如何让学生更好地理解二次函数与一元二次方程的关系

于尔江

（舒兰市第十三中学校 吉林舒兰 132600）

如何让学生更好地理解二次函数与一元二次方程的关系

于尔江

（舒兰市第十三中学校 吉林舒兰 132600）

二次函数既是初中数学的重要内容之一，又是十分重要的最基本的初等函数，它在中学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式的综合运用，是初中考试的热点内容。

数学教学 二次函数 一元二次方程

我根据自己多年的教学实践和研究，采用“循序渐进，由浅入深”的原则，先抓住课本，通过归纳，由厚到薄，再在一定深度上向四周扩展，由薄到厚，实现知识点的全覆盖。

一、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数，就是自变量的最高次数是“二次”的多项式函数。二次函数的一般解析式是：

y=ax2+bx+c（a≠0）a≠0这个约束条件很重要，如果a=0且b≠0，上式就变成一次函数了。所以，我用长框框上，以示重要！a≠0

看到二次函数的解析式后，我们立刻就会想到一元二次方程ax2+bx+c（a≠0），如果把上面的二次函数解析式中的“y”换成“0”，二次函数的解析式就成了一元二次方程了。如果把一元二次方程等号右边的“0”换成“y”，一元二次方程就变成二次函数了。可见，二次函数是一元二次方程的继续和延展，一元二次方程是二次函数在“y=0”情况下的特例。即一元二次方程是两个函数y=ax2+bx+c（a≠0）和y=0的联立：

y=0是函数，是一个特殊的函数。是唯一一个既是奇函数又是偶函数的函数！

函数y=0的定义域是全体函数，值域是y=0，图像是全部的x轴。

二次函数的图像叫抛物线，二次函数的解析式y=ax2+bx+c（a≠0）也叫抛物线的方程。

二、二次函数的解析式和图像

解析式和图像是函数的对立统一的两个方面，是互相依存的，不能分割的。我们将通过解析式来画出函数的图像，再通过对图像的对比和观察来归纳出一般规律。

二次函数的图像非常重要，很多题目都要结合图像来做，特别是一元二次不等式、一元二次方程解的分布等等。

由于图像具有直观、简单的特点，所以，用图像理解记忆公式定理更快捷、更牢靠。熟练的掌握二次函数的图像后，可以把很多知识点都串在图像上，提高解题效率。

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的形状是由a决定的，a、b、c共同决定着抛物线顶点的位置；二次函数y=ax2和y=ax2+bx+c（a≠0）的图像形状是相同的，是可以重合的，y=ax2+bx+c（a≠0）的图像就是y=ax2（a≠0）图像移动后的结果。

对一般式进行配方，可以得到顶点式；展开顶点式，可以整理成一般式。当二次函数与X轴有交点时，才能写交点式的解析式，若是与X轴没有交点，就写不出来交点了（在实数范围内）。当然，展开交点式，经整理，就是一般式了。一般式是二次函数的通用的解析式。如果题里给定的条件里有顶点坐标，用顶点式解题会使用简化的；如果题里给定的的条件里有与X轴的交点坐标，用交点式解题同样会使问题简化的。

二次函数图像上几个重要的点.

1．顶点.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为

2．与X轴的交点。y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的两个解，

3．与y 轴的交点。二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴必有交点f（0），f（0）=c。

三、例题

例1，已知函数f（x）=（m2-4m+3）xm2-3+1问m为何值时，（1）f（x）为正比例函数；（2）f（x）为反比例函数;（3）f（x）为二次函数。

解：（1）f（x）为正比例函数，即f（x）=ax（x≠0），

例2．二次函数图像经过点（1，4）、（2，0）、（3，4）三点，求其解析式。

解：设函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点（1，4）、（2，0）、（3，4）坐标代入，得：

另解：由于点（1，4）、（3，4）是等高的点，所以该二点关于对称轴对称，所以对称轴为所以，点（2，0）是顶点。

设解析式为y=a（x-2）2+0，将点（1，4）坐标代入：a（1-2）2=4，a=4，

四、数学学习与数学教育

数学学习与数学教育，这是一个很大的课题。数学学习，一百个状元就有一百个方法，我的体会是：多练、多悟、总结、反思。

数学教育，不单是教学生怎样解题，怎样应试，更重要的是培养学生有一颗热爱数学喜欢数学的恒心，有一种严密思维的习惯。

数学是工具性的学科，更是理工科的基础性学科，随着自然科学与社会科学的不断融合，文科学科理科化的现象正不断加深，我们所熟知的经济学、金融学、会计学更是与数学紧密相联，学不好数学，就学不好物理、化学、生物，同样也学不好经济学、金融学、会计学等热门专业。

例如，经济学中的需求函数的建立、供给函数的建立、边际分析、道格拉斯方程、经济统计等，都需要有非常好的数学基础。

被誉为现代会计学之父的卢卡.帕乔利，在《数学大全》的第三卷第九部第十一篇，运用方程的思想，从会计等式切入，引出六个会计要素，建立了完美的会计学体系。但，卢卡.帕乔利首先是一位数学家，有多部数学著作传世。

数学学习，丰富多彩；数学教育，任重道远。

如何培养学生热爱数学、喜欢数学？这已成为数学教育工作者特别是初等教育工作者迫切解决的课题。