采菊东篱下悠然见南山——课堂教学行走在“两极”之间

☉浙江省湖州市第二中学　沈　恒

采菊东篱下悠然见南山——课堂教学行走在“两极”之间

☉浙江省湖州市第二中学沈恒

丰田汽车的第四代掌门人丰田章男在丰田汽车进入低谷之时，进行了深深的思考：丰田不是没有先进的技术，也不是没有成熟的发动机，为什么却不那么受人喜欢？经过市场调查和研究，他发现了市场不需要过于先进的、概念化的东西，也不能一成不变的生产和销售，丰田需要做的是在这两者的平衡中寻求生机，在“中庸”中摸索前进.

这让笔者非常感叹“在矛盾中前进”这句话无处不在的精妙！

回头说说课堂教学的有效性，笔者认为这与很多方面有着密切的联系.从多年数学一线教学的经验来看，笔者认为，课堂教学的设计最直接的体现莫过于两个方面的关注：其一，来自教师脑海中对一堂课的整体架构，这是顶层设计，这种设计主要建构了教师脑海中对于课的理解和掌控，其有一定的理论指导和经验总结相结合的体现；其二，教师在具体实施过程中，对于一个知识内容、知识元所进行的实际操作的设计，这种是微观的、具体的，也是教师在整个宏观架构下最好的专业化素养的体现.笔者近期在某中学聆听了Z老师关于“直线与圆的位置关系”的一堂复习课，Z老师的课总体印象较不错，节奏明快、板书清晰、知识紧凑、容量较大，不失为一堂高效的、有效的复习课，笔者站在Z老师对于本课设计的基础上，就一些想法与大家做一个不成熟的交流，不足之处恳请读者批评指正，与君共勉.

一、情境之用处

Z老师的复习课以罗列知识点的方式引入，单刀直入、简明高效，对于本知识处理的两种方式进行了复习，即代数法和几何法，后续复习教学中对代数法的使用却难觅踪迹，笔者认为这个情境的基调、方向就显得有些文不对题.另一方面，以形式化的知识点作为情境载入，而且有些知识的性质是一些较难理解的结论，笔者认为这种方式的起点不低，失去了数学情境价值之味.情境何用？笔者以为，情境无论在新课初始还是复习公开课，都需要体现数学运用之价值，这种价值体现正是数学情境之用.笔者建议可以如此利用当下热点情境改之：

刚刚过去的2015年9月3日，我们迎来了抗战胜利七十周年阅兵仪式，看着阅兵式，我们这代人为有如此强大的祖国感到自豪.在后续参访参加阅兵仪式的抗战老人——浙江老兵陈守财老人给我们讲诉了这么一个故事：

当时16岁的我隶属于国军37旅，历经数次战斗磨练（包括1937年参加了抗日淞沪会战），加上勤奋训练射击能力，渐渐成为部队的一名狙击手.有一次，我们排在浙江天台赤城山上伏击途径山下的一支二十多人日军小分队，排长命令“擒贼先擒王”，我就埋伏在草丛里准备射击鬼子大队长.当时我使用的步枪在射击距离不超过500米时，射击精准度较高，若装上光学瞄准镜可以说几乎百发百中（考虑到狙击只能一次成功，因此狙击手一般只在目标最近时才射击，但同时要保证自身的安全性尽可能高）.几分钟后，鬼子队长大叫一声当场毙命，其余鬼子抬着队长尸体乱哄哄逃走了.同学们？你知道陈守财老人是怎么完成一击毙命的吗？

以“抗战伏击鬼子兵”的设计，既紧跟时代性，又具备数学背景，以知识载体的问题降低了起点，激发了兴趣，升华了课堂气氛，体现了数学知识的运用价值.

二、例题之意图

Z老师给出了直线和圆位置关系的四种类型的问题求解，笔者可以这么理解，以非常扎实的基本知识、基本技能提炼去巩固学生的双基.四种类型为：（1）弦长的求解；（2）切线长的求解；（3）圆心到直线距离的运用；（4）探究圆x2+y2=4上的点到直线l：y=x+a的距离变化时，a的取值范围.给出一系列的例题，最后训练环节给出了2015年湖南高考真题和重庆高考真题.作为复习课和应试而言，这样的总结可谓是概括全面、面面俱到、讲解耐心、细致无疑，此为优点.在笔者审视类型一时，想起了教材（人教A版）中关于本课的例题：直线l：3x+y-6=0与圆心为C的圆：x2+y2-2y-4=0.判断直线l和圆C的位置关系；若相交，求出它们的交点坐标.笔者认为，这里的处理值得商榷，原因有二：其一，教材例题较好地体现了“直线和圆的位置关系”处理的两种思路，即代数法和几何法，求直线和圆的交点是代数法的使用，与Z老师复习引入比较容易切合；其二，人教版编者章建跃博士在全国公开课比赛中常常提出关于例题选择的问题：（1）请问你为什么不选用教材的例题？（2）你选用的例题比教材中的例题好在哪里？对于本课类型一，除体现复习公式的熟练性之外，对于代数法和几何法的交替未能实现，与本课开头“两法”的引入也未能做到呼应一致.

从现阶段很多观摩课来看，笔者发现对于复习课的教学设计需要做精心的准备，这种准备是历经教师教学经验的一种积淀，并尊崇下列原则：对教材例题进行深加工.以本课为例，笔者以为可以从教材的例题出发，结合高考问题进行深加工.

例题（人教A版必修2P127）直线l：3x+y-6=0与圆心为C的圆：x2+y2-2y-4=0.判断直线l和圆C的位置关系；若相交，求出它们的交点坐标.

创编问题1：直线l：3x+4y-m=0与圆C：x2+y2-2y-4=0相切，则m=__________.

创编问题2：若直线l：3x-4y+5=0与圆C：x2+（y-1）2=r2相交于A、B两点，且∠ACB=120°（C为圆心），则r= __________.

解析：圆心C（0，1），半径为r，分析弦心距所在的直角三角形，可知圆心到直线的距离

问题探究：直线l：x+2y-10=0，设圆C：x2+（y-1）2=5上到直线l的距离为Δ=1的点的个数为k，则k=___________.

请同学们改编题中部分条件，使其满足下列要求：

（3）k=3，怎么改变题中条件？

改变Δ的值做不到，设直线l`：x+2y+m=0，只需圆心到直线的距离等于即可.所以即m=3-

（4）请你说说看，k值有多少种可能呢？（四种，k=0、1、2、3均有可能，请同学们课后继续做详细的探究）

设计意图：上述创编问题1、创编问题2、问题探究均由笔者改编自高考问题，但是又是基于教材问题的层层递进设计、改编，源于教材问题的深加工，将切、交、离隐含其中，且背景一体化大大减少了学生审题的时间，提高了复习课的效率.请学生对比改编问题和高考原题之间的区别，并体会该知识较为重要的考查点.（附改编试题对比表）

1.【2015年高考安徽文8】直线3x+ 4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b（）. A.-2或12B.2或-12 C.-2或-12D.2或12【答案】D.创编问题2：若直线l：3x-4y+5=0与圆C：x2+（y-1）2=r2相交于A、B两点，且∠ACB=120°（C为圆心），则r= __________.创编问题1：直线l：3x+4y-m=0与圆C：x2+ y2-2y-4=0相切，则m= ___________. 2.【2015年高考湖南文13】若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=_____.【答案】r=2.问题探究：直线l：x+ 2y-10=0，设圆C：x2+（y-1）2=5上到直线l的距离为Δ=1的点的个数为k，则k=__________.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k=________.【答案】：4个. 3.【2013年湖北文14】已知圆O：x2+ y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1 0<θ<π（）. 2

三、设计之弹性

笔者以为本课的设计从应试的角度来说，可以认为面面俱到、细微至极，不失为面向程度稍弱学生的一个全面的、优秀的复习课设计系列案例.但笔者思考，在一堂展示课中使用了如此之多的例题和训练题，让学生疲于应付，也谈不上问题解决的一些参与和思考，这是值得商榷的.其一，面对学生的课堂探究存在不确定性，需要有“弹性”准备，本课因试题较多、讲解匆忙，缺乏了思考，笔者认为需要对学情有充分的认识并及时做出合理的舍弃、删减；其二，面对任教的学生，若事先并不清楚学生的数学能力水平，更需要在课堂教学过程中、多媒体技术使用过程中做好“弹性”的准备.总之，课堂教学设计的可操作性需要有一些弹性的准备.

四、结构之思考

从应试角度而言，这样的课堂设计、实施、练习达到了应试一定的预期，但从课堂教学发展的方向和新课程实施的理念来说，完全是背道而驰.从这样的展示课中，笔者也充满了深深的忧虑：可见很多时候我们的常态课教学更是如此！其一，内容繁杂、冲淡主线，Z老师本课所涉及的知识其实并非一堂课可以完成，将其开发成一个专题或系列更好，从本课作为复习的第一课时而言，其重点依旧侧重于用几何法研究直线和圆的位置关系，因此可以删减类型一中求直线方程、类型二中求切线方程、切线长等问题.本课明线在于dr，暗线在于数形结合思想的体现，即几何法.其二，数学训练试题的设计结构缺乏一体化，体现在问题间的连贯性不足、审题耗时较多等.以上文中，笔者提供的问题串一体化设计的改编方式，大大提高了复习课教学的利用效率.

五、教法之选择

本课所采用的是启发式教学方式、讲授式教学方法，对类型四也渗透了探究式.这一点上，笔者可以认为Z老师颇有“百家争鸣”的味道，值得肯定.在此基础上，笔者认为可以压缩、删减试题数目（前半讲授式），提高后半堂课的探究式使用，甚至可以鉴于本课知识点难度不高，采用陶行知先生的“小先生制”做一次引导，让复习课教学方式更呈现出一种多元的态度.

于大而已，有春秋战国的百家争鸣，于小而已，有今天好声音舞台上的歌者呈现不同曲风的尝试，都是在做一些多元化的探索与尝试.因此，在课堂教学中多尝试一些不同教学理论的渗透，将其运用到数学教学的实际中，让概念课重视建构、让复习课关注高效、让探究课讲求探索等，让教法选择得心应手，使课堂教学能够达到一种自然而不做作的境界.

六、两极之感悟

回头文首，静心一思，为何丰田汽车在全球销量数一数二？笔者认为这与其设计理念密不可分——既不可将车造得超现实化、失去大众基础，也不能过于因循守旧、裹足不前，学会行走在“概念化”和“量产化”之间.

那么，今日我们的课堂教学设计也要有这样的感悟：课既要有扎实的数学味、形式化的数学公式和结论，也需要有一些体现数学价值的设计；既要有一定的理论指导，也要有接地气的巩固和训练，始终保持在一种较为平衡的状态下进行教学的设计.对于聆听的本课，笔者觉得稍显遗憾的是数学双基过于强化突出、形式化的数学结论过于密集，让整堂课始终呈现的是一种纯粹应试的设计.笔者认为，可以删减如文中所述不相干的问题，加入一些体现数学应用之情境，整理一下整堂课更为清晰的脉络，让“量产”的同时也不忘有一些“概念”的味道.

数学教学不仅在于应试，更要有高一层次的境界追求，这也是教师专业化发展对于教师课堂教学水平、教学艺术的一种提炼，让数学设计既脚踏实地，也偶尔仰望星空，让数学课堂行走在“概念”和“量产”两极之间，久而久之，教师的课自然就会有“采菊东篱下，悠然见南山”的境界.

1.喻国勇.“研究”与“成长”齐飞秋水共长天一色——谈命题研究与教师的专业化成长［J］.中学数学（上），2013（8）.

2.刘薇，沈恒.“绿灯式教学”的实践——从《课堂教学红绿灯》一书得到的体验［J］.中小学数学（高中版），2012（5）.

3.沈恒.脚踏实地仰望星空——一堂课后思考的教学设计［J］.中学数学研究，2013（10）.

4.沈恒.浅谈中学数学课堂教学的适度形式化［J］.中小学数学（高中版），2010（5）.F