非线性能量阱刚度优化计算与振动台试验

刘中坡， 吕西林， 王 栋， 乌建中

(1.同济大学 机械与能源工程学院，上海 201804；2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室, 上海 200092)



非线性能量阱刚度优化计算与振动台试验

刘中坡1， 吕西林2， 王 栋2， 乌建中1

(1.同济大学 机械与能源工程学院，上海 201804；2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室, 上海 200092)

介绍了一种通过几何非线性产生非线性回复力的NES，并对它的宽频控制特性进行了研究。首先通过解析方式求得1∶1共振下频率与能量之间的关系并绘制频率能量图，频率能量图直观的表达了当NES与线性振子连接到一起的时候，其相对于线性振子的振动频率与系统中能量水平有着直接关系。然后，在多自由度振动系统的模态空间中使用解析的方法将NES刚度与线性振子的能量、频率与振型建立起相关的表达式。由表达式得到振动系统在一定能量水平下，NES达到较优控制效果所需要的非线性刚度。根据较优刚度计算方法，设计了NES振动控制试验并进行振动台试验。为了试验NES宽频控制特性，振动台台面输入采用了针对频域测试的Chirp信号，试验过程中通过改变NES的弹簧刚度与增加被控框架质量来改变框架动力学特性的方法以检验NES宽频控制的效果。试验结果表明NES有较好的宽频控制效果，即使其刚度偏离优化值或被控对象动力学特性发生一定改变，NES依然能发挥较好的振动控制作用。

NES；振动控制；振动台试验；非线性振动

振动控制装置被广泛用于航天、汽车、机械与建筑工程中，目前大多数振动控制装置都是基于线性吸振器。随着对非线性振动研究的深入，非线性吸振器由于其宽频控制的特性引起了相关研究者们的广泛关注。ROBERSON等[1]最早提出了采用非线性振子作为吸振器进行振动控制,VAKAKIS等[2]将一个非线性振子与一个线性振子相连接,研究了系统在冲击载荷下1∶1的共振响应，并提出非线性靶向能量传递现象，他将该类刚度近似为立方刚度用于振动控制的非线性振子命名为“非线性能量阱”(Nonlinear Energy Sink，NES)[3]。GOURDON等[4]通过数值方法验证了该现象并指出NES优于传统的线性调频类吸振装置。PANAGOPOULOS等[5]研究了具有多个自由度的线性振动系统与NES振子相连并发生1∶1共振时的共振频率作用范围的问题。GENDELMAN等[6]利用非线性分叉理论对NES的动力学特性进行分析，从而揭示了单自由度主振动系统连接NES后的各个分叉枝，为NES的减振机理研究提供了分析基础；LEE等[7]采用经验模态分解法对动力响应时程进行分解，绘制了频率能量图，这两位研究者的成果为研究NES的振动控制提供了有效的工具。国内学者张也弛等[8-9]对引发最优靶向能量传递的条件与NES的参数优化做了研究；孔宪仁等[10]对两自由度NES在简谐荷载下的力学特性与振动控制效果使用数值方法进行了研究；陈勇等[11]使用数值仿真方法研究了NES在高耸结构振动控制中的应用。本文通过解析方式来对试验用框架在一定外界载荷作用下NES的刚度进行优化计算，求得较优的NES刚度后进行试验验证。在频域中考查NES在较优与偏离优化值的刚度参数下振动控制效果，并通过改变试验框架的质量来改变框架的动力学特性来考查NES的宽频控制效果。

1 NES及其特性

1.1 NES结构与动力方程

NES由非线性回复力装置、质量块和阻尼器构成。在本文中利用线性弹簧，通过构造几何非线性使其提供非线性的回复力，如图1所示。

图1 非线性振子实现方式Fig.1 Structure of nonlinear oscillator

质量块m在平衡位置时由两根刚度相同且等长的弹簧拉住，当弹簧受力沿中垂线移动到平衡位置，可以得到回复力与位移关系的表达式：

(1)

式中:F为沿中垂线方向作用到质量块的力;k为线性弹簧的刚度;un为质量块相对绝对坐标系沿中线垂直方向的位移;l为弹簧被拉伸的长度。使用麦克劳林级数将式(1)展开得到下式：

(2)

式中:l0为弹簧未受拉力下的原始长度，在本文中质量块m处于水平平衡位置的时候弹簧处于不受力的状态l0=l，代入式(2)中得到质量块m回复力近似表达式：

(3)

式中：kn=k/l2，当质量块位移un的绝对值在l长度40%以内时，式(3)的误差在5%以内[12]。

图2 单自由度线性振子与NESFig.2 SDOF linear oscillator and NES

把NES与单自由度线性振子连接到一起，系统的动力学方程为：

(4)

(5)

1.2 NES连接到线性振动系统的动力学特性

NES在与线性系统连接到一起时，对线性系统的振动控制主要是通过与线性振子发生内共振的方式来实现的，内共振形式有：主共振、亚谐波共振和非线性拍振，这些共振形式并不是同时出现，而是随系统能量水平的不同被激发，但其中起主要作用的是主共振[13]。在目前的研究中大多数学者一般通过频率能量图来描述NES的振动控制特性，本文对这种相对于以往非线性振动分析中常用的幅频、相频图较新的工具使用解析的方法进行介绍，并使用频率能量图来描述NES振动控制中起主要作用的1∶1主共振，由此来说明使用NES振动控制的时候，NES振动频率与被控对象能量相关的联系。这里的1∶1主共振指的是式(4)所定义的非线性微分方程在式(6)所定义的初始状态下：

x(-T/4)=u(-T/4)=0

(6)

满足式(7)条件且半周期一致的周期解[13]，其中T为非线性微分方程式(4)周期解的周期值。

(7)

使用复化平均法来求解单自由度线性振子与NES连接到一起时候的1∶1共振[15]，定义复变量：

(8)

由式(8)可以得到使用定义的复变量来表示的NES与线性振子的位移与加速度：

(9)

式中：星号表示复变量的共轭关系。定义的复变量可以使用式(10)进行近似表达：

ψ1(t)=φ1(t)ejωt,ψ2(t)=φ2(t)ejωt

(10)

将式(9)与(10)代入式(5)中可以得到：

(11)

根据复化平均法对式(11)消除快变频率高于ω的项(e2jωt,e3jωt,…)，整理可以得到：

(12)

引入极坐标变换：

φ1=Aejα,φ2=Bjβ

(13)

式中：A与B为实幅值，α与β为实相位，将式(13)代入式(12)之后，两个方程的实部与虚部各自为零，得到4个方程。定义相位α=β与对时间t的微分为0，将4个方程整理得到以下方程组：

(14)

式(14)中的第一个方程组整理并积分可以得到：

A2+εB2=N2

(15)

式中:N为积分常数，式(15)为保守系统中的全部动能。对式(14)第二、三个方程求解可以得到A,B的表达式，将其代入式(13)、(10)与式(9)中的x与u的表达式，根据欧拉公式可以得到：

(16)

根据式(16)可以得到保守系统的势能与频率之间的关系为：

(17)

由式(17)得到的关系式，即可以在FEP图中绘制S11±脊线的曲线。

1.3 频率能量图算例

考虑由式(4)定义并去掉阻尼项的一个保守系统的例子，令参数ε=0.05,C=1,ω∈[0.01～2]，并根据表达式(17)与(16)在Matlab中进行求解，由求解结果绘制NES的频率与能量相关的曲线，如图3所示。

图3 S11±脊线的频率能量图Fig.3 FEP of backbone branch S11±

图4 线性振子与NES的位移时程Fig.4 Displacement time history of linear oscillator and NES

在时程数据中计算u-v，将得到的相对位移时程数据在Matlab中进行小波变换，得到分解的各个振动频率、频率的幅值和时间序列，将这些数据通过时间序列与振动时程中系统总体的能量建立关系，得到图5：图中x轴为系统的动能与势能之和，y轴为小波变换后分解得到的振动频率，z轴为各个分解频率能量。对照图5可以看出各个频率的能量峰值对应系统能量的坐标值与S11+脊线所描述的关系基本一致，可以从图中观察出NES这种宽频振动的特性。由此算例说明FEP图，相对传统的幅频响应图和相频响应图可以更为形象的描述非线性振动中频率变化与系统能量变化的关系。另外图5中分析的结果，使用NES对被控目标特定频率范围的振动进行控制需要根据振动系统的能量水平来设计NES的参数。

图5 小波变换后各个频率幅值与系统振动能量关系Fig.5 Variation of frequency amplitude with the variation of the system’s energy

2 NES刚度优化与仿真计算

2.1 NES刚度优化理论

从上述分析可以得出结论在使用NES进行振动控制时，需要针对线性振子的能量水平来设计NES的参数,文献[8-10,17-19]都有涉及到NES参数优化的内容，在这里对NES的刚度优化推导过程做简要介绍。为了优化单NES对多自由度线性振动系统的振动控制效果，需要建立起线性振子频率、能量与NES刚度之间的联系。除此之外，与其他被动振动控制装置类似，为了获得较好的振动控制效果，还需要结合被控系统的振型设计NES的安装位置。

为了方便进行分析，将式(4)表达的动力学模型转到集中质量多自由度振动系统的模态空间中。定义X=φq，φ为多自由度线性系统的模态振型矩阵，q为模态坐标向量。在本文中关注的是NES对试验对象一阶模态振动的控制，所以通过该式将方程转换到一阶模态空间之中， 如下：

(18)

(19)

得到式(18)经过变换之后的近似表达式：

(20)

使用式(8)与(10)定义的复变量对s,vn进行替换，并使用式(21)定义的多尺度进行展开：

φ1=φ10+εφ11,φ2=φ20+εφ21

(21)

展开之后消除久期项，并使用式(22)定义的极坐标变量替换复变量：

φ10=R1(τ1)eiδ1(τ1)

φ20=R2(τ1)eiδ2(τ1)

(22)

得到方程：

(23)

(24)

得到式(24)，通过该式将被控的线性振子能量水平与NES的参数：质量、刚度与阻尼联系到一起，方便了对NES振动控制性能的研究。将式(24)的第二式两侧对En求偏导，得到E1和En的解析表达式：

(25)

图6 E1与En多重解关系Fig.6 Multiplicity solution between E1 and En

为了简化极值点的表达式，定义以下变量：

(26)

E1极值与对应En的值表达式为：

(27)

(28)

式(27)与式(28)建立关系，求得当满足这个条件时的NES刚度表达式为：

(29)

通过以上推导过程，得到了NES对一定能量水平的线性振子进行较优振动控制所需的刚度，为后面试验设计提供了计算依据。

2.2 基于试验对象的较优刚度参数仿真计算

由于在试验过程中无法直接测得框架顶层的速度，而NES刚度优化计算又与线性振子的速度有关，所以采用数值仿真计算的方法来求得被控框架的速度。仿真计算的对象为试验中使用的小型两层框架，每层高度0.3 m、宽度0.25 m、质量4 kg，立柱为高0.6 m、宽0.15 m、厚1.2 mm的65Mn弹簧钢板。试验过程中使用振动测试系统中常用的Chirp信号对振动台台面进行基于位移的激励，设定信号的幅值2 mm，频率范围1～15 Hz。从振动台控制系统中获取到如图7所示Chirp信号激励下振动台台面实际的位移时程作为计算用的外部激励，使用有限元软件计算得到框架弱轴向的刚度阵和质量阵作为仿真计算用模型的参数，将这些数值带入两自由度线性振子动力学方程并在Matlab中编写方程积分计算的程序，计算程序中动力学微分方程的积分求解使用四阶龙格库塔方法。框架在下的空框架速度时程如图8所示。

图7 Chirp信号Fig.7 Chirp signal

图8 仿真得到框架顶层的速度时程Fig.8 Velocity time history at roof of the frame

3 NES振动控制的振动台试验

3.1 试验对象与设备

试验对象为一个小型二层钢框架，框架详细尺寸信息与2.2节中仿真对象的尺寸一致。经过扫频测试，框架一阶频率为3.8 Hz、二阶频率为10.6 Hz。振动台使用Quanser公司出品的Shake Table Ⅱ型振动台，该设备在全球各大高校振动相关研究课题中被广泛使用，其质量与振动模拟的能力都达到国际标准，是国际上机械、土木工程试验中采用的一种标准小型振动试验装置。振动台与框架的安装状态如图9(a)所示。框架每层安装一个IEPE型加速度计用来记录框架动力反应信息，加速度信号经过信号调理后输入数据采集卡。数据采集设备使用NI公司制造的9125型16位四通道同步采集卡，试验过程中采样频率200 Hz。

NES质量块为一通过直线轴承在光轴上滑动的钢块，钢块两侧使用线性弹簧与框架的顶板连接，结构如图9(b)所示。NES的质量与2.2节中计算取值一致，为130 g。在这里需要指出的是张也驰等[9]与KERSCHEN 等[13]指出NES相对被控结构质量比大于等于5.6%是触发最优靶向能量传递的条件，在试验方案设计的时候考虑到在应用中NES的质量较轻的话利于实施，同时参考了结构振动中线性调频质量阻尼器的质量比设定范围，将其设定为一阶模态质量的2.5%。该质量比虽然不能满足动力学模型中最优的完全能量传递，但在试验中还是发挥了较好的振动控制作用。

图9 振动台、试验框架与NESFig.9 Shake table, steel frame and NES

3.2 试验过程

振动台台面的输入使用本文2.2节介绍过的Chirp信号，起始与截至频率为1～15 Hz，幅值2 mm。在试验中除了验证仿真计算得到NES的弹簧刚度对试验用框架加速度的控制，还改变NES弹簧的刚度试验不同刚度对框架的振动控制效果的影响，所采用的弹簧如表1所示。另外为了考察NES对振动控制的鲁棒性，在试验过程中保持NES参数不变，改变框架的动力特性以考察其控制的宽频特性。由于改变框架的刚度比较难，试验中通过给框架顶板添加附加质量块来改变框架的振动频率。共有4个附加质量块，每块质量为0.4 kg，试验过程中每次递加一个，附加质量块与框架的安装如图10所示。

表1 试验中使用的弹簧

图10 附加质量块Fig.10 Attached mass of the frame

3.3 试验结果

NES弹簧使用表1中编号1的弹簧来近似得到仿真计算中求得的较优刚度216 N/m，无附加质量空框架和NES控制下框架顶层加速度的时程与加速度响应谱对比分别如图11(a)、(b)所示。

图11 框架顶层加速度时程对比Fig.11 Comparison of acceleration time history and acceleration response spectrum

由图11(a)所示框架顶层加速度的时程曲线可以看出：在Chirp信号作用的起始阶段的5～13 s范围内，振动台台面振动的频率接近框架一阶模态频率。在该范围内框架顶层的加速度得到了较好的控制，最大加速度由1.9 g降低至0.79 g。在13 s之后，振动台加载的频率接近框架的二阶频率，框架振动以二阶频率为主。此时从图中加速度时程曲线可以观察到：相对无控状态，NES控制下框架顶层加速度虽然有一定量的削弱但是从加速度减小的比例上不如13 s之前。对两个加速度时程分别计算其均方根，空框架的为0.913，NES控制下的为0.761相对空框架减少17%。

将顶层加速度时程数据进行FFT变换，转到频域范围内进行分析，得到顶层加速度的反应谱如图11(b)所示。从图11(b)中可以观察到一阶频率3.8 Hz下加速的响应谱幅值从0.39减小到0.11，降低了70%。二阶频率10.8 Hz下响应谱的幅值并无变化，这个与刚度优化计算中对一阶模态振动控制的目标是一致的。另外在顶层加速度的时程曲线中，在振动台激励频率接近框架二阶模态频率范围内的时候，NES控制下的顶层加速度相对于无控下的也有减小，这种现象由频域分析的结果可以得出结论：这个阶段NES还是削弱振动中一阶振动的部分。

图12 不同刚度弹簧控制效果对比Fig.12 Comparison of control effect between different stiffness of NES spring

表1中其他不同刚度的弹簧对试验用框架振动控制的频域效果对比如图12所示,从图中结果可以得到：① 当NES使用比优化计算值大50%，刚度为300 N/m的弹簧时，响应谱中一阶模态频率的峰值为0.15 g。与空框架的峰值0.39 g相比还是降低了61%，这个试验工况通过将弹簧刚度偏移优化值，对比空框架的动力响应，说明了NES对振动控制的宽频特性;② 随着刚度的增加，NES对一阶模态的振动控制开始减弱，对二阶模态的振动控制开始加强。这个与刚度优化计算公式中所体现的随着被控频率的增加，需要同时增加NES刚度的关系是一致的。需要指出的是，虽然振动控制的效果在趋向二阶模态振动控制的同时，一阶模态的振动还是在一定程度上被削弱，这体现了NES的宽频振动控制的优点。另外，由于Chirp信号激励的特点，在接近二阶频率时候振动台输入的能量相对一阶频率时候要高，使得试验框架顶板振动的速度值相对较大，同时在NES刚度优化计算中随着被控结构能量水平越高反而需要相对低能量水平时更低的弹簧刚度。这样造成了试验中随着弹簧刚度的增加，刚度越来越趋近较高速度条件下对顶板二阶振动控制所需的较优的NES刚度，试验中出现了对顶板二阶振动控制效果开始明显提升的现象。

图13 附加额外质量的框架顶层加速度时程与响应谱对比Fig.13 Comparison of acceleration time history and acceleration response spectrum of the frame with attached mass

在通过改变试验框架的动力特性来考察NES宽频控制效果试验中，将4个质量块同时附加在框架顶板上的时候，同时保持NES的质量130 g与刚度参数210 N/m不变。对附加质量的框架在无控与NES控制下分别进行试验，外界激励依然使用与之前试验相同的Chirp信号，无控与有控下顶层加速度时程、响应谱对比分别如图13(a)、(b)所示。对图13(a)所示的两个加速度时程分别统计其均方根，无控下为0.507，NES控制下为0.411相对无控下降低了19%。从图13(b)可以观察到：在给框架增加了1.6 kg的附加质量后一阶频率变为2.8 Hz。尽管一阶频率改变较大，但是从响应谱对比可以看出NES对框架的一阶振动还是起到了较好的控制效果，将框架的一阶频率对应的加速度响应谱最大幅值从0.27降至0.15，减少44%。由于附加质量安装在框架的顶部，框架的二阶频率改变并不大仅降低为10 Hz，但是由于附加质量对框架振型的改变，NES对框架的二阶振动也有了一定的控制效果，响应谱幅值从0.23降至0.17，减少26%。除此之外，从框架顶层的加速度时程可以看出，由于附加质量对框架的动力学特性做了较大的改变，顶板的加速度值也低于未附加的。在振动台台面激励不变的前提下，可以判断顶板的速度也低于未附加质量的框架。在该试验工况中，相对刚度优化计算中设定的条件，两方面较为显著的不同：① 框架动力学特性不同；② 优化对象的速度不同。在这两个实际条件显著偏移优化计算设定的参数下，对比空框架与附加质量的框架分别在无控与有控下加速度的时域与频域的对比结果，NES依然对一阶振动有着较好的控制作用，可以说明NES在振动控制中有较高的鲁棒性。

4 结 论

本文对被动式NES进行了研究，使用频率能量图说明了NES与线性振子连接到一起时候的动力学特性，介绍了一种解析的方式将单个NES刚度与多自由度线性振子能量水平、频率、振型建立起关系，并依此关系对刚度进行优化计算的方法。

根据优化计算表达式与试验对象的动力学特征，设计并开展了NES振动控制试验，着重从频域中考查NES的宽频控制特性，从试验结果得到如下结论：

(1) 刚度优化计算公式是有效的，根据精确的参数进行优化计算得到的刚度来设计NES，可以有效控制优化计算中指定的目标模态振动，但是对其他模态振动并无明显的控制作用。由于公式中体现了多自由度线性振子的振型、频率和NES安装位置，优化公式本身并不能体现NES宽频控制的特性。

(2) 对弹簧刚度改变试验结果证明了NES的宽频控制特性，在刚度超出优化计算值50%得时候，对目标模态振动的控制效果还较为明显。这说明，在使用NES时候因其自身刚度参数精确度对控制效果造成负面影响的敏感性并不高，可以减少制作、实施的难度与工作量。

(3) 改变试验框架顶板质量的试验结果同样说明了NES的宽频控制特性与鲁棒性，在被控目标实际动力参数偏移计算参数范围不大的情况下，NES依旧可以发挥振动控制作用。这使NES在类似精密设备机柜、运输载具这类工作中质量常常不能精准确定，而又希望有消振措施的设备中有着良好应用场所。

目前关于非线性能量阱在振动控制中的研究和应用还较少，考虑到其宽频与较为鲁棒的控制特性,这一类结构振动控制设备具有较大的研究与应用空间。

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Stiffness optimization of nonlinear energy sink and shaking table test

LIU Zhongpo1, LÜ Xilin2, WANG Dong2, WU Jianzhong1

(1. School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Nonlinear energy sink (NES) was proposed and its main feature of mitigating vibrations in broad frequency range was explored in this paper. First, the expressions of backbone branch S11± that represent 1∶1 internal resonance was derived through an analytical method. According to the expressions, the frequency-energy plot was obtained. The vibration frequency of the NES that attached to the linear oscillator and the energy levels in the linear oscillator had a direct relationship, which was clearly illustrated in the frequency-energy plot. Then, the formulas defining the relationship between the stiffness of NES and the energy of MDOF linear oscillators were derived in the modal space. So, the optimal solution of NES stiffness could be calculated with regard to the energy level of the target to be controlled. Based on the optimal computations of experimental target, shaking table experiments were designed and conducted to investigate the performance of NES vibration mitigation. To validate the wide frequency vibration controlling attributes of NES, a set of springs with different stiffness were employed and dynamic properties of the experimental frame were modified in the tests. Experimental results demonstrate that NES has broad frequency band vibration controlling feature. It works well even its stiffness deviate from the optimal value or there are some differences between the real and the designed dynamic parameters of experimental targets.

nonlinear energy sink(NES); vibration control; shaking table experiment; nonlinear vibration

国家自然科学基金重大研究计划重点国际合作项目(51261120377);国家自然科学基金重大研究计划集成项目(91315301-4)

2015-10-28 修改稿收到日期：2016-02-28

刘中坡 男，博士生，1980年生

吕西林 男，教授，博士生导师，1955年生

E-mail：lxlst@tongji.edu.cn

TB123；TU317.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.013