平行轴齿轮传动系统动力学建模的有限单元法

常乐浩, 贺朝霞, 刘 更

(1.长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室，西安 710064;2.西北工业大学 陕西省机电传动与控制工程实验室，西安 710072)



平行轴齿轮传动系统动力学建模的有限单元法

常乐浩1, 贺朝霞1, 刘 更2

(1.长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室，西安 710064;2.西北工业大学 陕西省机电传动与控制工程实验室，西安 710072)

为了能获取更为准确的轴承响应以预测齿轮箱体噪声，提出了适用于平行轴外啮合圆柱齿轮-轴-轴承-箱体系统动力学建模的有限单元法。该方法将连续分布的齿轮系统离散为轴段单元、啮合单元和轴承-基础单元，通过建立模块化的单元运动方程，根据单元连接关系生成矩阵组装规则，实现系统整体动力学模型的自动建立。模型中考虑了轴段剪切效应的影响，推导了齿轮副在不同旋向和转向时的弯-扭-轴-摆全自由度耦合振动方程，提出了箱体柔性对转子系统振动耦合作用的计入方法。以一对单级斜齿轮传动为例，通过与已有实验数据的对比验证了此方法的有效性。结果表明，采用有限元法计算齿轮副和轴承响应比常规集中质量法具有更高的求解精度。利用此方法编写了规范化程序，为工程中处理多级复杂平行轴齿轮系统的振动和噪声问题提供了有效手段。

有限元法；齿轮；轴承；耦合振动；啮合刚度

齿轮装置的振动和噪声问题一直是机械行业研究的焦点之一。目前国内外已有许多学者对齿轮系统振动进行了大量的研究，其中应用最广泛的模型为齿轮啮合副动力学模型[1-3]。这类模型侧重于分析齿轮副的响应，一般将齿轮、轴和轴承视为一体，以简单的弯曲和扭转刚度代替弹性轴段之间的复杂耦合作用。由于未对轴段和轴承进行单独建模，这类模型在求解齿轮啮合动载荷时具有一定精度，但却无法准确计算轴系和轴承的响应。而另一方面，轴承振动与箱体振动之间也存在着相互牵制，对箱体自鸣噪声产生影响[4]。因此，建立齿轮-轴-轴承-箱体系统的耦合动力学模型来获取更为准确的轴承响应，对更好地预测系统的振动噪声具有重要意义。

NERIYA等[5]较早地将有限元理论引入齿轮转子系统动力学的研究中，将弹性轴等效为离散的刚度和质量矩阵，建立了包含定值啮合刚度的线性模型。ÖZGÜVEN等[6-7]在此基础上建立了齿轮-轴-轴承系统的动力学模型来研究齿轮和轴承处的响应。KUBUR等[8]建立了具有N根轴N-1个啮合副的齿轮系统动力学模型，发现轴段长度对轴承动载荷有很大影响。蒋庆磊等[9]和崔亚辉等[10]分别建立了单级和和两级分支-汇流齿轮系统的有限元动力学模型。陈小安等[11]建立了单级斜齿轮-轴承-转子的三维有限元模型，通过动态接触分析计算了系统的非线性动力学响应，但这种方法计算时间较长，难以推广应用于复杂齿轮系统。ZHU等[12]基于子结构法，建立了考虑箱体支撑影响的行星齿轮系统动力学模型。上述研究在不同程度上给出了齿轮副和转子耦合振动的动态特性，但对多平行轴复杂齿轮-转子-箱体系统的通用动力学建模方法缺乏总结性的研究。

本文借鉴有限元法原理，提出了一种适用于多平行轴外啮合圆柱齿轮-轴-轴承-箱体系统的耦合动力学通用建模方法，给出了规范化的建模过程。该模型考虑了轴段弹性、啮合刚度、齿轮误差和箱体柔性等因素的影响。利用此方法能够方便地实现不同传动级数、不同齿轮类型和不同构型齿轮传动系统动力学模型的自动建立，可有效减少重复建模并提高分析效率。

1 齿轮系统有限元模型划分

实际齿轮装置是一个质量连续分布的弹性系统，具有无穷多个自由度。典型的齿轮转子系统通常由齿轮、弹性轴段和轴承三类部件组成。首先沿轴线把转子系统按三类部件离散为一系列节点并组成不同类型单元，通过各单元受力分析建立单元运动方程。然后利用有限元法的思想将各单元矩阵进行组装，可得到以各节点位移为广义坐标的系统整体运动方程。这样一个连续分布齿轮系统的振动问题，就可以化为有限个自由度系统的振动问题。

图1为齿轮转子系统离散节点示意图。这些节点主要包含以下几种类型：

图1 单根齿轮转子的离散化Fig.1 Division of single gear rotor

(1) 轴节点：通常选取在轴的端点、轴截面尺寸有突变处、齿轮齿宽端点处、功率输入和输出点；

(2) 齿轮节点：选取在齿轮齿宽中点处；

(3) 轴承节点：选取在轴承宽度中点处。

齿轮节点和轴承节点可以认为是特殊的轴节点。

将各轴分别进行节点离散，并按照轴的顺序依次记录节点位置和编号。根据各节点间的物理连接关系形成系统有限元模型。图2为某单级齿轮转子系统的有限元模型。其中包含的单元类型有三种：

(1) 轴段单元：位于同一根轴上两相邻节点形成的单元。由图2可知，轴段单元有轴节点-轴节点、轴节点-齿轮节点和轴节点-轴承节点三种组合形式。

(2) 啮合单元：一对齿轮副中两啮合齿轮节点之间形成的单元。

(3) 轴承-基础单元：轴承节点与基础之间形成的单元。

啮合单元、轴承-基础单元分别在齿轮节点和轴承节点与轴段单元实现物理连接和受力耦合。

图2 单级齿轮转子系统有限单元模型Fig.2 Finite element model of a single-stage gear-rotor system

按照以上规则划分时，轴节点个数较少，仅能保证基本运算需要，在实际处理时可根据计算时间和计算精度需求，适当增加轴段节点数，划分更为详细的轴段单元。

2 各单元动力学模型

2.1 轴段单元

图3为一弹性轴段单元示意图，其受力状态可借助于空间梁单元理论进行分析。工程中最常用的经典梁单元是Euler-Bernoulli梁单元，由于忽略了剪切变形的作用，仅适用于轴段直径d远小于宽度B时。而实际齿轮系统中有许多轴段宽径比(B/d)较小，剪切变形不能忽略，采用经典Euler梁单元势必造成较大误差。剪切变形的计入可采用Timoshenko梁单元相关理论。

图3 轴段单元坐标系定义Fig.3 Coordinate system of shaft element

假设轴段两节点的广义坐标为qs={x1,y1,z1,θx1,θy1,θz1,x2,y2,z2,θx2,θy2,θz2}，其中：xi,yi,zi(i=1,2)分别为节点i沿局部坐标方向的位移，θxi,θyi,θzi(i=1, 2)分别为节点i处截面绕3个坐标轴的转角。利用弹性力学相关理论，可得到该轴段单元对应的Timoshenko梁单元12×12阶的单元刚度矩阵Ks和一致质量矩阵Ms。由于篇幅限制，各矩阵的详细形式可参见文献[13]。轴段单元的阻尼矩阵Cs可用工程中常用的Rayleigh阻尼计算得到：

Cs=α0Ms+α1Ks

(1)

式中:α0、α1是Rayleigh阻尼比例系数。

轴段单元的运动微分方程为：

(2)

2.2 啮合单元

圆柱齿轮分为直齿轮、斜齿轮和人字齿轮三种类型。由于直齿轮可以看作螺旋角为0的斜齿轮，而人字齿轮副可以看作是两个螺旋线方向相反的斜齿轮组成，为了不失一般性，此处以一对斜齿轮副为例分析啮合单元的受力情况。

图4为主动轮左旋且逆时针旋转时斜齿轮副全自由度动力学模型。将图4中各齿轮振动位移向啮合线方向投影，可得到齿轮副之间沿啮合线的相对总变形为：

δ=Vqm-em

(3)

式中，qm={xp,yp,zp,θxp,θyp,θzp,xg,yg,zg,θxg,θyg,θzg}T，表示啮合单元节点的位移列向量；em为齿轮副法向综合啮合误差；V为各方向位移向啮合线方向转化的投影向量，可用下式表示：

V=[cosβbsinφ,±cosβbcosφ,∓sinβb,

rpsinβbsinφ,±rpsinβbcosφ,±rpcosβb,

-cosβbsinφ,∓cosβbcosφ,±sinβb,

rgsinβbsinφ,±rgsinβbcosφ,±rgcosβb]

(4)

式中:rp，rg分别为主、从动轮的基圆半径；βb为基圆螺旋角，规定各齿轮右旋时取正值，左旋时取负值；φ定义为端面啮合线与y轴正向的夹角。

图4 斜齿轮副全自由度动力学模型Fig.4 Fully coupled dynamic model of a helical gear pair

由于啮合面的方向随着主动轮的转向变化而改变，所以会导致式(4)各元素前的正负号产生变化，其中上半部分对应于主动轮逆时针旋转时，下半部分对应于主动轮顺时针旋转时。主动轮转向变化同时会影响夹角φ的取值：

φ=α∓φ

(5)

式中:α为齿轮副啮合角，φ为主动轮至从动轮中心连线矢量与坐标系x轴的夹角，即安装相位角。

根据牛顿第二定律，可得该啮合单元的运动微分方程为：

(6)

式中:mi(i=p, g)为主、从动齿轮质量；Ixi,Iyi,Izi(i=p, g)分别为主、从动轮绕x,y,z轴的转动惯量；km为法向综合啮合刚度；cm为啮合阻尼，可用式(7)计算：

(7)

将式(3)代入式(6)，并整理成矩阵形式可得啮合单元的运动微分方程组：

(8)

将式(8)移项后可得啮合单元运动方程矩阵形式：

(9)

式中，Fe为啮合单元内部由误差产生的激振力向量。

通过研究式(3)和式(6)，可得式(9)中各矩阵及向量的简便计算形式为：

Km=kmVTV

(10)

Cm=cmVTV

(11)

Mm=diag{mp,mp,mp,Ixp,Iyp,Izp,

mg,mg,mg,Ixg,Iyg,Izg}

(12)

(13)

2.3 轴承-基础单元

根据箱体的刚性情况，轴承-基础单元分为以下两种类型：

(1) 箱体刚性较大时

此时轴承-基础单元可认为是轴承节点直接通过轴承刚度与基础直接连接在一起，如图5所示。

图5 箱体刚性较大时轴承-基础单元动力学模型Fig.5 Dynamic model of bearing-base element with rigid housing

实际工作中轴承在各自由度位移之间均存在着耦合关系，通用轴承刚度矩阵Kb可用式(14)表示。由于多数耦合项较小，在计算时可仅保留主要刚度项。如当轴承为滚动轴承时，常仅保留kxx,kyy,kzz三项，其中kxx,kyy均为径向刚度，kzz为轴向刚度；当轴承为滑动轴承时，常仅保留kxx,kxy,kyx,kyy四项，该四项为滑动轴承的刚度系数。轴承单元的阻尼矩阵Cb结构形式与刚度矩阵Kb相同。

(14)

若此轴承对应轴节点的编号为si，则轴承-基础单元的运动微分方程为：

(15)

式中，qsi为轴节点si在6个方向的位移列向量。

(2) 箱体刚性较差时

此时需要考虑箱体柔性对齿轮转子系统响应的耦合作用，将轴承-基础单元由两部分组成，即轴承-箱体单元和箱体-基础单元，如图6所示。轴承-箱体单元中轴承节点与箱体节点通过轴承刚度相连，如图6(a)所示。箱体-基础单元为包含多个箱体等效节点的超单元，其刚度矩阵可通过子结构法获得。图6(b)给出的为包含四个轴承的箱体单元示意图。为了能与整体动力学模型中的轴承节点相匹配，在箱体有限元模型中各轴承中心处分别建立一节点，如图7所示。将这些节点分别与相应轴承座圆环面上的节点之间通过刚性梁单元建立变形耦合关系。箱体在底座及各螺栓处施加位移全约束。将所有轴承中心节点定义为一个超单元并施加主自由度，通过内部自由度的凝聚得到该超单元质量矩阵和刚度矩阵。根据子结构理论可知，这两个矩阵综合反映了箱体在各轴承处的支撑效果，同时还包含了各轴承之间的相互作用，即为箱体等效质量矩阵Mh和等效刚度矩阵Kh。箱体等效阻尼矩阵Ch可利用Rayleigh阻尼转换得到。

图6 箱体刚性较差时轴承-基础单元动力学模型Fig.6 Dynamic model of bearing-base element with flexible housing

图7 箱体等效刚度矩阵和质量矩阵的提取Fig.7 Extraction of stiffness and mass matrices of gearbox

通过对图6(a)的模型进行受力分析，可得第i个轴承-箱体单元的运动微分方程为：

(16)

式中，qhi为箱体第i个等效节点的位移列向量。

通过对图6(b)的模型进行受力分析，可得箱体-基础单元的运动微分方程为：

(17)

3 系统整体动力学模型与分析

建立各单元相应的矩阵和载荷向量后，就可以组装系统整体刚度、质量、阻尼矩阵和节点载荷向量。系统整体矩阵组装过程与常规结构力学分析中有限元整体刚度矩阵的组装过程完全相同，即根据各单元节点局部编号与系统节点整体编号的对应关系，依次将单元矩阵的子矩阵按照自由度位置叠加到整体矩阵相应的位置即可[14]。对于含有2根轴、4个轴承和箱体的单级齿轮传动，其整体刚度矩阵组成如图8所示。当图中某节点所在方块由两种阴影组成时，表明该节点为某两类单元的耦合节点，该节点自由度元素为两不同类型单元子矩阵的代数叠加。若箱体刚性较大，则箱体自由度所在的行与列均可划去。由于各单元局部坐标系与整体坐标系方向相同，所以各单元矩阵向整体矩阵组装时不需要进行坐标转换。

系统整体的运动微分方程可写为：

(18)

式中:X(t)为所有节点位移列向量；M、C、K(t)分别为系统整体质量、阻尼和刚度矩阵；P0为系统外载荷向量，Fe为由误差引起的激振力。

根据此流程建模并编写规范化的计算程序后，只需按规定格式输入系统基本信息后，即可自动生成系统动力学模型。这种方法能够适用于多级、分支、并车等复杂齿轮传动系统动力学建模，有效减少了重复建模，可大大提高分析效率。

图8 整体刚度矩阵的组成示意图Fig.8 Schematic diagram of overall stiffness matrix

系统动力学方程式(18)中K(t)、Fexc(t)均为时间的周期函数，表达了一个参数自激系统。此参变微分方程组需要借助数值积分方法求解。Newmark积分算法作为直接积分法的一种，当选取的控制参数满足一定关系时，该方法是无条件稳定的，同时时间步长的大小不影响解的稳定性。另外对于多自由度系统，Newmark积分法的计算效率相对于Runge-Kutta法要大为提高。

求得系统各自由度的动态位移后，沿啮合线方向的动态传递误差DTE(Dynamic Transmission Error)为：

DTE=Vqm

(19)

齿轮副法向啮合动载荷Fd为：

(20)

轴承动载荷Fb的计算式为：

(21)

式中:qb为轴承各自由度的振动位移向量。

4 计算模型验证

以Kubur在2004年完成的单级齿轮系统动态响应实验为依据，验证本文动力学模型的有效性。该实验台为美国俄亥俄州立大学齿轮实验室在20世纪90年代建立的一套相对较为完备的实验装置，已被应用于研究直齿轮系统的响应幅值跳跃、参数共振及混沌响应等非线性动力学行为[15]以及研究修形和重合度[16]的影响。详细的实验装置组成、测试方法及数据处理过程可参考文献[15]的描述。系统由两个参数相同的斜齿轮组成，轴承采用滚动轴承且刚性固定在支架上，主要参数见表1。系统有限元模型简图如图9所示，共划分36个节点，34个轴段单元，1个啮合单元和4个轴承-基础单元，共216个自由度。

表1 实验齿轮系统主要参数

图9 实验齿轮系统模型(mm)Fig.9 Model of the experimental gear system(mm)

利用作者在文献[17]的方法进行齿轮承载接触分析，得到啮合刚度和综合啮合误差如图10所示。另外为了与传统集中质量法进行对比，将齿轮、轴和轴承视为一体，建立系统的集中质量动力学模型，啮合刚度、综合误差和轴承参数不变。本文计算方法、集中质量法与实验测量的DTE均方根随转速变化的历程对比如图11所示，其中转速每隔50 r/min计算一次，计算的DTE均方根去除了均值部分，只考虑其波动部分。

从图11中可以看出，采用有限元法计算的系统共振转速(3 400 r/min)与实验测量的共振转速(3 500 r/min)非常接近，二者仅相差100 r/min，且动态传递误差曲线形状与实验结果基本吻合。而当采用集中质量法时，计算的主共振转速(3 200 r/min)要低于实验和有限元法计算的数值。这是因为集中质量模型将轴段的质量集中在齿轮副节点，而有限元法中轴段质量分布于整根轴，但两种方法中啮合刚度是相同的，所以导致集中质量模型对应的固有频率略低于有限元模型，从而使共振转速降低。另外，采用有限元法计算的在共振转速时的DTE数值为1.68 μm，与实验数值1.70 μm仅相差1.2%，而集中质量法的数值为1.99 μm，与实验数值相差17.1%。这是由于有限元法考虑了弹性轴段的影响，对齿轮副的振动具有一定的缓冲和阻碍作用，这与Kubur在文献[8]中的分析结论一致。

图10 齿轮副啮合刚度和综合误差Fig.10 Mesh stiffness and integrated error of the gear pair

图11 齿轮副动态传递误差随转速变化Fig.11 Dynamic transmission error of the gear pair

采用有限元法与集中质量法计算的轴承1和轴承2的动载荷波动量随转速的变化历程对比如图12所示。集中质量法建模时将每根轴上的两个轴承同时等效到齿轮处，所以只能得到两轴承力的合力。从图12中能够看出，两种方法计算的轴承动载荷存在与DTE相同的主共振转速，但轴承动载荷的各次谐波共振成分更为明显。集中质量法在高次谐波共振时的轴承载荷要大于有限元法。另外，由于齿轮两侧至两轴承的轴段直径并不相等，所以两轴承的动载荷并不完全相等。可见，轴段的弹性直接影响到系统的振动传递和轴承处的响应。当齿轮两侧轴段直径差距增大时，两轴承动载荷的差距将更加明显。而集中质量法忽略了轴段弹性的影响，无法体现出此种差别。

图12 有限元法与集中质量法轴承动载荷对比Fig.12 Comparison of dynamic bearing forces using finite element method and lumped mass method

5 结 论

(1) 本文基于有限元法的思想，提出了平行轴外啮合圆柱齿轮-轴-轴承-箱体系统的耦合动力学通用建模方法。通过规范化的建模过程并编写计算程序，可适用于各种齿轮类型(直齿/斜齿/人字齿)和多种构型(单支/分流/汇流)齿轮传动系统动力学自动化建模。

(2) 提出了齿轮副在不同旋向和转向时的弯曲-扭转-轴向-摆动全自由度的耦合振动模型，考虑了箱体柔性对齿轮系统振动耦合作用。通过引入投影向量，总结了啮合单元各类矩阵和误差激振力的快速计算形式。

(3) 通过与已有实验数据的对比，证明了在预测齿轮及轴承动态响应时，采用有限元方法比常用的集中质量法具有更高的求解精度。

该模型和方法在处理复杂齿轮转子系统的振动问题时具有较好的通用性和应用价值，能有效提高分析效率和计算精度。

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Dynamic modeling of parallel shaft gear transmissions using finite element method

CHANG Lehao1, HE Zhaoxia1, LIU Geng2

(1. Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of Ministry of Education, Chang’an Univeristy, Xi’an 10064, China;2. Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

In order to obtain more accurate bearing responses to predict the noise of gearbox, a comprehensive fully coupled dynamic model of a parallel-shaft external cylindrical gear-shaft-bearing-case system was proposed. The continuous gear system was divided into discrete shaft element, mesh element, and bearing-base element. The modularized equations of motion for each element were built, and the dynamic model of the system was automatically created according to the relationship between different elements. The shear deformation effect of the shaft element was considered in the model. The dynamic equations with all degrees of freedom coupled (transverse-rotational-axial-pendular) were given as well. The effect of different gear hand direction and rotating direction were considered. Then the coupling vibration between the gear rotor system and the case was also introduced in the analysis. A single-stage helical gear pair was taken as an example to validate the proposed method by comparing the predicted data with the experimental ones. The results show that the finite element method has higher precision than the common lumped mass method to predict the dynamic response for both gears and bearings. A standardized program for the proposed method has been created, which can provide an effective means to predict the vibration and noise of multi-stage complex parallel shaft gear transmissions in engineering practice.

finite element method; gear; bearing; coupled vibration; mesh stiffness

国家青年自然科学基金(51535009;51205029);陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2015JQ5162)

2015-07-28 修改稿收到日期：2015-11-19

常乐浩 男，博士，讲师，1987年1月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.008