聚焦考双查曲面线面观

安徽省太和中学 韩长峰

聚焦考双查曲面线面观

安徽省太和中学 韩长峰

考纲对双曲线的要求：“了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。”基于了解层次，高考对双曲线的考查以小题居多，难度中等。下面，笔者就对双曲线的命题点和考查题型进行总结归纳，以飨读者。

题型一：双曲线的定义

分析 待求范围的代数式|PF1|+|PF2|是两条焦半径之和，灵活运用双曲线的定义||PF1|-|PF2||=2，结合锐角三角形的特征，即可求解。

解 不妨设点P（x，y）在双曲线右支上，

评注 在圆锥曲线中，涉及曲线上一点到焦点或准线等的距离问题时，优先选用圆锥曲线定义求解，能够大大简化代数运算过程。

题型二：双曲线的标准方程

分析 先利用圆与渐近线相交确定A点坐标，再根据对称性，找到A点坐标与四边形ABCD面积的关系。

解 根据双曲线的对称性，易知四边形ABCD为矩形。

不妨设点A在第一象限，A的坐标为（x，y），

答案选D。

评注 求双曲线标准方程的一般方法为待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值。给出双曲线标准方程，也要能熟练得出双曲线的基本量a、b、c。

题型三：双曲线的几何性质

答案选A。

（2）求双曲线的离心率时，应将题设中双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a、b、c的方程或不等式，然后利用b2=c2-a2和转化为关于e的方程或不等式，再通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围。

题型四：直线与双曲线的综合问题

分析 （1）设A（c，yA），根据题设条件得到4（1+b2）=3b4，从而解得b2的值。（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x-2），联立方程组，利用“设而不求，整理处理”的思想。

解 （1）设A（c，yA），

评注 （1）解决直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得到关于x或y的一元二次方程。当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定。

（2）解决直线与双曲线的综合问题时，不仅要联立方程组、消元，利用判别式Δ并结合韦达定理是必不可少的过程，而且需要考生能将题中的条件转化为含“x1+x2”和“x1x2”的代数式。

纵观以上，各类考试对双曲线的考查要求我们要牢固掌握双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质等基础知识，要求我们有较强的数据处理和运算的能力。所以在学习过程中，我们要认真研究，深刻理解双曲线的各个层面上的知识，为提升我们的数学素养，提高我们的数学成绩打下坚实的基础。