太高了？构造“相似三角形”测高度

陶建石

太高了？构造“相似三角形”测高度

陶建石

数学知识来自于我们的生活，反过来运用所学到的数学知识可以去解决生活的问题.看似简单的相似三角形模型，若能够灵活运用，便可以解决生活中许多“高度”的问题.下面我们举例分析相似三角形的应用.

例1某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量.

方法如下：如图1，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米.然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图1，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米.

如图1，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度.

图1

【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长.

因为△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，

解得AB=99.

答：“望月阁”的高AB的长度为99米.

例2如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为多少？

图2

【解析】在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例.根据这一模型可以避免直接测量较高的物体如高楼、旗杆等的高度.只需测量出人与人影、楼影这些较易测量的长度就能计算出楼高.

由△BAC∽△EDF可得BC∶AC=EF∶DF，再将AC=1.6米，EF=15米，BC=0.5米代入，可求得大楼的高度为48米.

例3如图3，小丽利用影长测量学校旗杆的高度．由于旗杆靠近一个建筑物，在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上，小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在墙上的影长CD为4m，同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为2m，请帮助小丽求出旗杆的高度.

图3

这个问题有以下三种构造相似模型的方法：

方法一：如图4，延长AD、BC交于点E.可知在没有建筑物的情况下旗杆的影子应为BE，根据标杆的有关情况即可知AB∶BE=1∶2.再由△EAB∽△EDC可得DC∶AB=EC∶EB，从而可求得EC=8m，EB=28m，则旗杆高度AB= 14m.

图4

方法二：如图5，过C作AD的平行线交AB于E.此时四边形ADCE为平行四边形，AE= DC=4m.而BE的影长即为BC，由已知可求得BE=10m.因此旗杆高为14m.

图5

方法三：如图6，过点D作DE⊥AB于点E，易得BE=CD=4m，BC=DE=20m.AE的影长可看作DE，由标杆条件可得AE=10m，因此旗杆高度为14m.

图6

除了测量高度，相似模型还应用于测量各种距离，如河面的宽度等，这样既简化了测量过程，也节约了操作成本.

其实，利用相似三角形模型解决实际问题，仅仅是它在生活应用中的一小部分.至于相似模型具体还能有哪些巧妙的应用，就等待着同学们再去探索！

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）