基于改进的同伦摄动法求解线性分数阶偏微分方程

尹伟石，张绪财，徐 飞，姜志侠

(1. 长春理工大学 理学院，长春 130022； 2. 东北师范大学 数学与统计学院，长春 130024)



基于改进的同伦摄动法求解线性分数阶偏微分方程

尹伟石1，张绪财1，徐 飞2，姜志侠1

(1. 长春理工大学 理学院，长春 130022； 2. 东北师范大学 数学与统计学院，长春 130024)

基于改进的同伦摄动法求解线性分数阶偏微分方程, 并通过与变分迭代法进行比较, 在数值算例中证明了方法的有效性.

改进的同伦摄动法； 变分迭代法； 线性时间分数阶偏微分方程

分数阶模型是能够充分描述和演示各种物理和生物过程和系统变化的一种模型[1-2].由于大多数分数阶微分方程没有解析解，因此求解其近似解的数值技术被广泛使用.近年来，变分迭代方法[3-4]已被用于解决各种各样的问题.本文基于He[5]提出的同伦摄动法，来构建一个分数阶线性偏微分方程的近似解.同伦摄动法是一种联系线性和非线性问题的解析近似解的新方法.同伦摄动方法目前已应用于Volterra积分微分方程[6]、非线性振动[7]、非线性问题的分歧[8]、时滞微分方程的分岔[9]、非线性波方程[10]、边值问题[11]以及其他领域[12].最近，该方法的应用已扩展到分数阶 Riccati 方程[13]中，Odibat和Momani修改同伦摄动法以解决非线性分数阶微分方程.这种改变降低了非线性分数阶微分方程的数量而使之成为一组线性常微分方程.

1 分数阶微积分的一些基本概念

本文考虑的是如下形式的时间分数阶偏微分方程：

(1)

其中L[x]是以下形式的线性微分算子：

(2)

同时满足的初始条件和边界条件是

u(x,0)=f(x) 0<α≤1,

u(x,t)→0 当|x|→∞,t>0,

(3)

同时

u(x,t)→0 当|x|→∞,t>0.

(4)

在上面的式子中ai(i=0,1,…,n),f(x),g(x)和q(x,t)全是连续函数并且α是u关于时间t在Caputo导数意义下求导的阶数.

关于分数阶导数的阶数α>0有多种定义的方式.最常用的有两种，分别是Riemann-Liouville定义和Caputo定义.每个定义都使用Riemann-Liouville分数阶积分和一阶导数.而两种定义之间的差异是求值顺序的不同.

由于Caputo分数阶导数在问题的公式化中允许传统的初始条件和边界条件被纳入，因此本文将运用Caputo分数阶导数.本文考虑了一维线性非齐次分数阶偏微分方程，其中的未知函数u(x,t)被认为是一个时间因果函数.由此对在Caputo意义的分数阶导数定义如下.

定义1 对于m是超过α的最小整数，则阶数α>0的Caputo时间分数阶导数算子定义为

(5)

2 改进的同伦摄动法

同伦摄动方法是一种适用于不同非线性问题的可以提供一个解析近似解的新方法.考虑以下非线性分数阶微分方程：

对于t>0,m-1<α≤m，有

(6)

uk(0)=ckk=0,1,2,…,m-1.

(7)

可以构造以下的同伦：

(8)

或者

(9)

其中同伦参数p始终从0到1变化.

在p=0的情况下，方程(8)变成线性方程：

(10)

同时方程(9)变成线性方程：

(11)

在p=1的情况下，方程(8)和方程(9)将变成原始的分数阶微分方程，即

而在改进的同伦摄动法中，一个最基本的假设是方程(8)和方程(9)的解可以根据p的幂级数展开：

u=u0+pu1+p2u2+p3u3+….

(12)

将方程(12)带入方程(8)和方程(9)中，并且使之与p的幂级数展开式相等，于是我们可以计算得到下列形式的线性方程：

(13)

或者如下形式：

(14)

分别地，其中的表达式L0,L1,L2,…和N0,N1,N2,…相应地满足以下方程：

(15)

3 应用与结果

考虑如下线性时间分数阶偏微分方程：

(16)

且符合初值条件

u(x,0)=x3.

(17)

根据同伦摄动法，将初值条件(17)代入方程(16)，可以得到下列线性偏微分方程组：

(18)

计算上述方程，则有

u0(x,t)=x3，

故有

依次计算可以得到所求方程的近似解为

利用变分迭代法计算，同样可以得到如上结果.

4 结 语

同伦摄动法是求解各类线性非齐次分数阶偏微分方程的精确和近似解的有力而强大的工具.它提供了在解决实际问题中更加有效的方法.而改进的同伦摄动法则实现了从分数阶微分方程到一系列常微分方程的更简单的计算方法.

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Based on Modified Homotopy Perturbation Method for Solving Linear Fractional Partial Differential Equation

YIN Weishi1, ZHANG Xucai1, XU Fei2, JIANG Zhixia1

(1. College of Science, Changchun University of Science and Technology, Changchun 130022, China；2.SchoolofMathematicsScienceandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

This work is based on the homotopy perturbation method for solving the linear fractional partial differential equations. Some numerical examples are given to illustrate the efficitiveness and convenience of the method through the comparison with variational iterative method.

modified homotopy perturbation method； variational iteration method；linear time-fractional partial differential equation

0427-7104(2016)05-0560-05

2015-09-20

国家自然科学基金(11471067)；国家级大学生创新创业训练计划(201510200028)

尹伟石(1980—)，男，博士，讲师，E-mail：yinweishi@foxmail.com.

O 175.14

A