“不动”的过程

陈昌荣

在递推数列中，经常提到“不动点法”求数列的通项。我翻阅了几本竞赛书籍（高中教材中没有），都没有详细的说明，只给出了结论，而且数列类型总结也不完整。如果我们只讲结论，不讲过程。这就给学生带来了记忆负担（有些结论很难记），若学生记不住公式就做不起题。所以我们应该给学生讲述整个过程，特别是思维的来源。这样，学生有了自己的思维，在做题的时候，可把证明过程融入到解题过程中去，则降低了记忆公式的负担，提高解题的能力。

预备知识：

①.因式分解定理：

如果 是方程 的一个根，则方程 可变为：

②.变式结论：

如果方程 可变为 的形式，则 是方程 的根，此时 叫做函数 的不动点。

1.型如： 的解法

【思维过程】

①.当 时，则数列为等比数列，直接可用公式求通项；

②.当 时，则可设法转化为①种（等比数列）情形求解，即将递推式变为： 求解，数列 是以 为公比的等比数列。这里 是未知的常数，怎样求出 是解题的关键。

法1：由 得： ，与 对

比，则： 。

法2：由前面的预备知识及 可知： 可看作方程：

的根，也即是方程 的根，则： 。即：用 “不动点法”求 的通项。

结论1：若 ， 是 的不动点，数列 满足：

，则有： 是以 为公比的等比数列。

例1：设 满足： 求通项 。

解：由 得： ，则有：

即： 以3为公比的等比数列 ，又

∴

2. 型如： 的解法

【思维过程】

①.当B=0时，取倒数为： ，令 ，则 ，是 的数列，可用上面的方法求解。

②.当 时，则可设法将其递推式变为： ，

设 ，则有： ，即为：B=0的情形。这里 是未知的常数，怎样求出 是解题的关键。

由前面的预备知识及 可知： 可看作方程：

的根，也即是方程： 的根。

注意1：

方程 一般有两个（ ），是否都满足呢？

若 是方程 ①的根，则有： ②；所以：由①②得：

即：方程 的根 都满足： 。

注意2：可将 与原来的式子对比，解出 的值。

结论2：若 ， 是 的不动点（或其中之一），

数列 满足： ，则有： 满足： ：

①、直接取倒数为： ，再用 的方法求解。特别地：当两个不动点相等时，即： ，则有：

②、 的两个不动点不等时，设为： ，则有 满足：

注意：此方法也适合A=0及B=0的情形。

例2：设 满足： 求通项 。

在我们的教学活动中，必须要讲出思维的来源，便于学生理解融会贯通。同时注意数学中的基本问题模型的归类及一般问题怎样向基本问题模型的转化；只要学生有了这样的学习数学的思维方法，才能够会学知识，达到事半功倍的效果。