三自由度碰撞振动系统Poincaré映射叉式分岔的反控制

伍 新, 徐慧东, 文桂林, 魏克湘

(1.湖南工程学院 机械工程学院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大学 特种装备先进设计与仿真教育部重点实验室，长沙 410082；3.太原理工大学 力学学院，太原 030024)



三自由度碰撞振动系统Poincaré映射叉式分岔的反控制

伍 新1,2, 徐慧东3, 文桂林2, 魏克湘1

(1.湖南工程学院 机械工程学院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大学 特种装备先进设计与仿真教育部重点实验室，长沙 410082；3.太原理工大学 力学学院，太原 030024)

考虑到碰撞振动系统的Poincaré映射的隐式特点，在不改变原碰撞系统平衡解结构的前提下，采用线性反馈控制方法研究了一类三自由度含间隙双面碰撞振动系统Poincaré映射的叉式分岔的反控制问题。首先，建立闭环控制系统的六维Poincaré映射，针对由特征值特性描述的传统叉式分岔临界准则在六维的高维映射中只能通过数值试算来确定控制增益的困难，利用不直接依赖于特征值计算的显式临界准则获得了系统出现叉式分岔的控制参数区域。然后应用中心流形-范式方法进一步分析叉式分岔解的稳定性。最终数值仿真验证了在任意指定的系统参数点通过控制能实现稳定的叉式分岔解。

叉式分岔；分岔反控制；稳定性；碰撞振动系统

碰撞振动在机械工程领域普遍存在，对碰撞振动系统复杂动力学行为的研究目前已成为非线性动力学研究中最为活跃的分支，研究的重点也由单参数的低维单自由度系统转向多参数的高维多自由度系统。SHAW等[1]使用现代动力学的理论方法来研究具有简谐激励力作用下单侧约束的刚性碰撞的振子系统，采用中心流形-范式降维理论分析了碰撞周期运动的分岔行为。HOLMES[2]证明了弹跳小球力学模型动力系统的周期运动存在一个倍化分岔的序列，并且在满足某些条件时会存在Smale马蹄。NORDMARK[3]引入局部不连续映射的概念详细地分析了碰撞振子的擦边分岔，并揭示了由擦边分岔进入混沌的新途径。BUREAU等[4]使用一种基于控制的延续算法来实验研究一类电磁式作动器控制下的碰撞振动系统分岔时，建议了三种不同的方法来确定平衡点的稳定性，结果表明所建议的方法能很好的确定稳定的平衡点并在一定条件下可以通过有限时间的Lyapunov指数来确定不稳定的不动点。金栋平等[5]从理论上对Hertz接触模型柔性梁的振碰响应进行了研究并做了相应的实验验证。LUO等[6]研究了一类两自由度碰撞振动系统周期运动的擦边和滑动等非光滑分岔行为并揭示了各种光滑和非光滑分岔之间的转迁现象以及出现的各种吸引子跨越的丰富动力学行为。DING等[7]研究了一类三自由度碰撞振动系统的双Neimark-Sacker复杂余维二分岔并揭示了由环面倍化通往混沌的新途径。盛冬平等[8]通过考虑齿轮传动系统中的各种非线性因素，建立了多间隙弯扭耦合非线性齿轮振动模型，采用数值积分方法研究了圆柱齿轮的弯扭振动特性随转速、支承间隙、齿侧间隙以及啮合阻尼系数等参数的分岔特性。金俐等[9]构建局部复合映射研究了刚性约束系统的李雅普诺夫指数，得到了区分系统周期运动及混沌的判定指标。YUE等[10]基于中心流形-范式方法研究了一类具有对称刚性约束的三自由度碰撞振动系统周期运动的Neimark-Sacker-Pitchfork的余维二分岔行为。

与传统的分岔控制不同，分岔反控制是在预先指定的系统参数点通过控制主动设计出具有所期望特性的分岔。CHEN等[11]通过发展一种washout-filter反馈控制器最早研究了连续系统的Hopf分岔反控制问题。随后，ALONSO等[12]通过实验对一类欠驱动钟摆机械系统的Hopf分岔进行了反控制研究。刘素华等[13]采用非线性和线性状态反馈控制方法对一类四维Qi系统零平衡点的Hopf分岔进行了反控制研究。WANG等[14]基于Hopf分岔理论和中心流形方法对一类改进的洛伦兹系统的Hopf分岔以及分岔后极限环的振幅进行了控制研究。魏周超等[15]通过一种非线性控制方法实现了一类混沌系统在两个稳定结点共存情况下Hopf分岔的反控制。以上这些作者都是基于经典的分岔准则来实现分岔的反控制，对于维数较低的控制系统，其线性化矩阵的特征值具有解析的表达式，这样基于由特征值特性来描述的经典分岔准则比较容易确定控制增益，但对于高于四维的控制系统，其线性化矩阵的特征值无法解析表示，若仍然基于经典的分岔准则就只能通过逐点取值去检验在某个参数点分岔的存在性来获得控制增益，这显然具有一定的局限性。

本文以一类双面碰撞的三自由度高维碰撞振动系统为研究对象，针对传统的映射叉式分岔临界准则在高维系统反控制过程中存在的局限性，使用不直接依赖于特征值计算的显式临界准则通过线性反馈控制方法实现了碰撞系统的叉式分岔。然后，应用中心流形-范式方法进一步分析了叉式分岔解的稳定性。最后，通过选取适当的控制增益，数值实现了系统稳定的叉式分岔解。

1 碰撞振动系统及其周期运动

图1是一个含间隙的三自由度双面碰撞振动系统的力学模型。质量为M1，M2，M3的质块分别由阻尼系数为C1，C2,C3的线性阻尼器和刚度为K1，K2，K3的线性弹簧联接于支承，在简谐激振力Pisin(ΩT+τ)的作用下每个质块只作水平方向的运动(i=1,2,3)。当质块M2的振幅较小而未与刚性约束A(或C)接触时，系统作简单的线性振动。当M2的振幅增加到与刚性约束A(或C)发生接触碰撞时，系统作非线性的碰撞振动。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞过程由碰撞恢复系数R确定。

图1 三自由度含间隙双面碰撞振动系统的力学模型Fig.1 The model of three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearances and doubling piece rigid constraint

未碰撞阶段，系统的运动微分方程为[16]

(1)

碰撞时刻, 质块m2的冲击方程为

(2)

这里的式(1)和(2)是无量纲变换后的动力学方程，“·”表示对无量纲时间t求导数。

设式(1)和(2)的碰撞周期运动满足如下条件：

x2(π/ω)=-x2(0),x2(0)=δ

(3)

(4)

2 碰撞振动控制系统及其Poincaré映射

对式(1)和(2)加线性反馈后的控制系统为

kx+v(x-xp)=psin(ωt+τ)

(5)

(6)

通过适当的变换，可以得到式(5)的通解为

(7)

(8)

(9)

(10)

3 碰撞振动控制系统Poincaré映射叉式分岔反控制

3.1 受控碰撞振动系统Poincaré映射发生叉式分岔的显式临界准则

为了通过线性反馈控制方法来主动实现碰撞振动系统周期运动的叉式分岔，主要任务是通过确定系统的控制增益向量ε=(k1,k2)在指定的原系统参数点来产生碰撞周期运动的叉式分岔。由式(10)可知受控系统的Poincaré映射是一个六维的高维映射，相应的6×6维的雅克比矩阵的特征值无解析表达式，若使用传统的叉式分岔临界准则，只能在参数空间内通过逐点取值来验算系统的特征值是否满足分岔的临界准则进而来获取控制增益，显然这种数值搜寻的方法在确定控制增益参数时具有一定的局限性，而且非常耗时。因此为了克服传统分岔临界准则的这种局限性，本文采用不直接依赖于特征值计算的叉式分岔的显式临界条件来获得控制参数。

Pμ(λ)=λ6+a1λ5+a2λ4+

a3λ3+a4λ2+a5λ+a6

(11)

这里ai=ai(μ,ε)是与控制参数ε和分岔参数μ有关的实数，i=1,…,6。

结合特征多项式(11)的系数，给出映射式(10)产生叉式分岔的显式临界准则如下：

引理1[17]对于映射式(10)，当且仅当特征多项式(11)的系数满足下列条件(G1)和( G2)时，

(G1) 特征值分布条件：

1+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0

(12a)

1-a1+a2-a3+a4-a5+a6>0

(12b)

(12e)

(12f)

(12g)

(12h)

(G2) 横截条件：

(13)

在μ=μ0处映射式(10)会发生叉式分岔。

其中(G1)中的条件式(12a)保证有一个实特征值+1，条件式(12b)～(12h)保证其它的特征值都位于单位圆内；条件(G2)保证+1特征值随参数变化穿越单位圆时的速度不为零。

3.2 受控碰撞振动系统叉式分岔的存在性

选取系统的一组参数为：m2=0.5,m3=1.6,k2=2.5,k3=1.6,f10=0,f20=1,f30=0,δ=0.1,γ=0.01，R=0.7, 以ω为分岔参数(即μ=ω)。在指定的系统分岔参数点μ=μ0=1.5处，原碰撞系统处于稳定的周期运动(即对应Poincaré映射上的不动点)，如图2所示。

图2 Poincaré映射上的不动点Fig.2 The fixed point on the Poincaré map

图3 控制参数分岔图Fig.3 Control parameter bifurcation diagram

3.3 碰撞振动系统叉式分岔解的稳定性

受控的碰撞系统式(5)和(6)叉式分岔解的稳定性取决于映射式(10)的非线性项。本文中使用投影法[18]来分析分岔解的稳定性。

首先，取坐标变换

(14)

映射式(10)经过坐标变换式(14)变换成

(15)

变量变换后的新映射式(15)的不动点和分岔点都为原点。将映射式(15)在Yk=0处级数展开有

(16)

设q是A对应特征值λ(0)=1的特征向量，p是伴随矩阵AT对应特征值λ(0)=1的特征向量，有下面关系式

Aq=λ(0)q，ATp=λ(0)p

(17)

其中的〈p,q〉=1满足标准化形式。

式(16)中二次项Q(Yk,Yk)和三次项C(Yk,Yk,Yk)具有如下的一般形式

这样，映射式(10)发生叉式分岔后解的稳定性可以由下面的引理2来确定。

〈p,Q(q,q)〉q))〉

(18)

基于中心流形-范式方法，计算式(18)得到

σ(0)=-1.239 4<0

因此，根据引理2可判断原系统通过控制能实现超临界的叉式分岔并产生相应的稳定分岔解。

3.4 数值实验

在确定控制参数临界点ε0后，在指定的系统分岔参数点μ=μ0的小邻域内，取μ=μ0+0.001时，系统对称周期运动(Poincaré映射的对称不动点)失稳经叉式分岔产生一个非对称的周期运动(Poincaré映射的非对称不动点)，如图4所示。为了体现通过控制实现的叉式分岔的效果，图4中的Poincaré映射相图是将正负扰动下的相图放在一起得到的。

图4 通过控制实现的由对称不动点到非对称不动点的叉式分岔现象Fig.4 Pitchfork bifurcation from symmetric fixed point to asymmetric fixed points obtained by control

4 结 论

针对传统的映射叉式分岔临界准则在高维系统中确定临界控制增益的局限性，利用显式的叉式分岔临界准则获得了一类三自由度含间隙高维碰撞系统产生叉式分岔的两参数控制参数区域，此控制区域具有较大的分岔可行域范围，比较容易实现鲁棒性强的分岔反控制。数值实验在指定的参数点实现了此碰撞振动系统稳定的叉式分岔解。

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Anti-controlling pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system

WU Xin1,2, XU Huidong3, WEN Guilin2, WEI Kexiang1

(1. School of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China;2. Key Laboratory of Advanced Design and Simulation Techniques for Special Equipment of Education Ministry, Hunan University, Changsha 410082, China;3. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

In the premise of not changing periodic solutions of the original system and with considering the difficulties that are given by the implicit Poincaré map of the vibro-impact system, anti-control of Pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system was studied by using the linear feedback control method. Firstly, the six-dimensional Poincaré map of a close-loop system was established. To overcome the difficulty that the numerical computing method can only be used to determine control gains on the basis of the classical critical criteria of Pitchfork bifurcation described by the properties of eigenvalues in the six-dimensional map, an explicit pitchfork critical criterion without using eigenvalues was used to obtain the controlling parameters area of two parameters. Then, the stability of the pitchfork bifurcation was further analyzed by utilizing the center manifold and normal formal theory. Finally, the numerical experiments verify that the stable pitchfork bifurcation solutions can be generated at arbitrary specified parameters.

pitchfork bifurcation; anti-controlling bifurcation; stability; vibro-impact system

国家杰出青年科学基金项目(11225212)；国家自然科学基金项目(11472103);湖南省自然科学基金项目(2016JJ4027；14JJ5006)；湖南省高校科技创新团队支持计划资助(湘教通〔2014〕207号)

2015-12-28 修改稿收到日期：2016-03-04

伍新 男，博士，讲师，1976年生

文桂林 男，博士，教授，1970年生

O313；TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.004