二次函数常见考点探究

张　玲

二次函数常见考点探究

张玲

二次函数是中考的重点考查内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查.下面就对2015年中考试卷选择题和填空题中出现的有关二次函数的几类考点加以说明.

考点一二次函数的概念

例1（2015·兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）.

A.y=3x+1B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1D.

【解析】二次函数，是指形如y=ax2+bx+c的函数，其中a，b，c都是常数，且a≠0.

A项是一次函数，B项必须要求a≠0，C项正确，D项错误，因为二次函数必须是整式函数.

【点评】本题考查二次函数概念，要紧扣概念形式和牢记限定条件，同时注意二次函数解析式两边都是整式.

考点二二次函数的图像和性质

例2（2015·泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图像时，列出了下面的表格：

x…-2-1012…y…-11-21-2-5…

由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）.

A.-11B.-2C.1D.-5

【解析】本题主要考查二次函数的图像对称性，根据关于对称轴对称的自变量所对应的函数值相等可以得到答案.

根据二次函数图像的对称性，初步判断点（-1，-2），（0，1），（1，-2）在函数图像上，把三个点坐标代入y=ax2+bx+c得到关于a，b，c的三元一次方程组，解得函数解析式为y=-3x2+1，当x=2时y=-11，所以选D项.

【点评】利用函数图像关于对称轴对称是解题关键，同时也考查了待定系数法求函数解析式.

例3（2015·常州）已知二次函数y= x2+（m-1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）.

A.m=-1B.m=3

C.m≤-1D.m≥-1

【解析】本题主要考查二次函数的增减性，根据图像开口向上，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大.

【点评】熟记函数图像增减性，正确列出不等式是解题关键.

考点三二次函数的图像和系数a，b，c的关系

例4（2015·遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2-4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a-2b+c＜0，其中正确的个数是（）.

图1

A.2B.3C.4D.5

【解析】本题考查函数图像和系数a，b，c的关系.

（1）由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x=1的右侧得到，利用不等式的性质得到2a+b＞0，故①正确；

（2）由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0，故②错误；

（3）抛物线与x轴有两个交点，所以Δ= b2-4ac＞0，故③正确；

（4）由x=1时，y＞0，可得a+b+c＞0，故④错误；

（5）由x=-2时，y＜0，可得4a-2b+c＜0，故⑤正确.

综上所述正确结论个数有3个，故选B项.

【点评】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像，a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0时，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.

考点四二次函数图像与几何变换

例5（2015·龙岩）抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是________.

【解析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案.

将y=2x2-4x+3化为顶点式，得y=2（x-1）2+ 1，可知顶点坐标是（1，1），求抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线，关键要确定旋转后所得抛物线的顶点和开口方向.旋转后的抛物线开口方向与原来相反即开口向下，开口大小不变，故二次项系数为-2，而顶点变为（-1，-1）.所得的抛物线的解析式是y=-2（x+1）2-1，化为一般式，得y=-2x2-4x-3，故答案为：y=-2x2-4x-3.

【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换，利用了中心对称的性质，注意抓住关键点的变化.

考点五二次函数的应用

例6（2015·朝阳）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4 s落地，则足球距地面的最大高度是______m.

【解析】首先由题意得：t=4时，h=0，然后再代入函数关系h=at2+19.6t可得a的值，再利用函数解析式计算出h的最大值即可.

由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6× 4，解得：a=-4.9，

∴函数关系为h=-4.9t2+19.6t，足球距离地面最大高度为

故答案为：19.6.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，把最大高度问题转化为函数图像的顶点纵坐标来求.

考点六二次函数与方程，不等式

例7（2015·苏州）若二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）.

A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5

C.x1=1，x2=-5D.x1=-1，x2=5

【解析】本题是二次函数和一元二次方程的综合，考查二次函数的性质和解一元二次方程.

根据题意得对称轴是直线x=2，所以得b=-4，把b=-4代入到x2+bx=5，得方程为x2-4x=5，解得x1=-1，x2=5，故选D项.

例8（2015·柳州）如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于（-2，0）和（4，0）两点，当ax2+bx+ c＞0时，x的取值范围是（）.

A.x＜-2B.-2＜x＜4

C.x＞0D.x＞4

图2

【解析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图像确定使y＞0成立的自变量x的取值范围.

根据函数图像，二次函数值大于0部分的图像位于x轴上方，所对应的自变量x的取值范围是-2＜x＜4，故选B项.

【点评】能正确把不等式问题转化为函数问题，利用函数图像解决问题是关键.

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）