小学几何教学中的数学思想方法

张 茹 孔企平

小学数学中的几何部分，是学生学习数学知识的重要部分，也是发展学生空间观念的重要载体。在小学数学的几何部分，蕴含着丰富的数学思想方法。那么，在小学几何教学中学生应该感悟到哪些数学思想方法呢？本文将小学几何中蕴含的四种重要数学思想方法梳理如下。

一、几何直观的思想

几何直观就是通过直观图形，对数学概念、问题和关系进行分析和把握。或者说，就是利用几何对事物本质的一种直接洞察，以把握数学问题的全貌。《数学课程标准》指出，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观有利于数学概念的理解。例如,有教师在执教“乘法的初步认识”时,对于算式3×4,不仅引导学生用不同的式子表示,像 4+4+4,3+3+3+3,4×4-4,3×5-3,3×3+3等,还引导学生用几何图形来表示算式3×4的意义。如图1所示,通过几何直观为学生主动建构乘法意义的表象提供了丰富的素材,加深了学生对乘法意义的理解。

图1

几何直观有助于运算教学中抽象法则的学习。例如，有教师在执教“乘法分配律”时，引导学生运用几何图形来解释该运算律的含义。如图2所示，原长方形的长为a、宽为b，底边长a增加了c，此时大长方形的面积是多少？如何求得？学生经过思考，发现存在两种方法求得大长方形的面积。第一种方法，大长方形的长变为（a+c），宽仍为 b,所以长方形的面积为“（a+c）×b”；第二种方法，大长方形面积可以看成两部分面积和，即原长方形的面积a×b加上增加部分的长方形面积c×b，所以大长方形的面积为“a×b+c×b”，所以（a+c）×b=a×b+c×b。此处，几何图形的直观教学帮助学生很好地理解了乘法分配律。

图2

几何直观也有利于问题解决。对于一些稍微复杂的数量关系问题，学生无法直接理解，此时可以借助几何直观帮助学生解决问题。

二、转化推理的思想

转化思想是几何学习中的重要思想方法，它贯穿几何学习的始终，在几何学习中占有很重要的地位。

儿童的几何推理实际就是将未知“转化”为已知的过程。如图3所示，从矩形面积公式出发，通过割补等活动将平行四边形转化成矩形，从而得出平行四边形的公式。同样，从矩形面积公式出发，通过分割把一个长方形分为两个直角三角形，推导出直角三角形的面积是相应矩形面积的一半，而任意三角形都可以转化为直角三角形，从而知道三角形的面积就是“底边长乘以高的一半”。另外，还可以把三角形转化为平行四边形的一半。

图3

几何学习中还有维度之间的转化。例如，学生在学习圆柱和圆锥的侧面积时，由于这两个立体图形的侧面是曲面，学生很难得出曲面面积。因此，可以分别用剪刀剪出圆柱和圆锥曲面的展开图，此时将得到一个长方形和一个扇形，这样就将立体图形转化成了平面图形。通过这些大量的活动，学生将体会感悟到把一个其他图形转化为已知图形，从而推导出相应公式的转化思想方法。

三、运动变化的思想

小学数学中几何变换的内容主要涉及平移、旋转和轴对称三部分。该部分内容的学习过程中渗透了运动变化的思想，需要让学生在实际操作中感受运动和变化，能够从运动变化的角度理解概念并思考问题。

“点”运动形成“线”的思想可以帮助学生很好地理解一些几何概念的本质。例如，让学生寻找距某条直线距离相等的所有点，所有的点形成了平行于该直线的另一条直线。再如，让学生寻找距某定点固定距离的所有点，我们发现所有的点形成了一个圆。

“线”运动形成“面”的思想有助于学生更好地把握不同图形间的逻辑联系。例如，学习长方形、正方形以后，学生可以利用自制的由四根小木条钉成的长方形框架进行演示，把宽边慢慢往里移，成了正方形，再往里移又成了长方形，从而使学生感悟出正方形是长方形的特例。

“面”运动形成“体”的思想有利于学生掌握立体图形的特征，提高学生的空间想象力。例如，将长方形绕某一边旋转360度后将形成圆柱；将三角形绕某一边旋转360度后将形成圆锥。

在教学过程中，我们不仅要用运动的眼光来看待变换几何的问题，还要能找出运动中的“不变”。例如，平移、旋转以及轴对称变换中，变换前后的两个图形的大小和形状都是不变的。而在平移变换中，平移前后两个图形中每对对应点确定的线段也是同向、平行且相等的。在旋转变换中，旋转前后两个图形上每对对应点到旋转中心的距离是相等的；旋转中心到每对对应点所引射线所成的角都同向且相等。

四、坐标几何的思想

小学几何学习中已经开始渗透坐标思想，主要体现在方格纸上。方格纸是坐标的基础。通过方格纸，学生可以了解到交点、数值以及从左向右、从下向上的看图方法，这些都是学习坐标轴时需要的基础知识。事实上，方格纸左边线的延伸就是纵轴，下边线的延伸就是横轴，且方格纸以一格为单位。而且方格纸相对来说更加具体形象，这为学生过渡到坐标系的学习建立了表象。

小学几何变换的学习，仅限于在方格纸上进行，即沿着平行或垂直于方格纸的边缘线进行。不涉及直接按斜线方向运动的情况（但可以先按照平行方向运动若干格，再沿着垂直方向运动若干格）。小学生在方格纸上通过平移和旋转来画图，并在方格纸上观察并画出轴对称图形，这些都体现了坐标几何的思想。

小学阶段，坐标思想还体现在用数对确定物体位置的内容上。学生先是在实物图中确定位置，再在点阵中确定位置，最后在方格纸中确定位置。学生通过用数对在方格纸上确定位置的学习，逐渐理解只有两个数才能确定一个位置，这个位置就是数对表示的行与列的交点。这为日后坐标系中某个点的坐标表示打下了基础。

综上所述，小学几何中蕴藏着丰富的思想方法，值得进一步深入研究。在小学数学教学中，帮助小学生积累几何活动经验、感悟数学思想方法、形成空间观念是小学几何学习的重要任务。