“导数在研究函数中的应用——单调性”教学设计与教后反思

☉江苏省太仓高级中学　陆　丽

“导数在研究函数中的应用——单调性”教学设计与教后反思

☉江苏省太仓高级中学陆丽

2015年12月9日至11日，江苏省高中数学青年教师优质课评比与观摩活动在江苏省盐城中学举行，笔者有幸作为参赛选手，开设了“导数在研究函数中的应用——单调性”的展示课.在教学实施中，笔者在“为什么要用导数法研究函数的单调性？它与学生原有研究函数单调性的方法有什么关系？如何把握教学的深度？如何促进学生思维的发展？”等方面做了一些探索，受到评委和听课老师的一致好评.现就本节课的一些教学设计及教后反思整理如下，敬请同行指正.

一、基本情况

1.教材分析与学情分析

“导数在研究函数中的应用——单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-2）》（苏教版）第1.3.1节的内容，是学生在学习了平均变化率、瞬时变化率、导数定义之后学习的，是《必修1》函数单调性的再认识，为后续学习函数的极值、最值等知识做铺垫，也是初等数学向高等数学的一次跨越.本次授课的对象是盐城中学高二的学生，基本素质高，思维能力强，已经掌握了基本初等函数的图像与性质、导数的定义及简单函数运算的导数公式，尤其领悟了“割线逼近切线”的数学思想，已经具备了用导数研究函数单调性的知识能力储备.

2.目标定位与策略选定

教学目标：借助几何直观，通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握利用导数判断函数的单调性的方法，会用导数求函数的单调区间；通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.为了实现教学目标，笔者选取了“自主、合作、探究”的教学策略.

二、过程设计

1.创设情境，引发冲突

师：同学们，很高兴今天能和大家一起学习.昨日从苏南到盐城的途中老师感觉到渐行渐北渐微寒，来到美丽的盐城中学后感受到学校的教育文化数一数二.今天也让我们从一个气温的实际问题开始数学之旅.

问题1：某市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时至5时的气温f（x）与时间x可近似地用函数f（x）=x-4lnx-1拟合.问：这段气温f（x）随时间x的变化趋势如何？

师：问题本质是研究函数f（x）=x-4lnx-1（x∈［2，5］）的单调性，如何研究？

生1：利用描点法作图，观察其上升、下降趋势.但未知图像形状，手工描点作图不精确，若借助现代教学技术作图就可解决此困惑.

生2：尝试从函数单调性的定义入手研究，任取x1，x2∈［2，5］，x1

师：此问题从“形”和“数”两个角度都无法进行下去，下面我们再寻求新方法研究函数的单调性.

设计意图：通过学生熟悉的生活情境，激发学生迫切知晓函数单调性的欲望.尝试运用所学方法解决非初等函数的单调性，引发学生的认知冲突，如何思考将未知化为已知，激发了学生主动学习新知识的热情.

2.回归定义，寻求方法

问题2：函数的单调性是能够刻画函数的变化趋势，请大家回忆一下函数单调性的定义？

生3：设函数y=f（x）的定义域为A，区间I⊆A.如果对于I上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），则y=f（x）在区间I上是单调减函数.

师：以单调增函数为例，请同学们观察这个定义中有哪些关键要素？

生4：研究函数的单调性优先考虑定义域，再者单调区间是定义域的子集，还有“x1

师：其中“x1

生5：（x2-x1）·（f（x2）-f（x1））>0或或

师：哪个式子你更熟悉呢？

问题3：函数单调性的定义能否用平均变化率来表达呢？

生7：设函数y=f（x）的定义域为A，区间I⊆A.任意x1， x2∈I，x1≠x2，都有则函数y=f（x）在区间I上是单调增（减）函数.

师：这表明函数的单调性与该函数在区间I的任意子区间上的平均变化率的符号存在等价转化关系.利用这个结论能否解决问题情境的困惑？

生8：从“数”的角度，它与函数单调性的定义是等价的，利用它仍无法确定的正负.从“形”的角度看，平均变化率的几何意义是割线斜率，要使函数f（x）在区间I的图像上任意两点割线斜率大于（小于）0，则函数f（x）在区间I上单调递增（减），但它不太好具体操作.

师：除平均变化率外我们还有什么知识也能够刻画函数的变化趋势？

生9：瞬时变化率也就是导数可以刻画函数的变化趋势.

问题4：导数的几何意义是切线的斜率，那么当导数（切线斜率）满足何条件时函数单调呢？进而引出课题.

设计意图：注意到知识的联系，尝试在学生原有认知基础上建立新知.通过回顾函数单调性的定义，将其形式变化，联想平均变化率，得出结论.对此结论从代数和几何两个角度进行阐述，从而引发学生思考导数（切线斜率）与函数单调性的关系.这个过程由浅入深、层层深入，合乎学生的思维逻辑.

3.观察探究，揭示本质

师：以函数f（x）=x2为例，探究导数与单调性的关系.

生10：展示表格1.

师：借助几何画板动态演示（图1），也可验证同学们的结论.下面请大家再举几个常见初等函数进行验证，归纳结论.

生11：展示表格2.

生12：通过大量实例发现，对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的增函数；如果在某区间上f′（x）<0，那么f（x）为该区间上的减函数.

师：（追问）“f′（x）>0”能否改成“f′（x）≥0”呢？

生12：不可以.因为f（x）在某区间上f′（x）≥0，则f（x）在该区间上有可能为增函数，比如f（x）=x3，但若f（x）为常函数，虽满足f′（x）≥0，但它在该区间上并不单调.

图1

图2

师：精彩.（几何画板演示图2）如果导数大于零，即图像上任一点切线斜率大于零，则曲线经过切点时成上升趋势，因此该函数在此区间上单调递增；如果导数小于零，即图像上任一点切线斜率小于零，则曲线经过切点时成下降趋势，因此该函数在此区间上单调递减.当然这个结论要严格证明得到大学再学习，有兴趣的同学课后可以查阅相关资料.

设计意图：从常见函数入手，让学生动手操作，通过观察、猜想、归纳、提炼，让学生经历从特殊到一般，从猜想到验证的发现过程，使自主探究成为学生的一种学习习惯.为了验证猜想，教师借助几何画板动态演示，引导学生从“形”的角度来验证，这样既降低了学生思维的难度，又阐述了导数法研究函数单调性的一般性.

4.自主训练，强化应用

活动一：试确定函数f（x）=x2-4x+3的单调性.

设计意图：通过熟知的“二次函数”，由“形”到“数”，将“初等方法”与

“高等工具”进行对比，体现了导数法在研究函数单调性中的有效性，进而开拓了学生的思维；通过原来函数图像与导函数图像的对比分析（图3），由

“数”到“形”，深化了导数法研究函数单调性的认识.

活动二：求下列函数的单调区间.

（1）f（x）=2x3-6x2+7；（2）f（x）=x-4lnx-1.

设计意图：对于较复杂函数，运用初等方法研究其单调性比较困难，可用导数法来研究其单调性，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和优越性.在板书时明确导数法求函数单调区间的一般步骤，并提醒“研究函数性质，优先定义域”.第（2）题也为解决本课问题情境做铺垫.

5.回顾反思，提升能力

问题5：通过这节课的学习，你有哪些收获？

设计意图：尝试让学生自主回顾反思本节学习的知识和方法，培养学生“学习—总结—反思”的良好习惯.

6.分层作业，因材施教

（1）必做题：课本P29练习1～4.

（2）选做题：利用导数研究函数单调性这一知识还可以探究函数的哪些性质？

设计意图：“必做题”面向全体学生，以巩固知识、掌握方法为目的.“选做题”为学有余力的学生提供思维拓展的空间，也给学生提供进一步自主研究导数法在研究函数其他性质上的应用.

图3

三、教后反思

1.在知识产生的必要性中挖掘知识形成的内涵

知识从产生，到形成，再发展，整个过程内涵丰富.为什么要用导数研究函数的单调性？导数研究函数单调性怎样提出比较自然？开门见山通过几个特例观察归纳得出导数与函数单调性关系学生也能接受，但是否是最合适的方式呢？苏教版教材必修1“第2.2.1节函数的单调性”是以“气温变化图像”为问题情境，让学生观察图像，由“形”的特征到“数”的特征，进而用符号语言刻画函数的单调性.本节课仍然是研究函数的单调性，笔者延用了气温背景，研究气温拟合函数的单调性.如何研究？现有的方法解决不了，怎么办？笔者为此直接引导学生寻求研究函数单调性的新方法，体现了知识产生的必要性.通过回归函数单调性的定义对其再认识，寻找定义与平均变化率、瞬时变化率（导数）的内在联系，挖掘知识形成的内涵，揭示知识的本质.

2.在学生自主探究活动中体验数学发现的过程

导数与函数单调性的关系如何呈现给学生比较合适？是直接告诉，让学生记忆并运用，学生也能够接受，还是让学生自己发现，体现数学学习的“再创造”过程，让学生在学习知识的同时提升自我探究的能力.笔者尝试从熟悉的二次函数入手，让学生动手操作，猜想导数与函数单调性的关系，再让学生举更多的例子，验证自己的猜想，最终再从“形”的角度给予验证，这个过程培养了学生的观察、归纳、概括、抽象等思维能力.

3.在“数”与“形”转化中体现数学思想方法

在教学时，笔者对教材中的三道例题进行适当的整合与拓展.在对二次函数单调性研究时，笔者引导学生从“形”和“数”两个角度思考，开拓了学生的思维；再让学生将原来函数图像与导函数图像进行对比，由“数”到“形”，加深了学生对概念的理解.在对三次函数单调性研究时，笔者要求学生借助单调性作出其图像，并将原来函数图像与导函数图像进行对比，学生经历由“数”到“形”的思维过程，再次感悟导数法研究函数单调性的认识.从三次函数发展为非初等函数，笔者选用了问题情境中的函数，这样的编排承前启后，体现了导数法更具有一般性.例题逐层深入，由“形”到“数”，由“数”到“形”，数形结合贯穿始终.

四、结束语

当然课堂教学是门遗憾的艺术，这节课的实施也有很多不足.例如，课堂上自主探究与小组合作的时间少了些.在课堂教学中，教师只有精心设计教学环节，充分展示知识的发生、形成与发展过程，充分发挥学生探究知识的主体作用，才能使之成为促使学生终身发展的高效课堂.

1.王弟成.化静为动化知为识——对数的概念教学思考［J］.数学教学研究，2015（1）.F