普通物理光学教学的重要脉络——光程差

李 多，刘大禾

（北京师范大学 物理学系，北京 100875）

普通物理光学教学的重要脉络
——光程差

李 多，刘大禾

（北京师范大学 物理学系，北京 100875）

论述了光程和光程差在普通物理光学教学中的主要作用.通过讨论和分析指出，光程和光程差是贯通整个光学教学的重要脉络.在光学教学中从始至终突出、强调这条脉络是非常必要的.

光学；光程；光程差

普通物理包括5门主要课程：力学、电磁学、热学、光学和原子物理学.其中，力学、电磁学、热学和原子物理学都有相应的后续理论课程，即：理论力学、电动力学、热力学和统计物理以及量子力学.而光学在本科教学阶段却没有相应的后续理论课程.尽管电动力学中涉及到一些光学现象［1］，但毕竟不是专门讨论光学的.因此，如何在光学教学中给学生打下坚实的基础，使学生掌握系统的光学知识就成为一个十分重要的问题.

普通物理光学教材是建立在实验基础上的［2，3］.教学内容更多地是对主要实验现象的解释和分析.这使得光学教材表面上看起来系统性不强，实际上，如果掌握了“光程差”这一重要脉络，普通物理光学中的很多问题都可以迎刃而解.但就我们所了解的情况，在一些学校的光学教学中，只在干涉和衍射两部分强调光程差，并未将光程差这一重要脉络贯穿到整个光学教学中，由此造成了一些学生概念上的混乱.我们认为在光学教学中从始至终突出、强调这条脉络是非常必要的.

普通物理光学分为物理光学和几何光学两大部分.下面，我们分别论述.

1 物理光学

这里需要指出，物理光学教学中所讲述的问题通常是两束光或多束光传播到同一观察点（可沿同一路径或不同路径）时产生的现象.主要包含干涉、衍射及偏振.这几部分内容中，几乎都涉及一个量---相位差.相位差由下式确定：其中，δ=nL是光程差，n为介质折射率，L为光在介质中传播时所产生的几何路程差.可见，解决物理光学问题时，一个非常重要的步骤就是确定光程差.

1.1 干涉

在干涉问题中，不同的干涉装置其光程差有不同的表示式.但无论对于何种干涉装置，最终的问题都归结为求形成亮条纹和暗条纹的条件：亮条纹为波长暗条纹为波长例如，在迈克耳孙干涉仪中，需要测量干涉条纹的移动或干涉级数的变化，相应的光程差公式为 δ=jλ，则可通过观察移动了多少个条纹来确定光程差的变化，从而确定干涉仪一臂长度的改变.

另外，描述时间相干性可以使用相干长度、相干时间或单色性.其中，相干长度是最常用的量.我们必须使学生清楚，在使用相干长度时，所表达的核心内容是：我们所分析的光程差不能大于相干长度.否则，不能观察到干涉现象.

1.2 衍射

在光学教学中，求衍射光强分布，计算光程差是关键.讨论菲涅耳衍射问题的方法---半波带法，就是以半个波长为单位来计算光程差，并由此进行深入的讨论.

对于夫朗禾费单缝衍射，我们通常关心的是各级极小（特别是第一级极小）的位置.这个位置由下面公式决定：

a为缝宽，a sin θ就是缝上下端点到观察点的光程差.

对于衍射光栅，我们通常是关心各级极大的位置，这些位置由光栅方程决定.以正入射情况为例，光栅方程为

d为相邻缝对应点的距离，而光栅方程中的 d sin θ正是相邻缝对应点到观察点的光程差.这决定了光栅的特性.

1.3 偏振

有关偏振的教学中，波片是一个极为重要的问题.其中，最常遇到的是半波片和四分之一波片.所谓半波片或四分之一波片就是o光和e光在通过双折射介质后产生的光程差是半个波长还是四分之一个波长.这个光程差由公式δ=（no-ne）l确定，式中l为双折射介质的厚度.凡涉及到椭圆偏振光或圆偏振光的问题，通常都会用到四分之一波片.在现代光学中的重要研究领域非线性光学和晶体光学中大量涉及的相位匹配问题，实际就是o光和e光的光程匹配问题.

对于物理光学中另外一些相关问题，如散射，实际上也是与光程密切相关的.判断一个散射系统是强散射还是弱散射，就是由光在这个系统中的平均自由程决定的.而平均自由程正是光在系统中的平均散射光程.

2 几何光学

几何光学通常是讨论一束光在传播过程中的行为.在普通物理光学教学中，几何光学尚未涉及到光程.这是因为在普通物理光学教学中并未从波动光学出发来统一认识光的各种传播规律.而在光学的经典理论体系中［4］，几何光学与光程是密切相关的.在本文中，我们不做详细的分析，只做一个简单的论述.设介质中的电场为

Ψ（r）为一标量实函数，称为程函，它是一个距离的函数.利用麦克斯韦方程组可以证明，程函满足梯度方程：

或

这就是程函方程，它是几何光学的基本方程.而Ψ（r）=const被称为几何波振面.由程函方程可进一步得到光线方程

式中，r为光线上某点的位置矢量，s为光线弧长.由此，我们可以得到光线轨迹，可深入讨论光的折射定律、反射定律及费马原理，并可以进一步讨论成像过程.例如：由程函方程可以得到坡印廷矢量的时间平均值为

及

式中s是S的单位矢量，〈w〉为场的总能量密度的时间平均值，v为坡印廷矢量的速度.这表明，平均坡印廷矢量的方向与几何波振面垂直，平均能量密度以速度v=c／n传播，这正是光速.我们知道，几何光学的讨论以光线为基础，因而要比一般波动光学简单.这种简单性正是基于宏观场的微小局部行为可用平面波来描述，而平面波恰恰是波动光学中最简单的特例.

又如，由式（7）经推导可得

这是矢量形式的光线微分方程.在均匀介质中，n=const，式（10）简化为

因此有r=sa+b，即，在均匀介质中，光以直线传播.

再如，利用由波动光学导出的菲涅耳公式，我们可以详细地讨论反射定律、折射定律、全反射现象等几何光学中的重要规律，以及反射和折射产生的偏振（包括布儒斯特角）.仔细地分析，就可以发现光程（相位）在其中的作用.菲涅耳公式是大家熟知的，这里我们不再赘述.

上面的介绍表明，光程在几何光学中同样起着重要作用，尽管在普通物理中尚未重点讲授这方面的内容.

在我校的光学教学中，曾长时间使用我校自编的教材［5］，在该教材中，首先讲衍射，然后讲干涉，几何光学部分被看作是波长趋于零的极限情况而放在衍射和干涉之后讲授.这是我系试图把光程作为重要脉络贯穿到整个光学教学中的一个尝试.一些进修教师在听完全部课后，普遍反映，这样的讲法新颖，前后贯通，对光学课的整体认识提高了.

3 举例

根据上面的讨论我们可以得出结论，只要抓住了光程差（或光程），许多看似非常复杂的问题往往可以很容易地得到解决.下面，给出一个讨论复杂光栅问题的例子.

例 光栅如图1所示.1、1′、2、2′均是宽度为 a的平面镜，它们与A、A′面的夹角均为 γ.1、2和 2、3对应点之间的间隔为b.波长为λ的单色平行光垂直于平面镜入射，在透镜后焦平面上观察衍射图样.试求：后焦平面上任一点P的光强度，并做讨论.

图1 反射式闪跃光栅

这是一个反射式闪跃光栅的问题.由于光栅面与单缝面（反射镜表面）不是同一个平面，使得这一问题看起来比较复杂.求解此题最简单而有效的方法，就是从分析光程差入手.这也是对大多数光栅问题应采用的方法.下面，我们做详细的分析.

光栅的强度分布公式为只要能找出α和β，光栅的特性就迎刃而解.

首先分析单缝衍射因子α.由图2（a）看出，对于每一个平面镜（等效单缝），光是正入射，入射光的光程差为零.衍射角即为衍射光线与入射光线（即单缝法线）的夹角为φ，单缝两端衍射光所对应的光程差为Δ=a sin φ，所以

其次，再分析干涉因子 β.由图2（b）看出，对于光栅来说，光线是斜入射，入射角为 γ，衍射角为衍射光线与光栅法线的夹角θ，由于是斜入射，相邻缝对应点入射光的光程差为 Δ′1=b sin γ，相邻缝对应点出射光的光程差为 Δ′2=b sin θ，衍射光和入射光在法线同侧，故总的光程差为

图2 光在等效单缝和光栅上的衍射

所以

则

由图可见，φ=θ-γ，所以

根据这个公式我们作如下讨论.

1）单缝衍射中央极大的角位置：要求α=0，即

现在入射角为 0，所以 φ=0，就是说在垂直于单缝（平面镜）平面的方向上得到衍射最大.

2）光栅衍射的谱线（干涉主极大）的角位置.

0级主极大，要求β=0，即

所以θ=-γ.我们发现，单缝衍射中央极大与光栅衍射的0级谱线不重合.在单缝衍射中中央极大的角位置上，即θ=γ处，对应的光栅衍射（干涉）主极大的条件为

即高级谱线与单缝衍射0级重合.我们知道单缝衍射的能量绝大部分集中在0级，而光栅衍射级数越高，分辨本领越大，一般透射式光栅的高级衍射谱虽然分辨本领较大，但能量极小.而闪耀光栅把单缝0级的高能量转移到有较大分辨本领的高级衍射光谱上，这对谱线的测量带来了很大的方便.

由公式2b sin γ=Pλ，角度γ称为闪耀光栅的闪耀角，满足此式的波长 λB称为闪耀波长.例如对600线／mm的光栅，若 γ=9.5°，则 λB=546.1 nm，如果在第一级（P=1）闪耀波长为λB，则在第二级和第三级的闪耀波长分别为λB／2和λB／3.

由上例我们看到，抓住了光程差这一关键，这个看似复杂的题，只要思路清晰，解决起来并不困难.

［1］ 郭硕鸿.电动力学［M］.3版.北京：高等教育社出版，2009.

［2］ 赵凯华，钟锡华.光学［M］.北京：北京大学出版社，2004.

［3］ 郭永康.光学［M］.2版.北京：高等教育社出版，2012.

［4］ 玻恩，沃尔夫.光学原理［M］.7版.北京：电子工业出版社，2009.

［5］ 张阜权，唐卫国，孙荣山.光学［M］.北京：北京师范大学出版社，1985.

第十六届全国电动力学研讨会会讯

经教育部高等学校物理学类专业教学指导委员会同意，由全国电动力学研究会主办、衡阳师范学院承办的第十六届全国电动力学研讨会于2016年8月15-18日在衡阳召开，共有来自北大等35所高校的53名代表参加了会议.会议围绕电动力学课程的教学理念、教学手段与方法、教学内容选择、教材建设以及与高中物理的教学联系等方面的改革与研究进行了研讨，中科院张肇西院士等15位老师做了大会报告.大会同时为教育部高等学校物理学教学指导委员会电动力学教学改革项目的申报组织了答辩和评审，确定了15个项目给予立项资助.

会议期间召开了全国电动力学研究会的理事会议，研究决定了如下议题：1）增选理事时将以书面文本形式通知候选成员所在单位，结合单位推荐意见和理事会工作需要来决定；2）讨论并确定第十七届全国电动力学研讨会将于2018年8月中下旬在苏州召开，由苏州大学高雷教授负责会议筹备工作；3）决定于2017年8月中下旬在湖北黄石召开理事会工作会议，由湖北师范学院刘堂昆教授负责筹备工作；4）探讨了电动力学研究会今后的工作重点，重申了本研究会宗旨是通过大会研讨等形式为促进全国电动力学课程与教学研究、切实提高教学质量做好服务和支持工作.在郑汉青理事长的提议下，理事会一致认为，鼓励、协调适合不同学校及专业特点的教材和教学案例开发及共享应成为今后研究会的重点工作之一.

本次大会的成功召开，得到了衡阳师范学院和高等教育出版社的大力支持和赞助.会议全体代表对衡阳师范学院物理与电子工程学院为大会所做的精心筹备及周到细致的服务工作表示衷心的感谢.

（北京工业大学 曾定方）

The main channel in the course teaching of optics---Path difference

LI Duo，LIU Da-he
（Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The important significance of the path and path difference in course teaching of optics is discussed.Through analysis and discussion，it is pointed out that the path difference is the main channel for teaching optics.To address this main channel from the beginning to the end in teaching optics is very important and necessary.

optics；path；path difference

O 435；O436

A

1000-0712（2016）11-0005-04

2015-09-28；

2016-01-14

李多（1972-），女，黑龙江伊春人，北京师范大学物理系高级实验师，硕士，主要从事普通物理实验的教学和研究工作.