗明

从“做”数学到再创造—初三复习中如何有效发展数学的基本思想

广东省佛山市南海区里水镇和顺第一初级中学(528241)麦穗明

很多学生说,数学是“聪明的学生学的”,那么使这些学生聪明的秘密武器是什么?是数学思想.布鲁诺说,“数学思想是数学的灵魂”.我们把沟通数学问题与数学知识、数学方法之间的联系,产生解题思路的方法称之为数学思想.掌握基本数学思想能使数学更易于理解和记忆,能将数学知识转化为数学能力,领会数学思想是通向迁移大道的“创造之路”.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在课程基本理念部分指出,“课程内容…….它不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.”而在总目标部分指出,“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”凸显了数学思想在义务教育数学课程中的重要地位.掌握数学思想,就是掌握数学的精髓,数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学活动.淡化数学思想的教学不利于学生从纵横两个维度上把握数学的基本结构,同时也将影响学生能力的发展和数学素养的提高.因此,至始至终把数学思想放在数学教学的第一位,它是学习和应用数学知识过程中思维活动的导航器.数学教学应注重数学思想的体验、揭示和提炼,这是培养和发展数学能力的基础.所以,在初三复习阶段,切实加强数学思想的教学,应有计划、有层次地渗透、适时归纳概括、反复运用,及时总结形成系统,实现学生认识上质的飞跃.

一、挖掘知识,适时渗透,体验思想,训练思维

数学思想融合在数学知识的每一个角落.每一个数学知识的发生过程,其实就是数学思想发生的过程,数学知识是数学思想的载体,数学思想通过知识来体现.在知识的发生过程中,让学生体验数学思想,是训练学生思维的的极好机会.所以不失时机地、有意识地、有目的地结合复习内容,一点一滴地渗透数学思想.例如在复习几何内容中“多边形的内角和公式”时,可以这样设计:

第一步:提问“多边形的内角和公式”是怎样得到的?

第二步:引导学生把多边形问题转化为三角形问题后,然后利用三角形求出多边形的内角和.

表1

第三步:分析规律,揭示数学思想——化归、归纳猜想的思想.这样学生不仅经历了“多边形的内角和”的推导过程,而且体会利用归纳猜想“由特殊到一般”的数学思想.

二、网络教材,循序渐进,显化思想,提升思维

数学的概念、规律、定理、性质、公式、法则等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想却隐含在知识的背后,且不成体系地散现于教材中,是无“形”的,需要我们将背后的数学知识挖掘出来,系统处理,形成一个脉络体系,将零星的知识编织成一张有序的、主次分明的知识网络,收到化厚为薄、纲举目张、易懂、易记、易用的高效.为了符合中学生从具体到一般的认知规律,使数学思想明朗化,化隐为显,我将从数形结合、归纳猜想、化归、分类这四种思想来展示我在初三复习数学思想这一内容的设计:

(一)、数形结合的思想

数学研究的对象是“数”和“形”的关系,数学家华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化,形数统一.数形结合不仅是探求思路的“慧眼”,而且是深化思维的有力“杠杆”.利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简.在初中阶段,首先接触到的是数形结合的思想,并在三年的学习中不断应用和深化.

1.代数部分(代数问题几何化):

(1)利用数轴理解“绝对值”的概念、比较有理数的大小及不等式(组)的解集.

(2)整式的乘法公式.在复习这个知识点时,借助图形推导单项式乘法、单项式与多项式的乘法及多项式与多项式的乘法的运算法则.

例1:(七年级下册)请用几何图形直观地解释:(3b)2=9b2.

分析:可将(3b)2看作边长为3b的正方形的面积.

图2

∴(3b)2=9b2

(3)图象法解决实际问题.①确定位置.平面内点的位置与直角坐标的关系,从而引出直线与二元一次方程(即一次函数)的对应关系.②用图象法解二元一次方程组或不等式(组)③利用图象复习函数(一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数)的性质及应用.④方差与标准差(利用图形来讨论数据的离散程度).⑤绘制统计图表,用这些图表来反映数据的分布情况,发展趋势等.

例2:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,2),且图象经过(−1,0).①写出方程ax2+bx+c=0的根.②写出ax2+bx+c>0的解集.③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.

分析:如果采用先求出解析式,再解方程和不等式,这样的方法比较麻烦.若学生先根据已知条件画出函数的大致图象(如下图),再根据图象性质解决问题那就容易多了.

图3

∴由图象得:(1)x1=−1,x2=3(2)−11

例3:小明和小兵两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如表所示.谁的成绩较为稳定?为什么?

测试次数1 2 3 4 5小明13 14 13 12 13小兵10 13 16 14 12

分析:将两组数据表示在数轴上(见下图),学生们很直观地会发现:这两组数据的平均数是13,小明的成绩比较集中地在平均数13的附近波动,而小兵的成绩却比较分散,各数与平均数13的距离较远,所以小明的成绩比较稳定.

图4

2.几何部分(几何问题代数化):

(1)勾股定理的证明及其应用

勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理:在一个直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.a2+b2=c2(见右图)

图5

(2)点与圆、直线和圆、圆和圆的位置关系等化为数量关系来处理.

例如:圆和圆的位置关系的探究——根据所画的两圆的位置关系,得到两圆的半径(R、r)和圆心距(d)之间的数量关系.

两圆的位置关系

图6

(3)利用三角函数解决三角形中求角度和边长的问题.

(4)利用方程解决三角形中求角度的问题.

例如:已知△ABC中,AB=AC, AD=BD=BC,求∠A的度数.

图7

分析:以形思数,由几何图形及图形的边之间的关系,想到代数中的方程,本题体现了数形结合的数学思想,设∠A=x℃,则∠ABD=x℃,∠BDC=∠C=∠ABC=(2x)℃,利用三角形的内角和定理,得x+2x+2x=180,易求∠A的度数.

(二)归纳猜想的思想

数学中许多定理、公式、法则的发现、证明或推导的过程都要经历一个归纳猜想的过程.归纳是通过对个别的、特殊的情况加以观察、分析,从而导出一个一般性结论的方法.是一种从特殊到一般的推理方法.猜想具有两个显著的特征:(1)具有一定的科学性;(2)具有一定的推测性,即结论可能正确也可能错误.归纳猜想法在初中数学中多数用于探索规律.归纳猜想是科学研究中最常用的方法,可以培养学生良好的数学素养,增强运用数学思想方法解决数学问题的能力,它具有很大的创造性,它是发明创造,推动社会进步的一种重要的思维形式.初中数学教材体现归纳猜想的思想的内容主要有以下几方面:(见数状图)

图8

例:(七年级下册)问题解决

(1)观察:

你发现其中的规律了吗?你能用代数式表示这一规律吗?

(2)利用(1)中的规律计算124×126.

(3)你还能找到类似的规律吗?

分析:容易发现积的末两位数字都是24,是两个因数的个位数字的乘积,经过进一步观察可以得到:2=1×2, 6=2×3,12=3×4,···

也就是说积的百位以上的数字组成的数等于原来的十位数与此数加一的积.

于是我们可以猜想:如果两个数是10a+4与10a+6,则它们的积的末两位数字都是4×6=24,百位以上的数字组成的数等于a(a+1).

同时我们观察到两个因数的个位数字的和是10,进一步猜想是否两个数的个位数字的和对于10,十位以上的数字相同,都有类似的规律呢?

自己举两个特例继续观察:

(1)

于是我们可以进一步猜想:如果两个数是10a+b与10a+(10−b),则它们的积的末两位数字都是b(10−b),百位以上的数字组成的数等于a(a+1).

(三)、化归(转化)的思想

化归(转化)的思想不仅是一种解决数学问题最核心的重要思想,也是一种最基本的思维策略,更是一种有效的数学思维方式.化归的思想是通过数学内部的联系和运动变化,在转变中实现问题的规范化,即将待解决问题转化为规范问题,从而使原问题得到解决的方法.也就是说要把要研究的新问题转化为已学习的老问题;不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题或者将复杂的问题化归为比较简单的问题;又或者将复杂图形化归为基本图形等等,这需要学生充分调动已有知识和经验用以解决问题.化归的基本功能是:生疏化成熟悉,复杂化成简单,抽象化成直观,含糊化成明朗.

化归方法包含三个基本要素:1、化归对象,即把什么东西进行化归.2、化归目标,即化归到何处去.3、化归途径,即如何进行化归.

(1)复习初中代数知识,利用化归方法,将有理数大小的比较转化为算术数大小的比较,有理数的运算化归为算术数的运算,可将整式运算通过同类项的概念等化归为有理数的运算,分式可化为整式运算,分式方程转化为整式方程等等.现把有关数、式、方程的化归过程整理成如下的结构图:

图9

(2)初中几何复习,主要有以下几种化归的类型题目:

①将多边形内角和化归为三角形内角和;②将梯形化归为三角形和平行四边形;③将特殊四边形问题化归为全等三角形;④将相似三角形问题化归为对应线段成比例;⑤将四边形四边中点问题化归为三角形中位线.

例:(九年级上册)证明等腰梯形在同一底上的两个角相等.

已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC.求证:∠B=∠C,∠A=∠D.

图10

分析:我们前面已经证明过“等腰三角形的两个底角相等”,如果能将∠B与∠C转化成等腰三角形的两个底角,就容易证明了,所以可以将AB平移到DE的位置,即过点D作DE//AB,将等腰梯形ABCD的问题转化成了平行四边形ABED和等腰三角形DEC的问题,利用平行四边形和等腰三角形的性质和判定,问题就可以解决了.

(四)、分类的思想

分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象按不同情况进行分类,然后逐一研究解决的思想方法.分类思想的核心是如何进行正确的分类,而进行正确划分的关键是讨论的对象.首先要确定被划分对象以及所被划分对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,分类的对象是确定的,标准是统一的,不重不漏,科学地划分,分清主次,不越级讨论.再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论.它在初中数学知识的整理、概念的学习、证明中十分重要,它可以使大量繁杂的材料条理化、系统化,为人们进行分门别类的深入研究创造条件.

分类的思想随处可见,初中阶段主要有下面几类:

(1)概念的分类:如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类;

(2)解题方法上的分类:如代数式中含有字母系数的方程、绝对值方程、不等式、化简带绝对值或根号的式子的求值问题;

(3)几何中图形位置关系不确定的分类:等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等.

例1:如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?

图11

分析:因为等腰三角形的顶角顶点不确定,所以要进行分类讨论,三角形的三个顶点都有可能为顶角顶点,所以应该分三类:

①当点D为顶角顶点时,以点D为圆心,DO为半径作圆,与直线a有一个交点,所以等腰三角形只能画1个;

图12

②当点O为顶角顶点时,以点O为圆心,OD为半径作圆,与直线a有两个交点,所以等腰三角形能画2个;

③当另一个顶点A为顶角顶点时,作线段OD的中垂线,与直线a只有一个交点,所以等腰三角形只能画1个;

∴综合①②③可知满足条件的等腰三角形能画4个.

例2:在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间(0

分析:题目没有说明要求△QAP的哪个点与△ABC的哪个点对应,既相似三角形的对应关系不确定,所以要进行分类讨论,因为点A与点B都是直角的顶点,点A与点B肯定对应,所以应分两类:

三、特例分析,提炼内涵,凸显思想,优化思维

从近三年的佛山数学中考题来看,似乎有这样的一个导向性的趋势——数学思想.而这种导向性正是给“应试教育”一个沉重的打击,给教学注入了一针“清醒剂”.数学思想是数学方法的灵魂.概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律被揭示的过程等都需要运用数学思想来解决.如化归、数学模型、类比、分类、归纳猜想等思想方法是一种导向型思想,在学生解题思路分析过程中必不可少的.学生数学思想的形成和运用取决于教师的长期训练.因此,在复习时,选择最具有新特点的题型,引导学生从题目的纵横向思考,从数学思想方法的角度去分析探索,促使学生掌握数学思想.经过反复提炼和概括,使学生理解方法的本质,进而上升到理解数学思想的高度.

例1.(2010年佛山中考)新知识一般有两类:第一类是一般不依赖其他知识的新知识,如“数”,“字母表示数”这样的初始性知识,第二类是在某些旧知识的基础上联系,拓广等方式产生的知识,大多数知识是这样一类.

(1)多项式乘以多项式的法则,是第几类知识?

(2)在多项式乘以多项式之前,我们学习了哪些有关知识?(写出三条即可)

(3)请用你已有的有关知识,通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法则如何获得的?(用来说明)

反思:数形结合思想明朗地显于题目中,根据公式特点以及图形特征,把问题直观化、形象化,利用图形的直观性和乘法分配律来验证.

例2.(2010年佛山中考)一般来说,数学研究对象本质属性的共同点和差异点.将数学对象分为不同种类的数学思想叫“分类”的思想.将事物分类,然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做:“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:

如图,在△ABC中,∠ACB≥∠ABC

(1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD～△ABC(不包括全等)

图13

(2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD～△ABC(不包括全等)的点D的个数.

反思:本题涉及到的数学思想是分类讨论思想,第一分类标准是D点的位置,根据图形D点位置分为三种情况:①在线段AB上,②在线段AB的延长线上③在线段AB的反向延长线上;第二分类标准是角的分类,根据角的分类把∠BAC分为锐角、直角、钝角三种.关键点是根据特点,确定划分标准.

例3.(2012年佛山中考)24、规律是数学研究的重要内容之一.

初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.

请你解决以下与数的表示和运算相关的问题:

(1)写出奇数a用整数n表示的式子;

(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;

(3)函数的研究中,应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).

下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究:

xi0 1 2 3 4 5 ··· yi0 1 4 9 16 25 ··· yi+1−yi1 3 5 7 9 11 ···

由表看出,当x的取值从0开始每增加1个单位时,y的值依次增加1,3,5...

请回答:

反思:根据题目的特点,可以判断为归纳猜想的思想.在解题时,一般可以适当增加一些数值,以便于猜想、归纳,减小难度.

反思:学生已学会解二元一次方程组,分式方程,一元二次方程.解这样的方程组不在于知识,而在于能力,在学习二元一次方程组的解法中,重点在于强调消元思想,在于通过代人获加减法消去一个未知数,达到化二元为一元的目的,能否利用化归思想解决这一问题的关键所在.利用图象法解答也可以,先画出函数y=4x和的图象,找出两图象的交点,目的在于引导学生利用数形结合的思想来解决这一问题,解题后,引导学生从题目的横向思考,找出其他解法,归纳出同一问题中隐含着多种数学思想;从题目的纵向思考同思路的习题,概括出同一思想方法在不同问题中的应用,促使学生掌握数学思想,达到培养能力,变得“聪明”的目的.

数学教学不能满足于单纯的知识灌输,就题论题,应在基础与能力之间架设桥梁,使学生掌握数学中最本质的东西——数学思想.在初中数学中,有效发展数学思想,对培养学生的创造力和优化学生的数学素养有着极大的帮助,让学生学到真正的数学.

[1]《义务教育数学课程标准(2011年版)》北京师范大学出版社

[2]李铁安《义务教育课程标准(2011年版)案例式解读初中数学》教育科学出版社

[3]朱成杰《数学思想方法教学研究导论》文汇出版社