初中分阶段实施分类讨论思想教学的实践与思考*

广东省佛山市南海区里水中学(528244)杨俊荣

初中分阶段实施分类讨论思想教学的实践与思考*

广东省佛山市南海区里水中学(528244)杨俊荣

所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化.分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又可促进形成学生研究问题、探索规律的能力.初中数学教材内容里面的一个概念,甚至是概念中的一句话、一个词都隐含着分类讨论的思想,无论在代数还是几何中都能找到.分类思想已渗透到数学的各个方面,某些问题若不分类讨论,就会无从着手或顾此失彼,导致错误的发生.近年来中考考题中涉及分类讨论的试题也逐渐增多.但初中学生常常分类讨论的意识不强,不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类.这就需要教师在教学中结合教材,创设情景,予于强化,需要区分种种情况进行讨论的问题,启发诱导,揭示分类讨论思想的本质,从而培养学生自觉应用分类讨论的意识.

新课标根据学生发展的生理和心理特征,将九年义务教育数学课程的学习时间划分为三个学段.同时新课标在“实施建议”中也指出:“学生在积极参与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想”.以前我们在教学过程中,不是忽视提炼数学思想方法就是太急进,效果都不好.为了改变这种状况,结合本人主持承担的省级课题的子课题《如何在初中渗透分类讨论思想的有效教学策略研究》,我们课题组在7–9年级的初中学段中进行了分阶段实施“分类讨论数学思想方法”教学的实践研究,并取得了较好的效果.

一、实施前调查分析学生现状

我们课题组分别从三个年级中抽取了A、B、C三个层次各100名学生进行了抽样调查,通过问卷调查、访谈、测试、个案追踪等方法进行调查研究,最后,大概总结出了如下几点:

①A层学生存在“内隐学习”.不管我们进不进行“数学思想方法的渗透和提炼”,他们都会自觉领悟.

②C层学生,进行“数学思想方法”的提炼也难以提高问题解决的能力.他们或者是知识还不过关、或者是虽知识过关但停留在机械学习的层次上.

③B层学生(50%左右的学生都属于这一层),进不进行“数学思想方法的渗透和提炼”差异显著.调查表明,他们有过关的知识基础,教师加以组织、给予启引,对思想方法进行提炼很快就能产生理解.若没有数学思想方法的提炼这一环节,大批B层学生的认识就停留解该题的操作层面,面临新情景表现出来的问题解决能力就不一样.这说明,对多数学生而言,领悟“数学思想方法”不能单靠“内隐学习”,教师提供“从内隐到外显”的机会、设计“从内隐到外显”的逻辑通道很重要.

④学生对数学思想方法的认识、感知、运用有个接受过程,与他们的知识基础和经验有关,与他们的思维发展程度有关,教学中想让学生“一口吃成胖子”,往往过犹不及.

二、分阶段实施分类讨论思想教学的实践

北师大版教材在实施新课标过程中根据初中学生各阶段思维水平的不同对分类讨论思想的渗透教学的程度呈现也不同.

基于上述调查分析的学生现状,我们课题组从七年级开始对本届四个班级学生进行实验,跟踪了六个学期,并与上一届进行对比分析.在考虑实施分类讨论思想的教学时主要可分为五个阶段进行,下面是我们的一些尝试和体会:

(一)第一阶段:初步渗透分类的数学思想方法.

这一阶段的教学主要在七年级上册的教学中进行.七年级学生,虽然具备了一定的知识和经验基础,但直接经验少,理解能力差,思维形式正处在由具体形象思维而逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段,仍属于经验性逻辑思维,很大程度上需要依赖具体形象的经验材料来理解抽象知识和概念.故教材让学生在模仿与尝试中初步感受分类的思想方法.对隐藏在具体内容中的数学思想方法,抽象又陌生,学生是新手,往往缺乏方向感和有序性而思绪紊乱.这需要我们分析学生在获得数学思想时有怎样的偏颇和障碍,把握学生的心理规律,并设计适当的感性和理性活动,进行有针对性的启发和引导,设计能帮助学生真正获得数学思想的执行序列,因为成熟的数学思考过程是有序的,自然合理的,简单的.

七年级上册教材安排主要是让学生初步了解如何把已知的几何图形按一定的标准分类.此学段只是让学生在模仿与尝试中初步感受分类的思想方法,并未涉及到分类讨论的层面.

例1:(七年级上册P2数学理解第3题)将下列几何体分类,并说明理由.

图1

解:(1)若按柱体、锥体、球体来划分,1、2、4、6、7是一类,为柱体;5是锥体,3是球体;

(2)若按组成面的平或曲划分,3、4、5是一类,组成它们的面中至少有一个是曲的,1、2、6、7是一类,组成它们的面都是平的;

(3)若按有无顶点来划分,1、2、5、6、7是一类,它们都有顶点,3、4是一类,它们没有顶点.

分析:“分类”的方法小学都有部分涉及,本题让学生初步了解分类思想,使学生知道分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一子类的问题加以解答,不同的分类标准有不同的分类结果.这只是在小学时对“分类”的感性认识的进一步发展.北师大版教材的编排将知识内容以螺旋形式上升呈现,而初中教学与小学肯定要有区别,但这不等于我们可以任意拔高,无视违背刚上初中的七年级学生的认知规律.所以我们更要认真研读《课标》要求,准确目标定位.针对这些目标,我们可以设计让学生去观察、实验、探究、提问、讨论、猜想、验证等活动,在这些活动中渗透分类讨论数学思想方法,并将它们显化,这有助于学生加快认识数学思想和方法,但是不宜进行不切实际的拓展和挖掘.

(二)第二阶段:初步接触分类讨论,意识和领悟阶段.

这一阶段的教学主要在七年级下册的教学中进行.在七上的基础上继续探讨三角形的分类.让学生进一步理解按不同的分类,标准将有不同的结论,如:例2、例3.同时初步接触分类讨论的思想方法.对学生的分类讨论思想有了进一步的发展.

例2:七年级下册P63议一议

(1)下面的图(1)、图(2)、图(3)中的三角形被遮住的两个内角是什么角?试着说明理由.

(2)将图(3)的结果与图(1)、图(2)的结果进行比较,可以将三角形如何按角分类?

图2

我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类:

图3

分析:学生从游戏中归纳出根据三角形内角的大小能把三角形分成三类.然后让学生任意说出三角形的两个内角的度数,请其他同学说出是什么三角形.通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想.

例3:七年级下册P66引例

三角形按边分类:

按边分:

图4

分析:学生能够根据上节课的内容,将所给的三角形按角进行分类,类比想到第二问,体会如何按边来分类,教学过程中渗透分类的数学思想.

通过对等腰三角形的认识,引出等腰三角形的定义以及三角形按边分类,进一步体现数学分类的思想.

(三)第三阶段:挖掘、显化分类讨论思想方法,让学生形成用分类讨论思想解决问题的主动性.

这一阶段的教学主要在八年级的教学中进行.八年级的学生已经具备了一定的学习能力,抽象思维能力已基本形成,具备了一定的知识储备和学习经验,虽然看问题仍不全面,易片面,但学习的独立性,自觉性增强,抽象逻辑思维能力初步形成.这个时期可以通过具体的教学内容,在教学活动过程中尽可能地挖掘和体验数学思想方法,让学生在独立探索与合作交流中更好地理解分类讨论的思想方法.逐步形成和提高学生的逻辑思维、发散思维等能力.因此,结合学生实际,深入剖析教材,从数学知识的发生发展过程中挖掘数学思想方法,融数学知识学习、思想方法学习于一体,能切实提升学生有效的数学学习力.

1.八年级上册

在七上,七下的基础上,进一步探究几何图形的不确定造成的分类讨论,但图形分类后融入了计算和对比,让学生在实际问题中感受分类讨论的必要性,使学生养成用分类讨论思想解决问题的主动性.

例5:八年级上册P29解决问题第12题

如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?

图5

分析:此题在分析如何求蚂蚁的最短距离时,要考虑三种展开图中去分别计算和比较,这体现了分类讨论思想.教学中可让学生自主学习、合作交流,充分体验分类讨论思想的的运用.

2.八年级下册

在八上的基础上继续巩固和提高在几何图形中进行分类讨论并计算的能力.此时的分类有一定的隐蔽性,要求学生有严密的思维和用分类讨论思想解决问题的主动性.如:等腰三角形、直角三角形的分类讨论问题等.(例6)

同时新涉及到了代数范围的分类讨论,对字母的取值范围分类进行讨论,此时对学生的抽象思维能力有了一定的要求.如:不等式的基本性质及其应用.(例7)

例6:1.等腰三角形中一个内角为50℃,那么它的底角是____;

2.等腰三角形一边长为4,一边长为9,它的周长是___;

分析:已知等腰三角形一个内角的度数求另外两个角的度数,或已知等腰三角形一条边长求另外两条边的长,一般都要分类讨论.

例7:P41:不等式的基本性质2、3用式子可表述为:

1.若a>b,

分析:在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一类的情况加以分析解答.

此阶段是在学生对数学思想方法有了初步的了解和认识之后,我们尽可能在设计问题和设计教学时挖掘、显化数学思想方法,让思想方法在学生大脑中“着床”,积累更多经验,逐渐养成思维能力.与以前的教学相比,学生的思维和能力有了质的飞跃.

(四)第四阶段:深化与发展阶段.

这一阶段的教学主要在九年级的教学中进行,主要是以三角函数、反比例函数、二次函数、圆的有关知识为载体展开.对于九年级的学生,已经具备了相当的知识水平,对数学思想方法有了一定的理解,并在解决问题过程中形成了一定的运用思想方法的意识.因此教学中教师应重点引导学生从变化多端的问题情境中抓住问题的实质,寻求不同问题解决中的共同的内涵,让学生主动领悟隐含于数学问题背后的思想方法,并主动运用分类讨论思想方法解决共性的问题.

1.九年级上册

在八年级的基础上对学生的抽象思维能力有了更进一步的要求,在分类讨论问题时往往融入了数形结合的数学思想,要求能够分类画出不同情况的图形然后进行讨论计算.

例8:(九年级上册P86问题解决第4题)

如图,在△ABC中,AB=8cm, BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4 cm/s.如果P、Q两动点同时运动,那么何时△PBQ与△ABC相似?

图6

分析:相似三角形的分类讨论主要由三角形对应顶点或对应边的不同情况引起的.分两种情况讨论:当△BPQ∼=△BAC时,有;当△BPQ∼=△BCA时,有

(二)九年级下册

在九年级上册的基础上对学生的形象思维和抽象思维能力有了更高的要求,在分类讨论问题时融入了数形结合数学思想,要求学生能够分类画出不同情况的图形然后进行证明,而在证明过程中往往同时渗透着化归的数学思想.在此学段往往出现一些综合运用数学思想方法的题型,对学生要求达到了较高层次.

例9:(P79页圆周角定理的证明):

圆周角定理:“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”

解:情况1:如图7,当圆心O在的一边BC上时

情况2:当圆心O在的内部时

如图8,连接BO并延长交圆O于点D

情况3:当圆心O在的外部时,

如图9,连接BO并延长交圆O于点D

图7

图8

图9

分析:学生需要分类画出三种不同位置的图形,这对学生来说难度教大,大部分学生只会画出其中一种或两种.教学过程中要有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法.

(五)第五阶段:感悟数学思想方法,衍生思维.

这一阶段是数学思想方法的内化过程,它是获得能力的自身性增长与实质性提高、具有形成新认知结构功能的过程,也会是一个漫长的过程,需要学生对学习过程和知识内容进行自觉的反思,使理解进入到深层结构,通过已知学未知、通过分析“怎样学习”而领悟“怎样学会学习”.单纯的实践保证不了从感性到理性的飞跃,所以学生若停留在掌握知识、学会解题甚至能做变式题、能说出所用的数学思想方法这样的层次,远远不够.日本著名数学教育家米山国藏指出“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神,数学的思想、研究的方法和着眼点等,这些随时随地发生作用,使他们终身受益.”怎样让学生跨越“数学知识学习+练习+数学思想方法的接受”而获得本质领悟衍生思维呢?我们应在教学活动中,努力搭建让学生自觉反思的平台或机会,也一样可用启发式法促进学生自觉反思、自发领悟.当然,“自发领悟”作为隐性学习,不同于技能操作,有待我们进一步的研究.

三、研究成效及反思

1.通过三个年级教材中分类讨论思想方法的教学实践,让我们体会到:

(1)数学知识是将数学思想和数学方法应用于解决问题的实体,而强化数学思想方法的教学是提高学生学习成绩的有效途径.

(2)在数学教学中,教师应精心设计问题,有意识地梳理和归纳数学问题中的分类的方法,渗透和揭示其中分类讨论的数学思想,培养学生形成良好的数学素养.

(3)数学思想的渗透与方法的提炼不是一蹴而就的,它是一个细致而漫长的过程.在教学中我们要注意每个学段课标的具体要求,根据学生的思维发展水平安排相应的教学,不可拔苗助长.

2.在教学中,如何引导梳理数学思想方法呢?以习题教学为例,习题教学其实可以通过分析解题的过程与步骤,提炼出数学实质与逻辑结构.于是内在的思想方法就有机会浮出水面了,不浮出水面也能作为“隐性知识”而“渗透”在学生的思想里.事实证明,这种方法还是行之有效的.过去,我们较好的学生都只是做一题会一题,现在,我们较好的学生中85%以上能正确分析解决变式题,达到了做一题会一类的能力.

为了检验分段实施分类讨论思想方法教学的效果,我在初三的一次模拟考试中出了两道跟三年前一样考查分类讨论思想的题,结果表明,我们的教学可行而且有效.下面是本届A层班该题得分情况与三年前相应层次学生的对比:

(三年前)班别九(8)九(9)九(10)九(11)得分率0.42 0.50 0.49 0.63 (本届)班别九(6)九(7)九(8)九(9)得分率0.79 0.73 0.75 0.72

而从全级来看,本届九年级学生的数学成绩(平均分、合格率和优秀率)在这三年也是一年比一年好.从七年级到现在,与兄弟学校的成绩对比中也可发现,我们的学生在应用分类讨论思想解决问题的能力有一定的优势.

3.数学思想方法也应及时巩固.

我们的课堂教学,已意识到渗透数学思想方法的必要性和重要性,但也常常仅止于此,无论是一堂课的课堂练习、课堂检测还是课外作业,往往都只关注知识点的巩固,而忽视了思想方法的巩固.

案例:在“反比例函数的图象与性质”一课的教学中,我有意识有渗透有分析有显化分类讨论的数学思想,只是没有及时用相应的习题去巩固这种思想方法,结果在后来的一次检测中,解决题“已知点(x1,y1),(x2,y2)都在反比例函数图象上,且x1>x2,比较y1与y2的大小.”时,只有大概40%左右的学生有分类意识,虽然这与学生对反比例函数的图象性质认识不足有关,但也充分说明了,没有及时巩固数学思想方法,哪怕你提供了高认知水平的教学,也无法达到预期的效果.

在后面的教学中我进行了改进,在证明“圆周角定理”这一节课时,除了对分类思想进行提炼和梳理外,还特地在随堂练习中出了几道“风牛马不相及”的练习,这几道题没有涉及“圆周角定理”的知识,但涉及分类的思想方法.及时对这种思想方法进行了巩固.

备课组在这一章的测验和一次模拟考试中分别出了这样两道题:

(1)“若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为8,最小距离为2,求此圆的半径.”

(2)证明圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;

说明:根据圆周角和圆心的位置关系,分三种情况:圆心O在∠A的一条边上如图10;圆心O在∠A的内部如图11,圆心O在∠A的外部如图3,

①请根据图10证明圆周角定理,(要求:写出定理的已知、求证、证明).

图10

图11

图12

图13

②利用①的结论请选择图11或图12证明圆周角定理(要求:只要写出证明过程)

③如图13,∠A为弧BC所对的圆周角,过点B作射线BE交圆O于点D,点P为射线BE上任意一个点,请你比较∠BPC与∠A的大小.(要求:直接写出答案,不用证明.)

能有分类意思的学生分别占90%、83%,能顺利运用分类讨论的方法解决问题的分别占86%、75%.若没有这一环节,估计能做对、做全这两题的同学不会达到一半.

4.课堂小结不应把数学思想方法置于被遗忘的角落.总结反思是任何课型都必须给予关注的环节,通过总结反思能有效把握知识的脉搏,对于学生来说,是构建良好的认知结构、发展数学思维能力的平台.在近几年的课改课堂中,小结的环节老师总是机械地:“本节课你学到了什么”“说说你的困惑”等,学生的回答也落入俗套或模式化,唯独少了对数学思想和数学本质进行归纳和再一次显化的重要环节.

数学思想方法是不可视的,蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中.这些内涵与功能,学生往往不易自觉地发现,只有通过教师的创造性再加工,才能既激发学生的兴趣,又激活学生的创造思维.在教学中,我们要多研究、多实践、多探索,让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想.从而提高学生的数学素养,对学生进行思想观念层次上的数学教育.

*本文是广东省教育科学“十二五”规划立项课题“中学数学思想方法”课题的子课题成果之一.