小学数学课堂结构立序思考

荀步章

任何学科的内核是其结构，而不是具体的技术细节；尽管结构的本质是简单的，但其存在形态却可以是复杂的；任何学科，都是以结构为中心的符号形式系统。（布鲁纳）数学课程结构严密，数学课堂的教学结构更具普适性。如何体现认知主义的教育思想，使课堂符合学生的认知规律，促进学生的思维发展呢？

一、立知识发展之序，助学生思维生长

学科的内核是结构，课堂与学科结构保持一致性，才能遵循学生思考问题的本质。追求知识与课堂发展的顺序性，不囿于具体的技术细节，帮助学生思维更好地生长。以下选取苏教版教材“确定位置”教学内容，分析教材编排与课堂生成追求的结构。

1. 承前：用数对确定位置的起点。学生的已有经验是用一个数确定位置，一上教材第14页，老爷爷和小朋友排队买票，他们排成了一排，以窗口为“参考物”，老爷爷排第一，戴帽孩子排第二。这些内容，学生有相应的生活经验，教学时要激活他们的生活经验，用数学表述的方式描述，让他们学会在一条线上说清“第几”。

2. 需求：用数对确定位置的方法。一年级学习用“第几”确定位置后，五下教材第15页，学习用两个数确定位置。例题选取学生班级座位图，从熟悉的情境出发，问：“小军坐在哪里？”学生回答时出现几种不同说法：“小军坐在第4组第3个”“小军坐在第3排第4个”等。由于说法不一致，产生统一说法的必要性：数学中的常用规定是，“竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数”。把学生座位图抽象成点图，小军坐在第4列第3行，让学生创造如何表示他的位置，并说一说为什么这样表示。

3. 突破：用数对确定位置的超越。学会用数对确定位置后，学生需进行一些必要的强化练习。观察常规的课堂练习，归纳出来都是找数对与位置的对应关系，且仅限整数。为了防止学生出现思维定势，需要设计一些挑战性习题。如图1，已知A点用数对（3，2）表示，估计B、C两点分别用什么数对表示？让学生充分猜想，并说出猜的根据，然后出示图2。点B用数对（5，3）表示，部分学生能够猜出来。但C点全班学生都没有猜出来，因为它并不是我们通常所说的整数，而用小数表示数对，可以用（6？郾5，3？郾5）表示，学生又提出可不可以用分数表示？引发学生用不同方法表示数对的兴趣，并与后续的学习有效对接。

4. 延伸：线→面→体，用数对确定位置升华。学生掌握了用数对确定位置后，还不能停留于此，拓展学生的思维十分必要。帮助学生梳理，在一条线上，如何表示（图3），从左向右数第4个，从右往左数第3个。由线到面，一排一排出示（图4），红色涂一点，如何表示？学生很快得到用数对表示为（4，2），唯一表示，简洁方便。再由面到体，一层一层出示（图5），共三层，在最上层找一个点涂上红色，用什么方法表示呢？有学生提出用三个数来表示，思维得到了生长。

二、立认知需求之序，促学生思维成长

学习结构，就是要学习事物是如何关联的。（布鲁纳）一节课的时间虽短，但其结构存在形态却可以是多样的。高等数学与幼儿数学在结构上是一致的，但存在形态上具有很大差别。因此，在结构（不是具体知识形态的）意义上，任何学科都可以按照学生智育上发展的规律有效地对他们展开教学。例如低年级的“求差问题”，教师出示图6问学生：“苹果比梨多几个？”学生回答：“多2个。”“为什么？”教师接着问。学生回答：“就是多2个。”

教者设计意图是苹果和梨是一一对应的，右边多出来的两个，就是苹果比梨多的两个。然而学生心里怎样想？一眼就能看出多2个，这还要问吗？教材是静态文本的“终结”呈现，过程的设计需要教师来创造。因此，设计教学结构时需要用“倒序”的策略。

师（出示图7）：苹果多，还是梨多？

生（慢慢地数）：苹果有9个，梨有7个，苹果比梨多2个。

师：数的感觉怎样？

生：麻烦。

师：有好办法吗？让人一眼就看出来，苹果比梨多几个？

生：把苹果和梨排成一排。

师：好，我们就来排一排。

师：看一看，苹果和梨一样多？

生：不对呀，苹果比梨多2个呢。

师：看起来一样呀！

生：我们要把苹果和梨子对齐着放。

教师再出示图6。

师：这样放吗？为什么要这样放呢？

生：因为这样放，苹果和梨一个一个对齐了，一下子就看出苹果比梨子多2个。

教材中静态的文字和图片，让学生建构怎样的顺序，课堂要呈现怎样的结构，让学生经历怎样的思维，这些都值得每一位数学教师细细思考。这里采用“倒序”的方式，先“立序”后“编材”，帮学生建立“一一对应”的思想，从“无序”到“有序”，从“有序”到“一一对应”，层层螺旋上升，而不是“强硬”塞给学生。课堂上先呈现给学生一组杂乱的苹果和梨的图，让他们通过数一数的方法解决问题，感受其中的繁琐，产生摆成一排比一比的心理需求。接着，学生按要求把苹果和梨排成一排，但不是一个对着一个，两种水果两端对齐，感觉到还不够“工整”，产生“一一对应”的需求。学生在这一过程中，慢慢感悟到数学思想方法，积累一些数学活动经验，发展数学思维能力。

三、立路径验证之序，提学生思维快长

布鲁纳强调要重视儿童高级思维能力的开发，如顿悟与直觉思维等，它们在科学发现中起着重要的作用，应得到充分的关注。在“乘法交换律和结合律”教学时，学生循不同路径去思考，直觉感知去发现，都是课堂教学中的重要资源。学生通过自学教材了解乘法交换律用字母表示为“a×b=b×a”，教师采用展示学生思维的方式呈现课堂结构。

师：你们有方法证明吗？

生：可以举例子。

生：1×2=2×1，2×3=3×2，5×6=6×5。

师：例子举得完？有多少个？

生：举不完，有无数个。

师：猜想出来的规律，我们需要通过不同路径来验证。刚才，同学们举了很多例子，还有办法吗？其实，我们很早就明白这个道理了，看图9，停车场停12辆汽车，如何计算呢？

生：可以用4×3=12（辆），也可以用3×4=12（辆）。

师：我们可以根据这幅图，验证乘法交换律，一排停a辆车，一共有b排，停车场的车辆一共有多少辆？可以用（a×b）辆，也可以用（b×a）辆，结果应该是一样的。

乘法交换律教学一般是从教学情境出发，一道算式引发思考，学生举例发现交换律的规律。而上述片段则从规律本身出发，提出猜想：这个乘法交换律对吗？如何证明？通过大量举例发现规律的确定性，却只是不完全归纳法。验证规律还可以通过不同路径，从常见的情境图出发，采用二维图不同计算方法再次验证乘法交换律，使学生深刻感受到，规律是客观存在的，并且是被经常运用的。由此推及乘法结合律的教学。

师：乘法还有什么运算律？

生：乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）。

师：你们有方法证明吗？例子举得完吗？有多少个？

生：举不完，有无数个。

师：有办法验证乘法结合律吗？哪种图能说明呢？同学们在三年级学习乘法时做过一道题（图10），一共有多少箱苹果，怎么列式？

生：5×3×4。

师：先求什么？再求什么？

生：先求第一排有15箱，再求4排一共多少箱。

生：5×4×3，先求第一层有20箱，再求3层一共多少箱。

生：还可以竖着求，4×3×5，先求一列12箱，再求5列一共多少箱。

师：其实，同学们在列式的过程中，就存在着乘法结合律，（5×3）×4=5×（3×4）。

验证乘法结合律，学生会从乘法交换律中迁移，通过大量举例感受并验证乘法结合律的存在性。教师结合学生的生活阅历，运用教材原题，让学生进一步体验从不同角度观察，发现不同的列式方法，并及时呈现不同算式，联系生活意义，发现我们经常无意识地使用着乘法结合律。这里，教师通过停车场的车辆图，从横、竖不同方向观察，培养学生有序观察，比较思考中验证发现乘法交换律。从堆放苹果箱的三维立体图中，采用数形结合的方法，从不同角度整体上观察，学生从已有认知结构中提取经验，思考不同摆放形成的不同列式，数学思维在不同层次中有序发展，积累数学活动经验，提升数学素养。

小学数学课堂以结构为中心、知识信息为纽带、运算符号为系统，从关注情境、获取信息到理清情节，从把握关键到抽象概括，从建立模型到解决问题，从拓展模型到检验结果，回归原始问题的答案，这种数学结构的魅力是推动学科发展的有效动力。通过学生参与数学活动，使他们切身体会到数学并非只应用于数学自身，完全可以解决现实生活中和其他学科中的问题，数学教育的重心要放在培养学生的核心素养上。

（作者单位：江苏省宝应县实验小学）