初中代数“用……解决问题”课时的解读与设计*——以苏科版教材七（下）“11.5用一元一次不等式解决问题（1）”为例

☉江苏无锡市新城中学　浦叙德

初中代数“用……解决问题”课时的解读与设计*——以苏科版教材七（下）“11.5用一元一次不等式解决问题（1）”为例

☉江苏无锡市新城中学浦叙德

高效的课堂取决于有效的设计，有效的设计依赖于教材的解读，对数学教材的深度解读是课堂教学优质、高效的基础和保障.虽然各地使用教材的版本和体系不同，但其都是基于《数学课程标准（2011版）》编写的，故课程标准解读、教材编写说明、教师教学用书应该作为教材解读的显性依据，而数学知识内部的结构体系和数学学习的基本规律应该作为教材解读的隐性依据.一线教师在数学教学整个过程中，往往对教材解读这个教学全程的“虎头”重视不够，因而教学设计有效性降低，致使课堂教学这个教学全程的“豹尾”效能低下.下面以苏科版初中数学教材中代数内容“用……解决问题”（以下简称“解决问题类”）为例，具体以其中的“用一元一次不等式解决问题”第1课时为素材，谈一下此类数学教学内容的解读与设计，并作一些粗浅的思考，一是唤起教师对教材解读的重视，二是给课时解读的研究抛砖引玉.

一、初中代数“解决问题类”课时的分布与呈现

苏科版初中数学教材按“代数、几何、统计、概率”四大板块从简单到复杂、交叉并列推进编排.它以“从生活中抽象出数学知识，再进行数学知识的自身推理演绎，最后用数学知识解决问题”为明线，以“抽象、推理、建模”三大基本数学思想为暗线编写每章教材.其中代数内容以“数—式—方程—不等式—函数”为明线，采用螺旋上升的方法展开.由于“数、式”作为代数基础知识，它的主要作用是服务于后面“方程、不等式、函数”知识，所以教材从“方程”内容开始在每学期都集中安排有相应的代数“解决问题类”课时内容.考虑到各地使用教材版本不同，编写体系不同，为了让更多同行看到苏科版教材在安排代数“解决问题类”课时的原貌，特把教材的具体课时分布及呈现方式整理如下.

二、具体素材“用一元一次不等式解决问题”课时的解读与设计

由上面的分布和呈现可以看出，由于初中代数“解决问题类”都是“数学知识抽象、数学知识演绎”后的“数学知识建模”内容，它处在每一章每一条知识链的最后一节，所以教材的呈现方式是完全一致的，那就是在“方程、不等式、函数”建模思想引领下，以“实际应用题”的形式出现.如果不对教材进行深度解读，教师在设计此类课时时，往往简单化操作，安排几个表象不同、本质一致的例题和练习作为课堂教学的主要素材，这样的教学显然只停留在问题表面，是教材解读肤浅的表现.下面以苏科版七（下）“用一元一次不等式解决问题”第1课时为例进行深度解读和有效设计.

1.课时具体解读

（1）从“数学与生活”这一宏观视角进行“面”的解读.

我们知道，数学来源于生活，高于生活，优于生活，又服务于生活.事实上，苏科版教材就是按照这样的宏观视角来编写的.无论是对于一章还是一节内容，都可以采用“从生活中来，数学自身演绎，到生活中去”的基本路径进行面的解读、设计和教学.就“用一元一次不等式解决问题”第1课时而言，教材呈现（见上面附表：月历游戏、问题1、解法总结）三个素材，正好说明了这点.从这个视角“面”解读，本课的设计可以按照“从实际问题中抽象不等式问题，不等式知识的自身演绎，用不等式建模解决实际问题”的思路来进行，并以此思路通过具体的数学活动来实施课堂教学.

（2）从“知识的关联”这一中观视角进行“线”的解读.

我们知道，方程与不等式是现实生活中两个重要的代数模型，分别表示相等关系与不等关系，构成“特殊与一般”的关联.所以在学习不等式相关知识时，要充分利用前面所学方程内容作为数学基础知识与基本活动经验，通过类比与对比的方法，避免重起炉灶.从这个视角“线”解读，列方程解应用题的步骤与建模过程，都可以作为“用一元一次不等式解决问题”的基础，本课的设计可以考虑从方程的视角切入，再转入不等式的正题.这样的课堂教学，既复习回顾了方程系列的知识体系，又服务于一元一次不等式系列新知识的建构，同时会让学生对两者的关联有更清晰的认识.

（3）从“知识的发展”这一微观视角进行“点”的解读.

我们知道，初中数学有其自身的知识结构体系，不等式板块有其自己的一条知识发展线，那就是“从生活问题中抽象出不等式—不等式的定义—不等式的解集—不等式的性质—求解不等式—用不等式解决实际问题”；作为不等式中最简单、最特殊的一元一次不等式，从一般到特殊，也有自己的一条知识发展线，那就是“从生活问题中抽象出一元一次不等式—一元一次不等式的定义—一元一次不等式的解集—解一元一次不等式—用一元一次不等式解决问题”.从这个视角“点”解读，本课作为一元一次不等式知识的终结课，设计时既要考虑把这条“知识发展线”理顺并建构，又要考虑本课的重点和核心在于“一元一次不等式建模”.在此基础上实施课堂教学，既可以达成本课的教学目标，又为本章复习的整体建构打下坚实的基础.

2.课时设计框架

（1）引入环节.

［问题1］一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每只苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量为10kg.这只纸箱内装了多少个苹果？

意图：回顾“一元一次方程”中“定义—解—解方程—利用方程解决问题”的知识发展；回顾“用一元一次方程解决问题”中“设—列—方程—解—检验—作答”的一般步骤；回顾“方程建模”中“实际问题—数学中的一元一次方程—方程的解—实际问题的解”的基本流程.

［问题2］一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每只苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.这只纸箱内最多能装多少个苹果？

意图：类比“一元一次不等式”知识线；猜想“用一元一次不等式解决问题”的一般步骤；对比“不等式建模”的基本流程.

（2）展开环节.

［问题3］无锡市新城中学要将初一240名师生送往江阴禁毒馆参观，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可坐45人，B型车每辆可坐35人，每辆车都不能超载.问：在已确定调用2辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？

意图：在知识线完成构建的基础上，熟练“用一元一次不等式解决问题”的基本步骤和建模过程.并进一步强调用一元一次不等式解决问题与用一元一次方程解决问题的解题步骤中“设元”（一般不把最多、最少等词放进设元中）、“建立模型”（根据不等关系建立的是一元一次不等式）的不同之处.还要注意“每辆车都不能超载”的数学含义是最多坐45与35人，实际含义是可以有空座.

［问题4］给出一元一次不等式45×2+35x≥240，请你编制一个符合实际的应用问题.

意图：从生活问题中抽象数学知识以及用数学知识，解决实际问题，都是从现实生活问题到数学问题，根据数学哲学观点，在正向思维的基础上，必须研究一些逆向问题，培养学生的逆向思维能力和对“数学与生活”关系的真正理解.编制问题的关键是问题中的数量既要符合已知不等式，又要符合实际意义.

［问题5］无锡市新城中学计划租用6辆客车送初一年级去参观江阴禁毒馆.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，若该校初一共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元.

（1）至少需要租几辆甲种客车？

（2）试问：预支的租车费用是否够用？

（3）如采用最佳方案，最多可以剩余多少元？

意图：在建构好“知识体系”与熟练“解题步骤”、“不等式建模”的基础上，进一步丰富实际问题呈现信息的方式，从单一文字到融入表格信息，进一步丰富解题方法，从单一解法到分类讨论，进一步丰富解题内涵，从无数个解的解集，到有限个解的特解，最后到唯一解.当然，此问题还可以进一步考虑与一元一次方程或二元一次方程联合组成综合应用题.

（3）收尾环节.

［问题6］今天你学到了哪些数学知识与技能？在探究问题过程中又学到了哪些数学思想方法？获得了哪些数学活动经验？你还有什么可以与同伴分享？

意图：进一步强调“知识结构线”“应用题解题步骤”“不等式建模”等宏观认识；进一步强调“设元”“建立不等式”等细节认识；进一步理解“类比、对比、建模、特殊与一般”等数学思想方法；进一步体会“生活中处处存在数量之间的相等关系与不等关系，相等关系用“方程建模”，不等关系用“不等式建模”，方程与不等式都是刻画现实世界的重要模型”等数学活动经验.

三、关于教材课时解读与设计的几点思考

1.“教材课时解读”应作为数学教师首要研究任务

数学教师的核心主阵地在课堂，如果把教学全过程这个整体分解为“教材解读、教学设计、课堂实施”三个连续的部分，可以看出，数学课堂教学的效能取决于有效的教学设计，而有效的教学设计又依赖于教材的解读.所以对教材每一课时的解读应作为数学教师教学全过程的首要研究任务.从章建跃教授三个理解的角度去对照，教材解读更多体现的是“理解数学”，教学设计则要更多考虑“理解学生”，课堂实施则要充分展示“理解教学”.

2.“教材课时解读”可以通过“点线面”的视角去实施

不管是概念、定理、公式、法则的新授课，还是利用知识解决数学问题、实际问题的习题课，或者是重在建构提升的复习课，我们都可以通过“点线面”的视角去实施教材的解读.具体就是：如果是一个知识，可以从这个知识点的前、本身、后入手解读；如果是多个知识点，可以从这些知识的相互关联线去解读.当然，从宏观角度更应该从生活与数学、知识层面、能力层面、数学与哲学等综合层面去融会贯通.

3.“数学核心素养”的培养“功夫在诗外”

数学核心素养培养的主阵地在课堂.史宁中教授与王尚志教授等认为数学核心素养主要包括数学抽象、运算能力、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析等几个方面.用一句话概括，就是“用数学眼光观察世界，用数学语言表达世界，用数学思维分析世界.”从上所述可以看出，这些数学核心素养要在透过现象看本质的过程性课堂中开花结果，首先需要在教师对教材的解读与教学的设计上生根发芽.所以说，只要我们把数学教学的“过冬”准备全部做到位，我们就距数学教学的“春天”不会遥远，数学核心素养的培养“功夫在诗外”. Z

*本文是2015年江苏省“十二五”教育科学规划（初中教育专项）课题“初中数学教材‘点全·线联·面融式’课时解读的实践研究”（编号：E-c/2015/26）的阶段性研究成果之一.