基于“分式”课例浅谈初中数学概念教学

☉安徽师范大学2014级数学教育硕士

☉安徽马鞍山二中实验学校　汪宗兴

基于“分式”课例浅谈初中数学概念教学

☉安徽师范大学2014级数学教育硕士

☉安徽马鞍山二中实验学校汪宗兴

一、问题的提出

2016年伊始，马鞍山市教育科学研究院创新教研形式，每次教研活动突出一个鲜明的主题，改变过去由上课老师自定主题、同课异构的形式，数学教研活动均由市数学学科带头人担任主讲，改变了过去谁要评职称谁就申请上课的随意做法，活动内容是先上一节示范课，再开设同一主题的专题讲座，点评专家也均为特级教师和市学科带头人.本学期初中数学教研活动突出三个主题：初三侧重如何复习；初二侧重习题课教学；初一侧重概念课教学.笔者于2016年4月29日承担了初一概念课教学的“重任”，执教了“分式及其基本性质（第1课时）”，受到同行的肯定.

文1指出：“当前，概念教学中走过场，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍.概念教学常常采用‘一个定义，几项注意’的方式”.以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正.否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空.如何科学地实施概念教学呢？笔者结合“分式”教学，谈一谈概念教学的基本环节和实践的思考.

二、概念教学的意义

数学中一个普通的概念都有着并不普通的历史，从其历史演变中，可以看出数学的历史发展，数学是人类理性思维的结晶.

“数学根本上是玩概念的”，概念是人们在社会实践中形成的思维形式，是人们对客观事物的本质、事物的全体、事物的内部联系的认识.每一个概念都包含两个方面：一是概念的内涵，它反映事物的本质；二是概念的外延，它反映事物的范围，即概念的适用范围.

数学概念是什么？数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式.数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，所以概念学习是数学学习的核心之一.概念学习的研究一直是心理学研究的重要课题，包括对概念的分类、概念的结构、概念的获得、概念的运用等方面的研究.

三、基于“分式”课例谈一谈概念教学的基本环节

【教学设计】

教材：第九章“分式”（沪科版七年级下册）.

课题：9.1分式及其基本性质（第1课时）.

【教学目标】

（1）了解分式的概念，掌握分式有意义和分式的值为0的条件.

（2）通过解决实际问题，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一种模型.

（3）体会类比等数学思想方法，获得代数式学习的活动经验.

【教学重点、难点及教法】

教学重点：分式的概念，分式有意义的条件.

教学难点：对分式概念的理解.

教学方法：（1）从分数到分式，是从具体到抽象、从特殊到一般的概念形成过程；（2）类比分数的有关知识得到分式的相关知识是研究分式的基本方法.

【教学实录】

（一）概念的引入

师：这几年，我们国家的铁路事业飞速发展，火车已成为必不可少的交通工具.

问题1：在相距1600km的两地之间运行一列车，速度提高25%后，运行时间缩短了4h，你能求出列车提速前的速度吗？

生1：提速前所要的时间，提速后所要的时间.

生2：有一个问题.

师：请说.

生2：给这个方程起个什么名字为好？

众生：分式方程.

师：在弄清分式方程之前，先要弄清什么是分式.带着这个问题，我们来进行“分式”一章的学习.

问题2：长方形的面积为S，若长为a，则宽为_____.

问题3：一箱草莓售价a元，箱子与草莓总质量为mkg，箱子质量为nkg，则每千克草莓的售价为_____元.

师：哪个答案对？

师：为什么生5的答案正确？

生6解释，略.

问题4：计算：2x3y2÷x3y3=______.

设计意图：前三个问题是实际应用问题，体现数学知识的应用价值，培养学生的数学应用意识，体会分式来源于生活；第四个问题是整式除法，是纯数学问题，前面已经学习过单项式除法，但商都是整式，即整除的情形，这里出现不能整除的情况，商如何表示？根据已学的数的运算经验，类比引出分式，体现分式是数学知识自身内在发展的必然结果.四个问题的设计意在引出分式学习的必要性，为分式概念的提炼提供素材.

生7：分母上含有字母.

生8：都是分式.

师：什么是分式？

生9照着工具书读分式的基本性质.

师：这位同学在参考工具书，其实教科书是最好的教辅材料，看看课本是如何揭示分式定义的.

众生翻阅教科书，读出分式的定义

（二）概念的表述

板书1：用a、b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫作分式.其中，a叫作分式的分子，b叫作分式的分母.

设计意图：类比分数，熟悉分子、分母、分数线及功能；分式的两大特征：①分子、分母都是整式；②分母中必须含有字母，分子中可以含有字母，也可以不含字母；③分式是两个整式相除的商.

问题5：下列代数式，哪些是分式，哪些是整式？

生12：a2+b2是多项式，a2、b2都是单项式，几个单项式的和是多项式.

师：这两个观点针锋相对.

生14：我要反驳生11，ab÷ca是分式.

设计意图：问题5增强感性认识，使学生建立分式和整式的联系，体会“分式”在知识结构体系中的位置.数学概念的学习不是一个一个孤立的数学概念的记忆或认知，而是对众多相互关联的数学概念的辨别与再联结.因此，数学思维方式的建构或转变只有置身于整体的数学概念框架之中才是可能的或现实的.

（三）概念的深化

问题6：求下列分式的值：

师：大家对照一下，2对应的空为/，为什么？

众生：分母为0，分式无意义.

师：分式在什么情况下，有意义呢？

众生：分母≠0.

板书：分式有意义、分式的值为0的条件，内容略.

设计意图：从求代数式的值出发，引出分式有意义、无意义、分式的值为0的条件，明确求分式值的前提是分式有意义.

板书4：解：（1）当x-2=0，即x=2时，分式无意义，所以当x≠2时，分式有意义.（突出强调书写格式）

【变式练习】

注：5人同步做两个③.

由原式有意义，得x2-x-6≠0，即x2-x≠6.

此时，x≠3或x≠-2.

（师纠正“或”→“且”）

师：说一下，你是怎么想的？

生17：把3和-2代入计算的.

师：那么多的数，你怎么知道要把3和-2代入计算呢？哪位同学能解释？

生19：1，1，±1.

生21：x＜2.

师：你怎么知道这个结果的？

生21：因为分子是正数，分母一定是负数，这里利用有理数除法法则，两数相除，异号得负.

（四）概念的“精致”

师：我们这一节课主要学习了哪些知识要点？请同学们小结一下

生22：分式的定义.

生23：分式的基本性质.

师：你很有预见性，这正是后面的内容！

生24：分式有意义、无意义、分式的值为0.

师：关于分式的概念，分式是两个整式相除的结果，当字母参与运算后，字母、字母之间进行乘法运算得到单项式，加减运算得到多项式，乘方（特殊的乘法）得到单项式，乘方的逆运算是开方，字母能否进行开方运算呢？开方运算得到无理式，有理式和无理式统称代数式，如图1所示.

分数→分式；整式→分式；类比等.

【布置作业】

课本：P93习题9.1第1题、第2题.

【内容分析】

本节课是分式一章的第一节课，既承担着章节导引的作用，又要引入并揭示分式的概念，可谓“责任”重大.从整章来说，为什么学分式？分式是什么？如何学分式？是三个核心问题.从第一节课来说，为什么学分式？分式的定义是什么？从哪些角度来理解分式概念？相对前者，后者更具体，前者更抽象、更一般.

回答为什么学分式，可从两个角度看，一是数学自身发展的结果，二是实际问题解决的需要.分式的概念及理解是第一节课的重点.怎么学分式？学生需要借鉴整式的学习经历，类比分数，以研究分式的概念→分式的运算→分式方程→分式方程的应用为主线展开.

什么是分式？对分式如何理解？

分式是分数代数化的结果，是对分数一般属性的描述，具有分数的特点.分式是建立在学生熟悉的分数基础之上的一个新概念，通过字母表示数，沟通分式和分数的横向联系，渗透具体与抽象、特殊与一般的辩证思想，分数是分式的特例，分式是分数的普遍形式.分式与分数的形式相同，性质相通.因此，分式的学习要注意其与分数的类比、转化，既要注意表面形式，又要深入揭示由形式引起的内涵变化.

【分式概念教学的基本环节回顾】

从“分式”课例教学可以看出，概念教学经历了以下几个环节.

具体而言，可以分为以下几个基本环节.

（1）概念背景的引入.问题1-3是实际问题，问题4是整式除法运算，是一个纯数学问题.借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念.

（3）概念的抽象与概括（又称明确与表示）.下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的、图形的）.

（4）概念的辨析.以实例（正例、反例）为载体，分析的含义，研究特例，恰当使用反例.如问题5，判断代数式的类型，加深对概念的理解.

（6）概念的“精致”.通过概念的综合应用，建立与相关概念的联系，将概念纳入概念系统.本节课的板书设计正是基于这样的考虑，给学生形成一个完整的知识结构图式，如图1所示.（点评专家评价为：“在目前PPT泛滥的情况下，板书很有特色！”

【概念教学实践体悟】

首先，教师应明确讲授的数学概念在“概念框架”中的位置，弄清与相关概念的联系.如分式概念可从以下几个方面理解.分式是代数式的一部分，在有理式中出现在整式之后，其化简、计算与整式内容密切相关；其在定义、性质、运算法则上可类比分数，体现一般与特殊的关系；在方程、不等式部分与分式方程、分式不等式直接相关；在函数部分与反比例函数有关；在图形部分与线段比、相似相关.可见，分式与数式、函数、方程、不等式、图形等方面联系密切.

从数学史来说，人类从数量的多少中抽象出数的概念经历了漫长的过程，在出现整数、分数之后，一方面把数及数的运算应用到生活和生产实践中；另一方面，对数本身进行研究.要表示数量关系的一般规律，仅用数来表示难以体现.法国数学家韦达第一个有意识地使用字母来表示抽象的运算，从此人们可以像对“数”那样对“符号”进行运算，符号运算得到的结果具有一般性.字母参与运算后，产生了代数式.代数式是按照对字母进行的运算进行分类的，整式中，对字母只实施加法、减法、乘法和乘方运算；分式中，对字母实施除法运算（形式上表现为分母中含有字母）.整数的运算会出现分数，整式的运算也会出现两个整式相除的情况，这样就有必要引入分式.

教育需要大观念，即培育人的追求，这反映在教学上就是教学需要整体观，即建构或转变思维方式，而这反映在数学概念教学上就是要在概念框架中来获得概念，而不能只是一味地追求所谓知识点的掌握.

其次，教师应认真分析概念类型，选择适当的概念教学方式.

教育心理学的研究成果表明，数学概念的获得方式主要有两种，即概念的形成和概念的同化.所谓概念的形成，是指从大量实例出发，以学生的感性经验为基础，形成表象，归纳、抽象、概括出事物的某类本质属性，并提出各种假设，加以验证，以获得数学概念.所谓概念同化，则是指从学生已有的概念出发，以其间接经验为基础，直接揭示所学习概念的某类本质特征，以获得数学概念.分式概念的教学显然采用的是以概念的形成为主的教学方式.特殊四边形的教学可以采用概念同化为主的形式.无理数对学生来说是个难点，无理数的发现，曾引起数学史上第一次基础理论的危机，教学时可采用概念形成和概念同化相结合的方式.

概念形成的获得方式多局限于较为原始或初级的数学概念的学习，如儿童对各具体数字和特殊平面图形的认识，就可以借助于反思其生活和经验中的相关感性材料来获得，而概念同化则多运用于较为高级或发展性的数学概念的学习.前者侧重于从感性材料上升至表象，再从表象归纳、抽象、概括出所学概念的本质特征，并据此明确其相应的外延；而后者则多从已有数学概念出发，运用概念限制或概念概括的逻辑方法，这两种明确概念的逻辑方法都源自概念内涵与外延之间的反比关系，分析推演出所学习的数学概念的本质特征.

再次，教师对概念的理解有个渐进的过程.笔者初进入工作岗位时，经常为“x=2、x+3=x-1是不是方程”“3+是不是分式”“是不是二次根式”等问题困扰，随着教学经验的丰富，学习发现：课本中的一些定义本身就是一个描述性定义，有的是形式化的定义，而并非十分严谨的数学定义.当我们明白引入方程、分式概念等的最终目的是实现问题的解决时，如何解方程，分式的运算等自然成为关注的焦点，教师在概念教学时有时不妨“淡化形式，注重实质”！

最后，教师应加强学习概念教学理论，熟悉概念教学的“基本套路”，减少概念教学的盲目性.理解概念是数学学习的首要任务，概念的学习主要靠归纳思维，概念教学要用归纳式.概念教学要遵循一定规律，教学设计的主要任务是：选择典型、丰富的具体实例，设计、归纳具体实例的共同特征，抽象出本质特征，并概括到同类事物中去.

1.章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程［J］.数学通报，2010（10）.

2.刘军.概念辨析，在学生的认知拐点处——以“无理数”的概念复习为例［J］.中学数学（下），2016（3）.

3.喻平.数学学习心理的CPFS结构理论［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

4.章建跃.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

5.徐文彬.数学概念的认识及其教学设计与课堂教学［J］.课程·教材·教法，2010（10）.

6.陆祥雪，张秋.内外兼顾理解分式［J］.中国数学教育，2015（3）.

7.史宁中.数学思想概论［M］.长春：东北师范大学出版社，2015.

8.章建跃.创新推动课程改革全面提高教育质量［J］.中国数学教育，2016（4）.Z