让学生充分经历知识的形成过程*——谈《函数的单调性》教学设计

☉江苏省通州高级中学朱小莉

让学生充分经历知识的形成过程*——谈《函数的单调性》教学设计

☉江苏省通州高级中学朱小莉

一、教材分析

江苏省从2005年起实施新课程改革，通过这几年来的实践，大部分教师能从最初的不断地摸着石头过河的探索者，转变为现在的能不断总结经验、不断提升自我的新课程理念的践行者.作为好奇心和求知欲极强的青少年，数学课堂的效果如何主要取决于对数学概念、公式、定理的理解的深度.当代著名数学家李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”由此可见，数学概念和数学概念教学的重要性.而概念课的教学一直是新课程实施过程中教学难度最大的一类课型，也是最重要的一类课型.

函数的单调性是高一学生遇到的一个极其重要的概念，因为函数的单调性不仅与函数的最大值、最小值紧密地联系在一起，而且与不等式、方程、函数的导数等高中数学的主干知识紧密相关.在初中阶段，学生已经对函数值随着自变量的增大而增大（或减小）这一函数性质有一定了解，但还是基于对函数图像的直观去理解的.而高中阶段，对于函数的这种性质的认识应该从“形”的直观认识上升到“数”的抽象认识.强调本质是新课程的基本理念，注意适度的形式化.函数的单调性的定义是一个以全称命题给出的形式化的定义，具有一定的抽象性，对刚从初中过渡到高中的学生而言是有一定难度的.如果直接给出概念，学生对于概念的认识是不会深刻的，特别是对单调性概念中的“任意”的理解，即使是重复强调也很难深刻理解.著名教育实践家和教育理论家苏霍姆林斯基说：“在人的心理深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.”要让学生从内心深处接受函数的单调性的概念，笔者认为有必要让学生能经历这个概念的建构的过程.

二、教学目标

1.知识与技能

理解函数的单调性的定义，能利用函数图像直观判断函数的单调性，能用函数单调性的定义证明具体函数的单调性.

2.过程与方法

引导学生能从具体问题出发，自主探索函数单调性的概念，利用函数的图像和单调性定义解决函数单调性问题，进一步体验数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观

体会函数单调性概念的建构过程，体会数学的符号语言，进一步培养学生数学直觉观察、探索发现、科学论证良好的数学思维品质.

三、教学流程

1.创设情境，引入新课

师：俗话说：好记性不如烂笔头.真是这样吗？

德国心理学家艾宾浩斯根据的研究数据画出了著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线：

时间间隔记忆保持量刚刚记忆完毕100% 20分钟之后58.2% 1小时之后44.2% 8-9小时之后35.8%

1天后33.7% 2天后27.8% 6天后25.4%一个月后21.1%……

师：观察这条曲线，你能发现什么规律呢？

生：随着时间的推移，记忆的保持量是减少的.第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度就变慢了.

设计意图：由与学生密切相关的事情引入新课，激发兴趣.

师：现实生活中有许多事物时刻都在变化，了解它们的变化规律，对我们是很有意义的.对于函数的变化规律，常常是抓住：当自变量增大时，函数值是随之如何变化的，这节课我们就一起来学习“函数的单调性”.（板书课题）

2.以形思数，由具体到抽象

师：我们在初中已学过正、反比例函数，知道函数的图像在一定的程度上能够反映该函数的基本性质.下面我们从函数的图像入手来研究函数的性质.

请大家观察第一组函数的图像，指出它们的共同点.

图1　

图2　

图3　

生：从左向右看，这三个函数的图像都是上升的，x的值越大，y的值也越大.

设计意图：从图像直观感知函数单调性，对增函数有一个初步认识.

师：请观察第二组函数的图像，指出它们的共同点.

图4　

图5　

图6　

生：从左向右看，都是下降的，x的值越大y的值越小.

设计意图：从图像直观感知函数单调性，完成对减函数的初步认识.

师：我们之前还学习了分段函数，请再观察第三组函数的图像，指出它们有什么共同的特征及不同之处.

图7　

图8　

图9　

图10　

图11　

生：图7先减后增；图8在（-∞，0）和（0，+∞）都是下降的；图9和图10都是不连续的，但从左向右看每段是上升的.

生：我认为图9是“y随x的增大而增大”，图10则不是，显然，x=1时的函数值比x=2的函数值大.

师：两位同学观察很仔细，也说出了它们的不同之处.

设计意图：从图7和图8直观感知一个函数会有增减的变化，图9和图10使学生对增函数定义中的“任意”有一个初步认识.

3.形成概念，交流理解

师：经过刚才对这三组函数图像的观察、感悟，同学们对函数递增或递减的宏观上有一定的认识，如何用数学语言来描述函数的这种性质呢？请尝试给“增函数”“减函数”下定义.（学生合作交流）

生：增函数就是指函数值y随自变量x的增大而增大，减函数则相反.

生：但是图11好像不合适……（不知如何表达）

师：这两位的回答都不错.

师生活动：学生尝试叙述“增函数”“减函数”的定义，教师补充完善.

定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I.

如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间上是增函数.

如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间上是减函数.

4.辨析定义，深化认识

师：请同学们按小组讨论：在定义中应该抓住哪些语，才能更准确地理解定义？

（各个学习小组经热烈讨论后推选代表发言）

生：我们组认为定义中“给定区间”是一个的语.

师：你能不能解释一下？

生：比如函数f（x）=|x|，如果x1f（x2），则f（x）在（-∞，0）上是减函数，如果x1，x2一个取正数，一个取负数，则f（x1）和f（x2）大小不定，则f（x）在（-∞，+∞）上就没有单调性了.

师：很好.函数的增减性都是对相应的区间而言的.“给定的区间”可以是定义域的子区间，也可以是整个定义域.因此，在讨论函数的增减性时要指明相应的区间.

生：我们组认为“任意两点”较难理解.

生：“任意两点”就是指不能由两个特殊值的大小关系来判断函数的增减性.

师：很棒！掌声鼓励！那你能举例说明吗？（让学生思考片刻）

生：哦，我想到了函数f（x）=x2+2，如果取两个特定的值-2<1，显然f（-2）=4>f（1）=1，由此判定它在（-∞，+∞）是减函数，那就错了.

师：回答很好！要判断函数f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义判定.

生：我的疑问是“任意两点”能不能改为“无数个点”，这两者的意思相同吗？

生（抢着回答）：我画了个图（如图12），图中有无数个点呈上升，但这个函数不是增函数.

师：（用投影展示）你是怎么想到这样的图12的？

生：我看过我爸炒股票时，有类似这样的股票价格变化图形.

师：嗯，这位同学的见识挺广的.从图可以看出，确实有无数个点满足y随着x的增大而增大，但这个函数并不满足定义，不是“增函数”，“任意”可不能改为“无数”.

师：能将“增函数”定义中的“当x1>x2时，都有f（x1）> f（x2）”换一种表达方式吗？

图12　

生：“当任意x1

生：我由符号法则得到：若（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］>0，则f（x）增函数.若（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］<0，则f（x）减函数.

师：很好！这三种表达方式都是对的，三位同学的理解很深刻.

设计意图：教会学生如何抓住定义中的语、变式表示来理解概念，以培养学生理解问题、分析问题的能力，也为下面用作差法证明单调性做铺垫.

5.讲练结合，加深理解

例1（1）看图回答问题，指出函数的单调区间.

设计意图：明确单调区间的表示，有多个相同单调性的区间不能用并集表示.

（2）判断题：

①若f（x）在区间I上是增函数且f（x1）>f（x2），那么x1> x2.

②若f（x）在区间I1上是减函数，在区间I2上也是减函数，则f（x）在I1∪I2上是减函数.

③已知f（x）在实数集上是减函数，若a+b≤0，则f（b）≤f（-a）.

设计意图：进一步加深对单调性的理解.

学生在自学的基础上先尝试，组织学生讨论、交流，再收集不同层次学生的练习，投影，让学生先评议.针对学生出现的问题，给予纠正，再分层练习.

师生：证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1

因为0

所以f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），

（结论）

师：引导学生归纳证明函数单调性的步骤：①设元，②作差变形，③断号，④结论.

设计意图：充分展示学生的学习效果，暴露学生的思维，及时纠正，讲练结合，规范书写，及时巩固所学知识.

6.拓展延伸，学以致用

师：生活中，不少人都有这样的经验：在一杯水中，加入一些糖，糖加得越多糖水就越甜.请用数学知识来解释这种现象.

太棒了！这是学生由衷的感叹，因为这种想法是他们在合作探究中获得的，于是课堂气氛又热烈起来了.

设计意图：让学生感受到：数学源于生活，数学又用于生活.

7.回顾小结

（1）本节课主要学习了以下内容：①函数的单调性的概念；②利用函数图象从直观上判断函数的单调性；③利用函数的单调性定义证明函数的单调性.

（2）本节课所体现出的主要的数学思想：本节课从直观的图象入手，建构了函数单调性的定义，又利用定义证明了新的学生所不熟悉的函数的单调性，经历了从“形”到“数”，又从“数”到“形”的过程，充分体现了数形结合的数学思想.

四、几点反思

（1）形式化的数学概念的教学要把握概念的是如何来的.让学生从内心深处接受概念，就要让学生经历这个形式化的概念的发生、发展的过程，这个过程未必完全是数学概念本身发展史的浓缩版，只要设计好的问题、好的铺垫形式能让学生体验到数学概念的生成是自然的、必要的、有用的就可以了，而不应是教师强加给学生的.而问题被喻为数学的心脏，当然问题是通向建构概念的捷径之一，问题的设计要紧扣概念，还要注意利用维果斯基的“最近发展区”的基本理论，问题的设计不能脱离学生的应有的认识水平，但也不宜太容易，否则缺少必要的思维强度，数学味道就会淡了很多，学生的收获就比较少.

上述课例中引入概念的一些问题组成的问题链有利于揭示函数的单调性的本质，并且环环相扣.学生活动的前两个问题说明了从图像上几个点的位置关系不能判定函数的单调性，即使给出了图像中无穷个点的位置关系也不能判定函数的单调性，从而揭示了函数单调性的形式化定义中最难理解的“任意”二字的缘由.紧接着的问题又是前两个问题的概括和提炼，再后面的一个问题又是图形语言的形式化过程.让这个形式化的概念自然地从同学们的思维中“生长”出来，教师所起的作用是引导，以及悄悄地给予帮助.这样的一个循序渐进的过程，有利于学生的学习，提高学生的学习兴趣，培养学生的观察发现、抽象概括等能力.

但是，并不是说所有的数学概念都是可以建构的，特别是一些非形式化的概念.例如，数的发展史中，最初人们对于虚数产生怀疑和不接受的态度，甚至是一些大数学家也包括在内，如莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物，欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的.到数学界基本能接受虚数的概念，再到虚数体现出其应用价值经历了几百年的时间.对于虚数的概念，让学生在短短的45分钟时间内自我去建构是不现实的，也是根本不可能的.但教师可以从数的发展史入手让学生体验数的发展过程，数的发展实质上是数学内部矛盾或者外部矛盾的不断发展的结果.

（2）高中数学的形式化的教学要注重适度.数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的.数学也不能过度地形式化，以免将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里.在高中阶段，学习超过高中生本身认知水平的形式化的实际上就是学习过度的形式化，容易挫伤学习的积极性，学生很难经历体验知识发生发展的过程，不利于营造生动活泼的教学活动氛围，甚至可能会掩盖本质.形式化是数学的基本特征之一，没有数学的形式化，就没有现代数学的蓬勃发展.在数学教学中，学习形式化的表达又是一项基本要求.新课程理念之一就是强调本质，注重适度的形式化.函数单调性的概念是一个形式化的定义.初中阶段学生的形象思维丰富，理性思维相对较弱，到高中阶段学生的理性思维应该有所提高.而适度的形式化是必要的，有用的.例如，如果没有函数的单调性形式化的定义，在不借助于函数导数的条件下，我们如何判断一个较为复杂的函数的单调性？一定要作出函数的图象吗？从本节的例题可以看出，函数的单调性的形式化的定义是有用的，所以这个概念的存在是有其价值的.

*本文系南通市教育科学“十一五”规划重点课题“基于悟学理念的初中理科‘高效作业’实施策略研究”的阶段性成果.