画好图探出路定相似

胡华春

画好图探出路定相似

胡华春

相似三角形在中考中占有十分重要的地位，现就中考中常见的与相似三角形有关的存在性问题和同学们一起来研究解题策略与方法.

问题1（改编自苏州市2007年中考第29题）平面直角坐标系中，点A（-1，0）、B（4，0）、D（1，-3）和E（6，7），如图1.连接AE、BE、BD.在x轴上是否存在点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出点P的坐标.

图1

这是典型的不定三角形与定三角形的相似问题，因此，我们要尝试寻找△AEB与△PBD之间是否有确定的对应关系.

△AEB中，由三顶点坐标可求出三条边长，过点E做EF⊥x轴于点F，如图2，AB=5，AE=7，BE=，同时可得∠EAB=45°.

图2

△PBD中，不妨先假定一个点P，如图2.当点P在x轴上点B的左侧时，可以发现边BD和∠PBD是不变的，其他的边和角都随点P的位置的改变而改变.此时，动中取静，先计算BD和∠PBD，以静制动.过点D作DG⊥x轴于点G，可得BD=，∠PBD=45°.

从而∠EAB=∠PBD=45°，△PBD中的定角∠PBD为45°，与△AEB中的∠EAB成为对应角.

根据相似三角形的判定方法，已知一对对应角相等时，再寻找另一对对应角相等或者寻找夹这组对应角的两边对应成比例即可.要解决点P的坐标，即要解决与点P有关的线段的长.因此，选择夹∠EAB和∠PBD的两组边对应成比例来使这两个三角形相似.但是线段BP的长度是可以改变的，也就是夹这两个角的两组边对应关系不确定，需要分两种情况：

当点P位于点B的左侧时，∠PBD=135°，显然△PBD中不可能有45°角，从而与△AEB不可能相似.

问题2（改编自苏州市2012年中考第29题）如图3，平面直角坐标系中，A（1，0），B（b，0），C，b＞2，请你探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

图3

本题是三个不定三角形之间的两两相似问题，可以按照问题1的步骤去思考，看是否能确定某两个三角形之间的对应关系，尽可能找出隐含条件出来.先在第一象限任意取一点Q，连接CQ、OQ、AQ、BQ，如图4，容易发现△QCO和△QOA有公共边，△QOA和△QAB不仅有公共边，而且有一条边在同一直线上.∠QAB是△QOA的外角，由三角形的外角大于与之不相邻的任意一个内角可得，∠QAB＞∠OQA，∠QAB＞∠QOA.而要△QOA和△QAB相似，必须这两个三角形中有对应相等的角，则有∠QAB=∠QAO=90°，从而只需夹这两个角的两边对应成比例即可.此时点Q的横坐标为1，纵坐标就是线段AQ的长.

由于点Q的位置不确定，△QOA和△QAB中另外的两对角的对应关系不确定，所以，代入数据，可得AQ2= b-1或b-2，显然b-2应舍去.即当△QOA∽△BQA时符合题意，可得∠OQB=90°，如图4.

图4

△QCO和△QOA要相似，则△QCO必为直角三角形，又∠COQ不可能为90°，故∠OCQ=∠QAO=90°或∠CQO=∠QAO=90°.

当∠OCQ=∠QAO=90°时，如图4，△QCO≌△OAQ，从而AQ=OC=，得43，显然，AQ=2+3.

当∠CQO=∠QAO=90°时，又∠OQB=90°，得点C、Q、B在一直线上，如图5.

图5

此时，图5中的所有直角三角形均两两相似，从而由△COB∽△OAQ得，，得，AQ=4.

上述两个问题的解决关键点是寻找两个三角形中的一个对应角相等这一隐含条件.而寻找这个隐含条件的方法就是结合草图，计算相关图形中的边角或运用边角关系排除不相等的角，从而确定一个对应顶点.然后，进行分类讨论，列出与所求相关的比例式，即可求解.

（作者单位：江苏省常熟市海虞中学）