以极限为例谈工科数学教学中概念的理解

张 梅，汪志圣



以极限为例谈工科数学教学中概念的理解

张 梅，汪志圣

在工科大学数学教学中，概念理解非常重要。“工具性理解”和“关系性理解”适用于不同的数学概念理解。基于最基本的极限的概念，提出了一些针对极限某些“反直观”性质的教学设想和教学反思。

工科数学； 概念理解； 极限

1976年英国著名的数学教育家、心理学家斯根普 (Ricard R.Skemp)首先尝试用“工具性理解”和“关系性理解”来解释数学学习中的困难。斯根普认为，工具性理解是一种语义性理解，如理解一个概念或符号所指代的事物，一个程序所规定的操作步骤等。简言之就是“只管是什么，不管理由”。关系性理解则要求对认知对象有更深入的理解，理解获得概念和规律(定理、公式、法则、逻辑依据等)的途径和意义。简言之就是“不仅知道要做什么，而且知道理由”。这两种理解模式后来被斯根普本人及他的学生赫斯科维斯(N. Herscovics)和维纳(S.Vinner)等人进一步扩充推广，相关部分的研究综述可参考[1]。

“工具性理解”和“关系性理解”的说法目前在国内已广为流传，一些研究可参考文献[2-4]。一般认为,可以依赖工具性理解的 “工具性数学”在数学教学中非常普遍。其主要特征包括：规则容易理解和运用，教学效果立竿见影，比起关系性数学所需知识更少，学习效率更高等等。相对应地，关系性数学则能适应多样性的任务，能通过概念间的相互联系将知识形成高质量的有机体，减少重新学习的时间，同时也能成为学习目标，增加学习动机等等。不过在脱离实际背景的前提下，我们很难评价“工具性理解”和“关系性理解”的优劣。

工科的大学数学教学目的主要包括两部分：一是加强数学基础，二是强调数学应用。为了达到这两个目的——尤其是要培养数学的应用能力，充分理解数学基本概念，更好地培养数学的观念和数学的思想就显得尤为重要。然而工科大学数学教学现状正如文献[1]中提到的：“传统的数学教学氛围大都有利于工具性理解的教学模式(包括对学生数学学习的评价，对教师数学教学的评价和教材中数学知识的过分简洁化表达)以及教师本人在构建自我有效的认知图式方面的心理困难等等，如此众多的客观因素使得人们渐渐地远离数学知识的关系性理解的教学而亲近工具性理解的教学。”大部分的工科数学教学严格遵循“定义——定理——实例(或反例)——练习(包括一些简单应用)”的传统模式。这种模式由于短期效应明显而被广泛采用。然而随着教学活动的进展，最终留在学生记忆力的多是一些解题的套路和技巧，却没能够或很少能够让学生对某些关键性概念获得充分的思考，进而去体会其中的数学思想。基于这个比较粗浅的理解层面，也就更谈不上能够刺激学生去应用所学解决新的，尤其是在相应专业中遇到的实际问题。

在工科的大学数学教学中，若过于追求理论的完整去着力于细节处理，则不免对整体缺乏全面理解，理论也就因此失去应用对象。反之，若从“会算会解决问题即可”的态度出发，就不可能培养出遇到必须从根本上加以研究的新问题时也能够设法解决的能力。换句话说，工科数学必须在理论和实用之间找到平衡。具体到工科的大学数学概念的教学中，哪些概念以获得工具性理解为主，而另一些概念可以尝试让学生获得关系性理解用以建立符合学生自身的关系性图式，是大学数学具体的教学中需要重点考虑的一个问题。本文旨在以极限概念为例浅谈理论和实用之间的取舍及其意义。

1 极限的概念的教学现状与实例分析

极限概念的本质是研究变量在无限变化过程中的趋势问题。极限概念蕴涵的思想在大学数学教学中的重要性毋容置疑。它突出了“以变量为思维对象”的基本观点。而最简洁明了地反映这一思想的是研究无穷数列(可列的无限数集)所表述的变量的变化趋势。然而在微积分的发展史上，极限概念的正确建立可谓一波三折，直到柯西在19世纪才给出了比较完整的极限理论。下面形式上更严格的极限定义则归功于维尔斯特拉斯：

给定无穷数列{xn}，若存在一个常数a，对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，恒有|xn-a|<ε成立，则称a是数列{xn}的极限。

这个定义可以看成是利用有限来讨论无限的经典范例。然而这个定义对计算极限并没有帮助。因此在“以用为主，够用为度”的指导思想下，极限的起源发展及其严格定义逐渐开始淡出工科高等数学教学环节。取而代之的是引入一些古老朴素的例子来说明极限思想，并用大量通俗的语言描述来叙述极限过程，也即：取一系列特定的ε值，再取相应的N，让学生在“逐一尝试”的过程中工具性地理解极限思想。这一理解模式一定程度上又回到了求助于运动直观去理解极限的范畴中。有意思的是这种典型的 “逐一尝试”的思维，有可能是形成有名的“飞矢不动”、“阿基里斯追不上乌龟”等悖论的缘由。这毫无疑问对学生理解极限是没有好处的。

维尔斯特拉斯给出的关于极限的(也可以看做是静态的)定义，给微积分提供了严格的理论基础。在利用这个定义证明极限时(或者在某种程度上说正确理解极限概念时)，正是对任意的正实数ε，求出具体对应的关键的(不唯一的)自然数N。其中N(依赖于ε)将数列分成两部分{x1,…,xN}与{xN+1,xN+2,…}。除去前面的有限集部分，后面的每一项(无限多个)都满足不等式|xn-a|<ε。关键的N与ε的关联，深刻地建立了有限和无限之间的一座桥梁。

一般教材中处理这个知识点时，对前者是给出两个无穷小的和(或积)是无穷小的证明，然后再用归纳法得到有限个无穷小的和(或积)仍是无穷小的结论。而对后者一般是举反例说明结论不成立(教材中往往只提供无限多个无穷小的和不是无穷小的例子)。这个处理方式在数学逻辑上没有任何问题，但容易对初学者造成这样的困惑：既然有限个无穷小的和(或积)还是无穷小，那么每次多加(或乘)一个新的无穷小结果仍然是无穷小，这个过程一直下去，无穷小的性质不应该一直被保持吗？但是反例又说明这样得到的结论是不对的，为什么？此处归纳法为什么对有限个无穷小有效却不能推广到无限多个无穷小的情形？

3 结论与反思

在上述实例中可以看出，造成学生对极限概念产生理解困惑主要在于工具性理解的教学模式只关注学生能否依据固定的程序性的方式去理解概念：也即出于某种自然性地对有限的情形进行归纳，出于正确性对无限的情形给出反例。至于为什么可以这样做以及更进一步的还可以怎样做(或怎样想)等等问题都不再提及。但由于极限概念的重要性，工具性理解将不利于学生在全新的情境内去应用这个重要知识(即作出学习迁移)，也非常不利于其学习其它的相关课程，最终影响其长期发展。

[1] 鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海:上海教育出版社，2009:51-77.

[2] 马复. 试论数学理解的两种类型——从R.斯根普的工作谈起[J]. 数学教育学报，2001(3)50-53.

[3] 钟志华. 数学理解的类型[J]. 数学教育研究，2007(11)44-45.

[4] 任伟芳，偶伟国，龚辉，张敏，朱赛飞，王继光，张奠宙. “工具性理解”“关系性理解”和“创新性理解”[J]. 数学教育学报，2014(4)69-73.

责任编辑：王 与

G420

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1673-1794(2016)05-0117-02

张梅，滁州学院数学与金融学院讲师，硕士；汪志圣，滁州学院资产与设备处，硕士(安徽 滁州 239000)。

安徽省级教学团队(2014jxtd040)；滁州学院教学质量工程项目(2015jy004)、(2016jyy04)

2016-05-09