一类二次函数绝对值问题的解法探究

浙江省金华市外国语学校高中部 (321000)

傅鲜兵 ●



一类二次函数绝对值问题的解法探究

浙江省金华市外国语学校高中部 (321000)

傅鲜兵 ●

二次函数与绝对值知识的结合，使得题型变得新颖，解法变得灵活，思维变得抽象.笔者结合2015年浙江高考理科第18题及2015年金丽衢十二校联考二模填空第15题，谈一谈对二次函数绝对值问题中，包含区间，最值一类问题的解法.针对该类题型，反解系数法可谓是绝妙！

一、缘起

例1(2015年浙江高考理科第18题) 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

(1)证明：当|a|≥2时，M(a,b)≥2;

(2)当a,b满足M(a,b)≤2时，求|a|+|b|的最大值.

二次函数在高考中常出常新，而2015年浙江高考理科卷18题的出现，又唤起了我们对这类问题的思考，与对过往经典的致敬！

二、思考

1.编过这类试题的老师都会发现，这类含绝对值、区间、最值问题的处理方法，主要是发现端点的函数值，对称轴的函数值与最值之间的联系.而端点函数值往往与最值相吻合，即端点最值！因为在其它情况下，题目很难编，情况会变得十分复杂，不适合出考题.基于这样的想法，代端点可以秒杀2015年金丽衢十二校联考二模数学理填空把关题即第15题！端点代入，秒杀解题：

三、解决

1.向经典致敬

例3(1998年“希望杯”高三赛题) 若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),对一切x∈[0,1],恒有|f(x)|≤1.

(1)对所有这样的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；(2)试给出一个这样的f(x)，使|a|+|b|+|c|确实取到上述最大值.

(2)取a=8,b=-8,c=1即可.

这道题是不老的传奇，影响了此后很多年.其实例2即金丽衢12校二模数学理填空15题即源于此！端点时取到最值，对称轴时取到最值的相反数，如出一辙！

2.反解系数法解决例1第二问

解 (2)∵f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,

又∵M(a,b)≤2,|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2.

易见a=±2,b=1时，|a|+|b|取到最大值3.

不难看出，该题可以由端点最值秒杀！ 即端点取到最值时！这些所谓的难题，难逃此率！

从二次函数的角度分析，不论a,b,c怎么取值，f(x)在区间上的最值只能是端点函数值或者对称轴时的函数值.这里需要特别指出的是要将二次函数中的系数a,b,c用端点函数值与对称轴函数值表示，然后运用绝对值不等式，进行适当的放缩.这就是解决这类问题的一般解题思考方法.

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1008-0333(2016)22-0039-01