磁场中导体棒运动问题例析

安徽省灵璧黄湾中学 华兴恒

磁场中导体棒运动问题例析

安徽省灵璧黄湾中学 华兴恒

磁场中导体棒运动问题是我们学习磁场知识后经常遇到的问题，归纳起来主要有两种类型：一种是单棒问题，另一种是双棒问题。下面我们举例分析。

一、单棒问题

基本题型 如图1所示，质量为m的导体棒可以无摩擦地在水平面内放置的平行金属导轨上滑行，两轨间距为L，导轨与电阻R连接，放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导体棒的电阻为r，导轨的电阻不计，导体棒初速度为v0（与导轨平行），始终与导轨保持垂直且接触良好。试求导体棒停下来时滑行的距离、通过的电量及产生的热量。

分析 该题中导体棒的运动过程为加速度变小的减速运动，而我们仅熟悉匀变速直线运动的规律，乍一看似乎无从下手。下面给出两种解法，供同学们参考。

解 设导体棒滑行的距离为x，将这段距离分割成许多小段，记为Δx1，Δx2，…，Δxn；由于距离Δx很小，可认为在每一小段内棒的加速度是不变的，每一小段内棒的速度变化量为Δv1，Δv2，…，Δvn，时间间隔为Δt1，Δt2，…，Δtn。

图1

拓展1 如图2所示，在基本题型的条件下，若导体棒在恒力F（与导轨平行）的作用下由静止开始运动，设在棒从开始到刚稳定运行的过程中，通过横截面的电量为q，则最大速度vm、从开始到刚稳定运行的时间t和产生的热量Q各是多少？

图2

解析 导体棒做加速度减小的加速运动，当F=F安时速度最大，

拓展2 如图3所示，在同一水平面内的光滑平行金属导轨间距为L，一端连有一电容器，整个导轨处竖直向上的匀强磁场中，磁场强度为B。不考虑任何电阻，导体棒在恒力F（与导轨平行）的作用下由静止开始运动，设电容器的电容为C，电容器的击穿电压为U0，导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好。试分析电容器被击穿前导体棒的运动情况。

图3

解析 设在任意时刻t，导体棒的速度为v，取极短时间段Δt，可认为Δt时间段内棒的加速度不变，设加速度为a，

则在这段时间内，电容器的电压由BLv变为BL（v+aΔt），

由牛顿第二定律可知：F-BIL=F-B（CBLa）·L=ma，

加速度是一个恒量，可见电容器被击穿前导体棒做匀加速直线运动。

拓展3 如图4所示，在同一水平面内的平行金属导轨相距L=0.25 m，电阻不计，电池的电动势E=6 V，内阻不计，R=5 Ω，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，开关S闭合后，横放在导轨上的导体棒（电阻可以忽略不计）在磁场力的作用下由静止开始向右运动，导体棒与导轨间的滑动摩擦力Ff=0.15 N，为使棒运动速度最大，此时磁感应强度B为多大？导体棒运动的最大速度vm是多少？

图4

解析 导体棒做加速度变小的加速运动，当Ff=F安时，导体棒做匀速运动。

方法一：根的判别式法

方法二：等效法

例1 如图5所示，水平面（纸面）内间距为L的平行金属导轨间接一电阻，质量为m且足够长的导体棒置于导轨上。t=0时，导体棒在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，导体棒进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。导体棒与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：

图5

（1）导体棒在磁场中运动时产生的电动势的大小。

（2）电阻的阻值。

分析 导体棒的运动过程分为两个部分。进入磁场前，棒在F与摩擦力μmg的作用下做匀加速直线运动，可求出加速度a和到达磁场边界时的速度；进入磁场后，棒做匀速直线运动，根据法拉第电磁感应定律，可求出电动势及电路中的电流，再分析受力情况，由牛顿运动定律列方程求解。

解 （1）设导体棒进入磁场前的加速度大小为a，则根据牛顿第二定律可得：ma=F-μmg。

设导体棒到达磁场左边界时的速度为v，则由运动学公式得：v=at0。

当导体棒以速度v在磁场中运动时，则由法拉第电磁感应定律可知棒运动时产生的电动势E=BLv。

（2）设导体棒在磁场区域中匀速运动时，棒中的电流为I，则根据欧姆定律有，式中R为电阻的阻值。

导体棒所受的安培力为F安=BIL。

因导体棒做匀速运动，则由牛顿运动定律得F-μmg-F安=0。

点评 分别分析导体棒在两个过程中的受力情况和运动情况，第一个过程导体棒的末速度即为第二个过程中导体棒做匀速运动的速度，结合法拉第电磁感应定律得到E，再根据受力平衡列方程求出R。

例2 如图6所示，两条相距L的光滑平行金属导轨位于同一水平平面（纸面）内，其左端接一阻值为R的电阻。一与导轨垂直的导体棒置于两导轨上。在电阻、导轨和导体棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1=kt，式中k为常量。在导体棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。t=0时，导体棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动。导体棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求：

图6

（1）在t=0到t=t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值。

（2）在时刻t（t＞t0）穿过回路的总磁通量和导体棒所受外加水平恒力F的大小。

解析 （1）导体棒在0～t0这段时间内，由于圆形磁场中的磁通量变化而产生感应电动势，从而产生感应电流，由电流的定义式便可求出流过电阻的电荷量的绝对值。

在导体棒越过MN之前，t时刻穿过回路的磁通量Φ=ktS。

设在从t时刻到t+Δt的时间间隔内，回路磁通量的变化量为ΔΦ，流过电阻R的电荷量为Δq。则由法拉第电磁感应定律得：，

（2）当导体棒越过MN后，穿过回路的磁通量由两部分组成，根据法拉第电磁感应定律等知识便可以求出恒力F的大小。

当t＞t0时，导体棒已越过MN，由于导体棒在MN右侧做匀速运动，有F=F安，式中F是外加水平恒力，F安是匀强磁场施加的安培力。

设此时回路中的电流为I，则F安=B0IL。

此时导体棒与MN之间的距离：s=v0（t-t0），

匀强磁场穿过回路的磁通量：Φ′=B0Ls，

回路的总磁通量：Φt=Φ+Φ′，式中Φ=ktS，

由以上几式可得在时刻t（t＞t0）穿过回路的总磁通量：Φt=B0Lv0（t-t0）+kSt。

在t到t+Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量：ΔΦt=（B0Lv0+kS）Δt，

联立以上三式及F=F安、F安=B0IL可解得。

注意 （1）在计算磁通量时，若用的是左侧矩形面积，而不是圆形磁场的面积，则容易导致错解的发生。（2）当金属棒越过MN后，计算磁通量时，若得出的导体棒与MN的距离为s=v0t，也会导致错解。

二、双棒问题

基本题型 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图7所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有平行于导轨且指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触。求：

图7

（1）在运动中两棒中产生的焦耳热最多是多少？

解析 （1）易知两棒所受安培力大小相等，方向相反，系统合外力为0，因此动量守恒。

当两棒速度相等时，回路中感应电流为0，由动量守恒可知mv0=2mv，共同速度；由能量守恒可得，运动中两棒中产生的焦耳热最多为

拓展1 若基本题型中两导体棒开始时均静止，棒cd受到水平恒力F的作用由静止开始运动，其他条件均不变，请分析两棒的运动情况。

解析 恒力F开始作用的瞬间，电路中的感应电流为0，棒cd的加速度为，棒ab的加速度为0，随着vcd的增大，电路中的I感增大，F安增大，acd减小，aab增大，但因acd＞aab，所以两棒的速度差Δv增大。当时，两棒的速度差及加速度均不再变化。

拓展2 在水平面上放置的间距为L的两根光滑的平行金属导轨间，有一竖直向下的匀强磁场，如图8所示。导体棒ab和cd搁置在导轨上，并始终垂直于导轨，导轨的左端接一电阻R，棒ab和cd电阻也均为R。当棒ab在外力作用下以速度v匀速向右运动时，棒cd达到稳定时的速度为_______，此时作用在棒ab上水平向右的外力F=_______，固定电阻R上消耗的热功率是_______。

图8

由以上分析可见，分析力电综合类问题的基本思路与力学解题时的基本思路相同。在运用牛顿第二定律与运动学结合解题时，分析加速度与初速度的关系是解题的最关键的第一步，因为加速度与初速度的关系决定了物体的运动状态。在解决电磁感应中电路问题时，要将电磁感应现象的实际问题抽象成直流电路的问题。在解决能量转化问题时，要用能量转化和守恒的观点分析和解决问题。◀