高等数学课程研究型教学案例的建构与实践

汪雄良 王春玲

摘 要 结合大学公共基础课高等数学，建构若干具有实际背景的、适合于教师实施课堂教学或学生自主实验的研究型教学案例，让学生在知识的发现过程中抓住其本质，加深对概念的理解和掌握，同时培养学生研究问题的兴趣和能力。

关键词 研究式教学；高等数学；自主实验

中图分类号：G642.3 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）04-0107-03

Construction and Practice of Research-oriented Teaching Cases in Advanced Mathematics Course//WANG Xiongliang， WANG Chunling

Abstract Aimed at the public college course advanced mathematics， a few cases which derived from the practical application background can be applied in research-oriented teaching. It helps the student grasp the essence and understand the profound idea with efficiency. It can help the student improve the interest and ability of research at the same time.

Key words research-oriented teaching； advanced mathematics； in-dependent experiment

1 前言

传统教学模式是把学生对课程学习看作一个被动的接受过程，在课堂上只是将一大堆的知识教条式地灌给学生，忽视了学生对课程学习的主动性和创造性，忽视了教学对学生创新意识与创新能力的培养作用，直接损害了学生创新意识与能力的形成。因此，好的教学模式应当能够启迪学生的兴趣和智慧，开发悟性，挖掘潜能，激发学生的创造力。研究型教学模式正是为了实现上述目标而兴起的一种新的教学模式[1-3]。

然而，研究型教学应用于高等数学课程的教学实际中，教师经常会受一些问题困扰。

1）典型的案例不好找，经典的微积分理论非常完善，典型的概念都有其物理或几何起源，很难再从中挖掘出有启发意义的问题或案例。

2）高等数学课程具有内容多、课时紧的特点，正常的教学计划都难以充裕地完成，怎么还有时间开展研究型教学？如果开展的话，会不会对正常教学产生负面影响？

3）高等数学是大一新生必学的重要基础课，他们刚进大学，仍带着中学数学学习方法的烙印，完全放任学生自己去探索而不引导，可能会适得其反。

4）高等数学课程大都是大班上课，学生人数多，接受知识的程度也参差不齐，怎样更好地组织起研究型教学，使之不流于形式？

针对问题2，笔者认为，研究型教学是一种手段、一种理念，倡导研究型教学并不是意味着高等数学中的每一个概念都要用研究型教学来实施。以美国高校为例，虽然大多数的教师在课堂教学中主要还是采用讲授法进行教学，但在整个教学过程中经常渗透着研究型教学的方法，如积极引导学生参与知识发现过程，引导学生积极主动地参与相关的科研活动等。因此，在高等数学教学过程中的某些部分引进研究型教学，非但不会影响正常教学进度，相反还会对概念的理解带来帮助，大有裨益。以上问题3和4涉及研究型教学的组织和实施，不做探讨。本文重点讨论研究型教学案例的建构问题。

针对工科数学类课程在学科体系中的基础性地位以及其理论概念抽象、数学公式繁难的特点，从提高学生自主学习兴趣、增强创新思维的需求出发，文献[4]提出主线贯穿式、温故知新式和悬念导入式三种研究型教学模式。借鉴这三种模式，本文给出几个具有实际背景的、适合于教师实施课堂教学或学生自主实验的研究型教学案例，让学生在分析过程中抓住共性，不断升华对自然规律的本质领悟，学到解决问题的智慧。

2 三个案例

案例1：定积分的概念（采用主线贯穿式研究型教学） 目前的大多数高等数学教材都是通过定积分的几何意义即由如何计算曲边梯形面积来引出定积分的概念。求其面积有分割、近似、求和与取极限四个步骤，其中包含了两个任意性，即对区间的分割和区间内的点ξk的选取都是任意的。对这两个任意性，初学者一般较难理解，从数学实验的角度来分析验证这两个任意性，帮助学生加深理解。

【例1】S是由曲线y=x2，直线x=0，x=1和y=0所围成的曲边梯形，试估算S的面积。

【解】从等分不任意取、任意分不任意取和任意分任意取三种方式来估算。

1）等分不任意取。对[0，1]区间进行n等分。在每个子区间上，分别用左端点和右端点的函数值作为对应的小矩形的高，计算左和与右和。

2）任意分不任意取。对[0，1]区间进行任意划分。利用MATLAB中的rand函数可得到0—1之间的n-1个随机数。对此n-1个随机数进行排序，即得到[0，1]区间的n-1随机分点。在每个子区间上，与1）类似，同样分别用左端点和右端点的函数值作为对应的小矩形的高，计算左和与右和。

（3） 任意分任意取。在[0，1]区间的任意分点已经确定下来的条件下，利用MATLAB中的rand函数得到0—1之间的一个随机数ξ，再将此随机数ξ通过线性变换，转化成小区间[xk-1，xk]上的一个随机数，它就是所要取的ξk，即取ξk=（xk-xk-1）ξ+xk-1）。以f（ξk）为高，底边长为Δxk的小矩形的面积是f（ξk）Δxk。每一个小区间都这样处理，最后把n个小矩形的面积相加，即可得到曲边梯形面积的近似值。

从实验结果可见，三种方式下随着n的增大，面积的近似值都越来越接近面积的真实值的。它验证了曲边梯形的面积与区间的分割无关（可任意分），与小区间的点ξk的选取也无关（可任意取）。从而从数学实验的角度验证了定积分概念的正确性，加深了学生对积分思想和定积分概念的本质的认识。

案例2：重积分的概念（采用温故知新式研究型教学） 引导学生回顾已学过的定积分的概念，其本质核心即为微元法。将其思想推广到计算非均匀的平面薄片的质量。它是分布在平面区域上满足可加性的量。对平面的区域进行划分，分成小的平面区域，再对小的平面薄片的质量进行近似，即取其中任意点的密度作为小的平面薄片的密度，乘以小的平面薄片面积即得平面薄片微元的质量，最后“求和取极限”即得总的平面薄片的质量。由此，即导出了二重积分的定义。

类似地把平面区域推广到空间区域，用微元法计算非均匀空间物体的质量，即可导出三重积分的定义。因此，在多元积分学概念教学中，可实施温故知新式教学模式，充分利用前面已学知识作为基础，通过回顾和总结，启发学生思考，重点强调两者研究思路的相似性，使学生迅速抓住主要矛盾，水到渠成地掌握新知识。温故知新式教学模式还在一定程度上训练了学生普遍联系和重点突出的思维方式。

在学习了重积分的概念后，可布置以下思考题，让学生组成学习小组，在课堂上组织对问题进行讨论。

【例2】针对流行病的传播问题进行研究。假设患病者将疾病传染给健康者的概率是两者之间距离的函数。现考虑一个半径为10 km的圆形城市（所占平面区域用D表示），假设城中的人口和患病者都是均匀分布的（每1 km2有k个患者），又设城中某点M处的健康者被位于点P处的患者传染的概率为：

其中，d（P，M）表示点P到点M的距离。假设位于点M处的健康者传染上该病的概率（称为被感染率，记作E（M））等于城市中所有患者将疾病传染给他的概率之和。试用二重积分表示E（M）的计算公式。

【分析】任取面积元素dσ，则其中共有kdσ个患者，这kdσ个患者对一个位于M点处的居民的传染概率为f（P）kdσ，故：

案例3：曲率公式（采用悬念导入式研究型教学） 在课堂教学中首先抛出问题：火车在实际运行中通常要过弯道，那么为确保火车在弯道上行驶安全，弯道应该怎么设计呢？火车在弯道上要安全行驶，其所受到的离心力必须平稳变化，因此要求从直道进入弯道时曲率必须是连续变化的。为此需要设计一段曲线轨道，将直线轨道与圆弧轨道连接起来，称此连接轨道曲线为缓和曲线，工程上通常选用三次多项式曲线作为缓和曲线。

【例3】如图1所示，CO为直线轨道，AB为圆弧轨道，OA为缓和曲线。已知圆弧轨道半径为R（km），A点的横坐标为l（km）。设缓和曲线方程为y=ax3+bx2+cx+d，试给出系数a，b，c，d所满足的关系式。

抛出以上问题后，学生的兴趣被调动起来了，接下来引发学生思考如何刻画一条曲线的弯曲程度与哪些因素相关？进一步就可以介绍弧微分，给出平均曲率的定义，最后通过对平均曲率求极限，从而得到曲率的定义以及曲率的计算公式。在完成以上教学以后再回到上述引例，通过实例来激发学生学习的兴趣并巩固所学知识。

【分析】由于y=ax3+bx2+cx+d，y′=3ax2+2bx+c，y″=6ax+2b，依题意，缓和曲线y=y（x）在原点O处应满足y（0）=0，y′（0）=0，y″（0）=0，从而可得系数b=c=d=0。

又缓和曲线在点A（l，al3）处的曲率，而y′（l）=3al2，

y″（l）=6al，从而在A（l，al3）处：

因此，系数a满足关系式：

在做完以上例题后，还可以启发学生思考：以上缓和曲线能否选用二次多项式？是否需要选用四次以上的多项式？由此说明了缓和曲线选用以上三次多项式的合理性（既简洁，又符合条件）。

3 结语

国内外高水平研究型大学都在探索研究型教学的理论、方式方法以及探索实践，而且各具特色。构建更多更具实际背景的教学案例，还有待于更进一步的探索和实践。

参考文献

[1]白少元，解庆林，游少鸿.基于研究型课程理念的《环境工程概论》课程教学研究与实践[J].教育教学论坛，

2015（12）.

[2]严颖，姚宇新，王尕平，等.适应创新型人才培养的基础力学研究型教学实践探索[J].教育教学论坛，2015（9）.

[3]冯晓丽.美国高校微电子类课程模式及其借鉴[J].高等理科教育，2015（1）.

[4]冯静，潘正强，孙权，等.工科数学类课程三种研究型教学模式探索[J].教育教学论坛，2015（4）.