返璞归真话概念教学

☉江苏省苏州市吴江汾湖高级中学　薛雪华

返璞归真话概念教学

☉江苏省苏州市吴江汾湖高级中学薛雪华

众所周知，概念教学在数学教学中的地位是举足轻重的，特别是新知教学中，我们发现概念教学的扎实与否影响着学生对于数学本质的理解.北师大钱跃玲教授说的好：“数学概念教学要慢一点，再透一点，让学生有足够的时间理解和领悟，现在的学生往往对于一些很基本的数学概念不甚了解，比如，椭圆、双曲线、抛物线为什么统称为圆锥曲线？两个数里较大的数不小于它们的算术平均数等.一个班里竟然有一大半学生一无所知，令人费解.希望概念教学要返璞归真，足够重视才是真正教数学、学数学.”

概念教学是感受概念、认知概念、理解概念、运用概念的一种结合.但从现阶段教学现状来看，我们的教学却没有在这些方面领悟新课程教学理念，往往是在重复做着一些试题，走着课改前的老路，对试题的选择没有深刻性、本质性，这样的复习教学对于基本题的训练是有一定的效果，但是对于较难的概念性问题是无效的.笔者举一些问题来看看，复习教学应该如何返璞归真话概念呢？笔者以案例进行说明.

一、从运用中体会概念

中学数学中有很多概念，有些数学概念比较形式化，比如，函数、映射、平面向量数量积等，这些概念本身形成过程有数十年、甚至上百年之久，要求学生探究实现或者短短四十五分钟迅速理解是不太可能的，我们可以选择一些具备深刻揭示概念本质的数学试题来指导复习教学.

例1存在函数f（x）满足，对任意x∈R，都能满足下列等式的是______________.

（1）f（sin2x）=sinx；（2）f（sin2x）=x2+x；

（3）f（x2+1）=|x+1|；（4）f（x2+2x）=|x+1|.

分析：本题是高考改编问题，我们细细阅读高考题背后所揭示的数学本质，其想反映什么问题？学生对其的第一反应是模拟考试中从来没见过类似的问题，肯定很难，不好下手，胡猜一通.作为教学引导，笔者认为既然是问这样的函数是否存在？则必然是与函数概念有关，引导学生回想函数概念：对任意的自变量，经过对应法则f都有唯一的值与之对应即可.对于等式（1）试取x=0及，发现f（0）分别等于0和1，这与函数概念最基本的特征相违背，显然等式（1）是不成立的；对于等式（2）和（3），可以做类似的取值，都可以发现当自变量为同一个值时，其对应的函数值均不唯一，通过排除法可以知道只有等式（4）才是正确的.从正面思考等式（4），不通过计算我们也能发现，令u=x2+2x，t=|x+1|，它们的对称轴均为x=-1，而且在对称轴两侧单调性一致，因此对每一个x≤-1时，每一个x的值，u、t都是唯一的，因此满足题意.

说明：函数概念一直是数学教学中最核心的概念，对概念的基本理解可以说学生尚能掌握，但是对概念本质的深层次认知，还显得有些不足，在做一些对概念本质更有深意的试题前，如何浅显巧妙地运用概念是数学学习更为高层次的能力之一.

二、从图形中理解概念

数学概念往往是形式化的，特别是一些非常难理解的抽象数学概念，对于概念教学很多时候仅仅通过理性的思维还是不够的，需要进一步用图形去理解这些概念的实质.这一类概念的理解问题尤其以近年来的向量小题更为体现得淋漓尽致，笔者举例说明.

例2设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b+ta|的最小值为1.则下列命题正确的是___________.

（1）若θ确定，则|a|唯一确定；

（2）若θ确定，则|b|唯一确定；

（3）若|a|确定，则θ唯一确定；

图1

（4）若|b|确定，则θ唯一确定.

分析：本题可以通过代数运算得到结果，只有命题（2）是正确的，但是运算烦琐，学生一般难以清楚地得到正确的算理.笔者以为，向量问题在试题中考查主要围绕着这么几个基本概念展开，弄清了这些基本概念即可解决向量类似的小题.第一，向量加减法的理解，这一点是图形理解的根基；第二，“模长”的理解，这往往涉及“距离”概念；第三，向量数量积的概念，这一概念比较重要，其中涉及投影和极化恒等式这些数量积概念的转换运用；第四，向量中最重要的定理——平面向量基本定理，这一定理大大加深了对向量自由化的认知.从本题来看，要提高学生返璞归真，对于模长最小值为1最好的理解正是通过向量加减法构建的基本图形，如图1所示，简单的图形建构，加深了向量加减法、数乘、模长与距离、向量夹角等这几个概念的理解，显然在直角三角形中，当若θ确定，则|b|唯一确定，因此命题（2）是正确的.对于命题（1），若θ确定，则|a|显然是不唯一确定，可以有无数种选择.对于命题（3），若|a|确定，则θ可以是锐角也可以是钝角，不唯一.同理，对于命题（4），若|b|确定，则θ也可以是锐角或钝角，不唯一.

图2

分析：平面向量基本定理是向量教学中最重要的一个定理，其承载着向量自由分解和向量坐标表示之间的一座重要桥梁，大家可以思考，在正交分解中，分别选择了x轴、y轴的单位向量为i、u，则平面中任意一个向量a都可以分解为a=xi+yj，简记为a=（x，y），连接两个单位向量终点的直线方程恰为x+y=1.现在若将正交分解一般化为斜交分解，也可以类比选择合适的基向量m、n，则平面中任意向量a=xm+yn，简记为a=（x，y），连接两个单位向量终点的直线方程恰为x+y=1.这也是三点共线性质的体现.运用这一平面向量基本定理的深入理解，对于类似研究分解问题可谓信手拈来.如图2所示，过点C作l的平行线交BO的延长线于点E，延长BE交l于点F，因为D为BC的中点，所以O也是中点，则，选择斜角坐标系，以O为坐标原点，OE为x轴，OC为y轴，记分别为x轴、y轴的单位长度，则直线EC为基线，因此直线EC的方程为λ2-λ1= 1.又，所以

说明：向量本身是一种既具备了代数化特征又含有几何含义的数学工具，其在数学中的运用往往有意想不到的作用.向量问题可以从代数的角度去运算，也能从几何的角度去思考，但是真正能起到启发思维作用的还是向量的几何含义，加深几何含义的理解和教学才是真正理解向量概念的开始.

三、一点思考

数学概念随着数学学习的深入会有愈来愈深的理解，初学概念往往是对其一般表象的浅显认识，随着数学问题的深入，我们往往对其又有了新的、深刻的理解，以例3为例，以往学生对于平面向量基本定理的理解往往限于两个方面：第一，找到一对不共线的向量作为基底；第二，平面中任意向量都能分解到这两个基向量的方向上去，这种分解是唯一的.但是在解决真正较难问题的时候，这种分解的理解却远远不够，结合正交分解，学生更能清楚地站在一个系统的高度认识平面向量基本定理.因此，笔者思考：

（1）概念教学要选好试题，特别是试题的循序渐进性，这里可以分三个层次实施概念教学，首先，概念基本理解问题，其次，包含概念内涵和外延延伸问题，最后，选择高考中考查概念的经典问题去进一步思考理解数学概念.这样教学，既不用大费周章的题海训练，又会取得很好的效果.

（2）从思想上引导学生重视概念，日常教学对于概念的提炼和引导需要多多指导，多从思维上去引导学生思考问题的本质、发现试题背后隐藏的数学概念，这样的教学才是新课程教学理念希望的教学，是开发学生思维的教学.比如，在表述椭圆称之为圆锥曲线的时候，可以用这样的试题渗透概念和提炼思维：二面角α-l-β的大小为120°，AB垂直平面β交l于点B，动点C满足AC与AB的夹角为20°，则点C在平面α和平面β上的轨迹分别是___________.（答案：椭圆、圆）有兴趣的读者可以一试.总之，数学概念教学要返璞归真才是真正的理解数学.

1.吴成海.数学试题创新应着力于思维培养［J］.中学数学（上），2013（8）.

2.周湖平，李阳华.从斐波那契数列看数学概念教学［J］.中学教研（数学），2013（1）.F