柯召定理的扩展及证明*

☉四川省成都市树德中学　罗龙熙

柯召定理的扩展及证明*

☉四川省成都市树德中学罗龙熙

本文将柯召定理中约束条件p的取值进行了拓展，从p只能取素数推广到了p可以为两个素数之积的形式，推测等式x2-1=yp（p=p1p2，其中p1，p2为大于3的素数）无正整数解；并运用数论的理论知识和柯召方法，证明了除外的所有情况下，该等式无正整数解.

柯召定理扩展

一、引言

1842年，法国著名数学家Catalan提出的“卡特兰猜想”是一个著名的数论难题：8和9是仅有的两个大于1的连续正整数，他们都是整数方幂，用不定方程表示为xmyn=1（m＞1，n＞1），除（x，y，m，n）=（3，2，2，3）以外，没有其他正整数解.［1-2］

1962年，我国著名数学家，四川大学柯召院士以精湛的方法解决了卡特兰猜想的二次情形，并获一系列重要成果，被世界数学界誉为“柯召定理”，它所运用的方法被称为“柯召方法”.［3］柯召院士证明出了方程x2-1=yp（p为任意大于3的素数）无正整数解；［4］并证明出了方程和x2=yp+1（n为大于1的奇数，p为奇素数，x和y都是整数）.［5］

后来，国内一些学者对柯召定理的推广形式进行了研究.曹珍富（1987）避开了文5的结果，给出了柯召定理一个简短的证明，［6］但规定了不定方程x2-1=yp的约束条件p只能为大于3的素数.不少学者运用柯召方法解决了一大类不定方程问题.

本文试图对柯召定理中约束条件p的取值进行拓展，推测等式x2-1=yp①无正整数解.其中，p=p1p2，p1，p2为大于3的素数.

二、主要结果及证明

定理1：x2-1=yp（p=p1p2，其中，p1，p2为大于3的素数）无正整数解.

为了证明该定理，本文需要首先证明以下两个结论：

是指对a、b运用Jacobi

符号进行计算所得值.

证明：对q和p1进行辗转相除有：

q=k1p1+r1；（1≤r1≤p1-1）

p1=k2r1+r2；（1≤r2≤r1）

……

rs-1=ks+1rs+rs+1；（1≤rs+1≤rs）

rs=ks+2rs+1.

所以f（k1p1+r1）≡f（r1）（modf（p1））.

又由（p，q）=1知rs+1=1，所以

证毕.

下面来证明定理1：由方程①得yp=x2-1=（x-1）（x+1）.下面分2|x、2|x+1两种情况：

（Ⅰ）若2|x，则有x-1与x+1均为奇数，于是（x-1，x+2）=（2，x+1）=1，其中（a，b）表示a与b的最大公约数.故不妨设y=y1y2，且（y1，y2）=1，y1＜y2.则此时有x-1=yp1②，x+1=yp2③.

下面证明方程④无正整数解，事实上：

又因为y为奇数，故y1，y2均为奇数，所以y2-y1≥2，从而y2-y1=2，则yp-12+yp-22y1+…+y2yp-21+yp-11=1.

因为y1，y2中至少有一数大于1，故yp-12+yp-22y1+…+y2yp-21+yp-11＞1，矛盾.

（Ⅱ）若2|x+1，进一步可得2|y.

2015年四川省中学生英才计划项目资助.本文获得了第31届四川省青少年科技创新大赛一等奖.