一类解多年高考压轴题的方法

王生林

导数的应用试题，作为高考试题中的压轴题一般设有两问，特别是第二问常常给学生难以下手的感觉，因此不少教师在考前指导时往往要求部分学生学会放弃.笔者研究了近几年全国课标卷导数题的解法，发现试题都围绕同样的考点、同样的命题思路来命制，当然就可以用同样的方法来解答.现举例说明如下.

例1设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解析（Ⅰ）略.

（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥0x≥0时，f（x）min≥0，而考察x≥0时f（x）的最小值，需要借助于f（x）的导函数f ′（x）的性质，故从分析f ′（x）的正负入手，

因为f ′（x）=ex-1-2ax，令y1=ex，y2=2ax+1，

函数y2的图象是过（0，1）点的直线系，

因为y1=ex在（0，1）处的切线斜率是k=1，且在此点处的切线方程为y=x+1，故以切线为界线进行比较.

（1）当2a≤1，即a≤12时，在x>0时y1的图象总在y2的图象的上方（图1）， f ′（x）>0恒成立，f（x）是增函数，故当x≥0时，f（x）≥f（0）=0是恒成立的，符合题意.

（2）当2a>1，即a>12时，y1的图象与y2的图象（图2）总会有交点，不妨设此交点横坐标为x0，当x∈（0，x0）时，y1的图象在y2的图像的下方，f ′（x）<0，f（x）是减函数；当x∈（x0，+∞）时，y1的图象在y2的图象的上方，f ′（x）>0，f（x）是增函数，且f（0）=0.可见这种情况下，当x≥0时，f（x）≥0不是总能成立.

综上所得，符合题意时a的取值范围a≤12.

例2已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范围.

解析（Ⅰ）（解略）a=1，b=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnxx+1+1x，f（x）>lnxx-1+kx f（x）-（lnxx-1+kx）>0恒成立时求k的取值范围，与2010年题型完全相同.

f（x）-（lnxx-1+kx）=lnxx+1+1x-（lnxx-1+kx）

=lnxx+1-lnxx-1+1x-kx=2lnx1-x2+1-kx

=11-x2（2lnx+（k-1）（x2-1）x）.

因为当x>0，且x≠1时，11-x2的正负容易判断，故在作差变形时提出11-x2，这样一来差值的正负取决于2lnx+（k-1）（x2-1）x的正负，故构造新函数，令

h（x）=2lnx+（k-1）（x2-1）x

=2lnx+（k-1）（x-1x） （x>0，x≠1），

h′（x）=2x+（k-1）（1+1x2）=（k-1）（x2+1）+2xx2

=k（x2+1）-（x-1）2x2.

令y1=k（x2+1），y2=（x-1）2.

（1）当k≤0时，y1的图象总在y2的图象的下方（图3），且x>0，x≠1时，h′（x）<0，h（x）是减函数，而h（1）=0.当x∈（0，1）时，h（x）>h（1）=0，11-x2>0，可得11-x2h（x）>0成立；当x∈（1，+∞）时，h（x）0也成立.综上k≤0符合题意.

（2）当00，h（x）是增函数，此时h（x）>h（1）=0，11-x2<0，可得11-x2h（x）<0，与题意矛盾.

（3）设k≥1，当x>0，且x≠1时，y1的图象总在y2的图象的上方（图5），此时h′（x）>0，h（x）是增函数，而h（1）=0，且x∈（0，1）时，h（x）0，可得11-x2h（x）<0，与题意矛盾.

综合得，k的取值范围为x∈（-∞，0].