中学数学课堂教学设计宜着眼于促进学生理解数学*——以《数学归纳法》教学实践为例

☉重庆市育才中学校党忠良王历权

中学数学课堂教学设计宜着眼于促进学生理解数学*——以《数学归纳法》教学实践为例

☉重庆市育才中学校党忠良王历权

作为数学体系中非常重要的一种数学思想方法，“数学归纳法”的教学历来为每一位高中数学教师所重视.

在教学实践中，基于启发式的讲授法教学设计是一种比较常见的设计，其立足于对数学归纳法的情景模拟，通过类比来定义数学归归纳法，重点强调如何应用数学归纳法证明与正整数相关的命题.因此课堂教学中更多地呈现出对数学归纳法证明命题的教师讲解、示范，学生的模仿、练习、巩固等.

但通过调研，我们注意到一种特别的普遍现象：很多学生会应用数学归纳法证明与正整数相关的命题，但其实他们并不明白为什么可以那样证明，也就是说，学生并没真正理解数学归纳法的本质.

为此，我们试验从促进学生理解数学的角度，以奥苏贝尔有意义的接受性学习理论为指导，仍然以启发式教学为主要授课形式，对常见的讲授法教学设计进行改造，通过创设情境、搭建脚手架进行铺垫，构建最近发展区，组织学生层层探索，通过对一些问题的探究、解决、反思，建立新旧知识之间的联系来完成逻辑结构上的对接［1］.

我们通过对这种教学设计的调整、重组，由同一位有过5年教学经验的青年教师在同层次的平行班级上课作对比实验，取得迥异的教学效果.

一、基于启发式教学理念的讲授法教学设计及课堂教学情况概述

教师首先通过多媒体展示生活中的不完全归纳的实例，定义归纳法（由一系列有限的特殊事例得出一般等式1，请猜想破损处“□”可能是什么数学字母（或表达式），并证明.

【引导学生分析】可分别令n等于1，2计算发现破损处□也依次为1，2，从而可猜测破损处□可能是n.但这种猜测只是由n=1，2计算猜测得到的，其是否对任意n∈N*成立，需要证明.

然而n有无数个取值可能，我们无法对其一一验算，因此需要找到一个简洁的证明方式.

回到生活中寻找灵感或启示，带领学生观看“多米诺骨牌游戏”视频，分析骨牌向同一方向一一倒下，需要保障的条件，从而将其类比至如前面所述的涉及无限正整数的数学命题的证明.

【教师引导】类比骨牌倒下的原理，你能给出证明与正整数n有关的数学命题p（n）的一般方法吗？

一个关于正整数n的命题“得证”能和骨牌“全部倒下”类比吗？（此时教师展示幻灯片，请学生通过类比，完成下表中右半部分）结论的推理方法），并简略分析不完全归纳法得到结论的准确性不确定，需要证明.

【组织学生探究】在一本破损的教材封面上发现一个

骨牌全部倒下命题p（n）对正整数都成立（1）推倒第一块骨牌；（2）假设第n=k块骨牌倒下，则能推倒第n=k+1块骨牌.（1）验证n的初始值；（2）假设n=k时命题p（k）成立；证明n=k+1时命题p（k+1）成立由（1）（2）知，骨牌将全部倒下由（1）（2）知命题p（n）对正整数n成立

教师连续抽问多位同学进行类比并填表，但少有能准确表达意思的.这种情况下，教师自己边引导边一一完成类比，类比过程中，教师作了非常详尽细致的对应解释，并给出数学归纳法的定义：

数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题p（n）常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法.

【教师解读】其中数学归纳法的步骤一是归纳奠基，步骤二是归纳递推，这两个关键步骤缺一不可.以初始值n0=1为例，由上面的证明思路可知：p（1）真⇒p（2）真⇒p（3）真…⇒p（k）真⇒p（k+1）真⇒…⇒命题对所有正整数均成立.

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

（1）证明：当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立；

（3）由（1）、（2）可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.

至此，教师继续带领学生一起完成下面的问题（打出幻灯片）

【学生探究】：用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n= 2n2+n对任意的正整数n都成立.

5分钟后，我们观察课堂发现的情况：少部分同学直接用等差数列求和公式求等式左边，得到等式成立；一部分同学按照数学归纳法的步骤证明，但基本上都在假设n=k等式1+2+3+…+2k=2k2+k成立后，证明n=k+1时等式是否成立时，直接代n=k+1到1+2+3+…+2n=2n2+n的左右两边，然后下结论得等式成立；还有一部分同学不知如何下手使用数学归纳法，其中少数同学在逐一取n=1、2、3…验证等式成立.

5分钟后，根据学生的探究情况，教师引导学生一起用数学归纳法证明该等式，并一再强调前两个证明步骤，尤其重点强调了其中的第二步n=k+1时的证明必须使用假设n=k时候的结论，教师板书正确的证明过程.

5分钟后，我们观察课堂，惊讶地发现：绝大多数的学生都能正确使用数学归纳法完整地证明此等式！

课堂后续的教学进入常规的操作巩固阶段：

（其余内容略）

二、疑惑与分析

该教师使用基于启发式教学理念的讲授法教学设计在几个同层次班级连续试讲了几次，该教学设计在利用多米诺骨牌游戏类比引入数学归纳法时，花费了大量精力，并对数学归纳法证明问题的步骤做了详细的分析，教师对数学归纳法的概念、步骤分析得不可谓不透彻.

然而在学生首次具体实践“用数学归纳法证明1+2+ 3+…+2n=2n2+n对任意的正整数n都成立”时，每个班的学生都暴露出高度相似的问题，绝大多数都不会准确使用数学归纳法证明该问题.

而在教师详细给出问题的证明过程及具体的步骤解释后，几乎全部班级的学生又都能准确使用数学归纳法证明第二个具体问题“（n∈N*）”.此后的巩固练习中，绝大部分的同学都能顺利使用数学归纳法证明相关命题.

困惑的是，在教师与学生一起从多米诺骨牌游戏类比引入数学归纳法作了详尽细致的研究后，也一起顺利给出了数学归纳法的定义及证明步骤后，为什么绝大多数学生不会使用数学归纳法证明第一个问题？而在教师讲解了该问题后，又为何绝大多数学生会使用数学归纳法证明第二个问题？学生是真正理解了数学归纳法还是在简单地机械模仿？如何检测学生对数学归纳法真实的掌握情况？课堂教学设计又该如何作出相应的调整？

回溯数学归纳法的起源及其基本思想，分析数学归纳法学习的心理困难，对我们设计其课堂教学，是具有十分重要的指导意义的.

数学归纳法的思想萌芽于古希腊时代，欧几里得在证明素数有无穷多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其隐含着：若有n个素数，就必存在第n+1素数，从而推出素数有无限个.这是一种试图用有限处理无限的做法，是人们沟通有限和无限的最初尝试.

后来，法国数学家帕斯卡在其1654年写的著作《论算术三角形》中，就“帕斯卡三角形”的一些命题证明时，首次指出证明过程只需两个步骤，其本质上讲就是现在的数学归纳法的两个步骤.1686年，瑞士数学家J.伯努利提出表示任意自然数的符号后，给出并使用了现代形式的数学归纳法.1889年意大利数学家皮亚诺建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础［2］.

菲施拜因等的研究表明［3］，数学归纳法作为一种证明方法，学习数学归纳法时学生面临的心理问题是：命题p（k）（归纳假设）在证明过程中出现了两次，一是作为被证的命题，一是作为命题成立的假设条件.理解的难点是：关键的第二步的证明过程整个建立在一个命题p（k）上，而它本身又未被预先证明，并且在推理过程中不加以证明.

在此影响下，学生不能将归纳假设p（k）看成一个命题，于是会产生以下想法：归纳假设的成立是没有保证的；归纳假设的成立是不能证明的；归纳假设的根据是有限的（某种情况下，它可能不成立）.

事实上，学生对数学归纳法的掌握需要一个过程，尤其第二步的证明更感陌生，不知道如何使用乃至不使用归纳假设.而且，学生原有的认知结构对于同化“数学归纳法”无论是数学知识还是逻辑知识都不够充分，所以他们不易领会掌握，对数学归纳法的掌握往往停留在“形式”上［4］.

我们前面介绍的课堂观察无不暴露出了上述这些问题.

因此，我们对数学归纳法的设计应该立足于对学生现有认知结构的理解，从帮助学生理解数学归纳法实质入手，努力搭建合适的背景平台，让学生在已有认知的基础上，适应、同化数学归纳法的原理思想.为此，我们对教学设计做了调整，并对不同设计教学效果做了最简单的检测分析.

三、对原教学设计的改进

基于前面课堂观察中看到的问题，我们以奥苏贝尔有意义的接受性学习理论为指导，以启发式教学为主要授课形式，重新调整了教学设计，主要从下面两个地方作了调整：

调整一：在提出问题一“12+22+32+…+n2=请猜想破损处□可能是什么数学字母（或表达式），并证明”时，强调学生猜想破损处□应该是n的证明是一个无限问题的证明，不同于我们常见的有限结构的问题证明.启发学生如何突破从“无限”到“有限”，并提示从生活中寻找灵感，通过观看多米诺骨牌游戏视频，启发学生分析如何构造有限的条件保证无限块骨牌能一一全部倒下，从而类比至问题一的解决可否从中得到借鉴.

但不再始终停留在理论层面进行类比并定义出数学归纳法.

调整二：回到问题一的处理上，对12+22+32+…+n2=是否成立，我们铺垫上几个问题：

（1）当n=1、n=4时，等式是否成立？

师生共同验证，且12+22+32+42=30，右边=30，等式成立.

（2）当n=5时，等式是否成立？（验证时如何计算？）

（3）假设已经知道n=10时，等式成立，且左边=385，问n=11时等式是否成立？如何验算？

（4）假设已经知道n=100时，等式成立，且左边= 338350，问n=102时等式是否成立？如何验算？

（5）如果要证明n=200时等式是否成立，可以先判断n=？时成立？

（6）如果要证明n=k+1时等式是否成立，可以先判断n=？时成立？

（7）假设已经知道n=k时，等式成立，且左边=A，问n=k+1时等式是否成立？如何验算？

至此，引导学生发现前后命题之间存在的“递推”关系，且初步领会到两点：

一是p（k+1）是否成立，依赖于命题p（k）是否成立.比如，记f（k）=12+22+32+…+k2，则f（k+1）=f（k）+（k+1）2，计算f（k+1）时，可以调用f（k）的计算结果.

二是必须确保“p（k）⇒p（k+1）”成立.

据此，师生再一起初步梳理出问题一的证明需要以下两点：

（1）当n=1时，左边=1=右边，等式成立；

（2）假设n=k（k≥1）时等式成立，即假设12+22+32+…成立，

那么n=k+1时，等式左边12+22+32+…+k2+（k+1）2=这说明当n=k+1时等式也成立.

最后，师生一起给出数学归纳法的概念，并提炼出证明一个与正整数n有关的等式关键的步骤：

（1）证明当n取初始值时等式成立；

（2）假设当n=k（k为正整数且大于等于初始值）时，等式成立，证明当n=k+1时，等式也成立；

（3）由（1）（2）知等式对从初始值开始的所有正整数n都成立.

在处理问题二“用数学归纳法证明命题1+2+3+…+ 2n=2n2+n对任意的正整数n都成立”时，我们仍然设计让学生自己探究.五分钟过后，我们再次在教室巡视发现，绝大多数同学都能顺利、准确用数学归纳法证明，与调整前的教学情况形成了鲜明对照.

后续的教学设计与调整前相同，学生均能正确使用数学归纳法证明相关问题.

四、效果检测

为了对比研究教学设计调整前后的效果差异，我们设计了一个简单的学习小调查，试题与问卷数据见附录.

从问卷调查的情况来看，特别是由其中第4、5、6题的回答来看，教学设计调整后的班级学生正确率远高于其他使用初稿教学设计的班级.而我们认为，4—6题是特地选择构造的数学归纳法的变式形态的使用，学生们如未能真正理解数学归纳法的实质，那他对这3道试题的回答判断将面临很大的困难.客观上看，我们认为调整后的教学设计对比调整前是有效的，特别是调整二中的几个铺垫问题，更有效地帮助了学生加大对数学归纳法的实质理解，对比其他对比班级，其效果也明显要好些.

《普通高中数学课程标准（实验）》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流，发挥学生的学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘在创造’过程”.并明确提出“理解”“体验”“探究”等所界定的过程性目标.

因此，关注学生数学理解性学习应该成为数学教学设计重点考虑的目标.按照认知结构理论，学生学习一个新的概念、定理、公式或法则，如能在心理上组织起适当有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，并能比较方便地激活、提取、利用，才说明达到理解的层面［5］.

基于以上理解，我们对数学归纳法教学设计的调整，不再拘泥于通过对多米诺骨牌游戏的简单类比来获得数学归纳法的基本思想，只是通过它给予我们解决含正整数数学命题证明的无限性提供启发点.反之，回到数学归纳法的起源点，从算法上设计铺垫性的计算，通过学生的计算、体验、感悟命题p（k+1）是否成立与命题p（k）之间的内在逻辑，从而达到对数学归纳法的本质理解.而我们对调整后的课堂观察及学习小调查，尤其是小调查中第4、5、6题的反馈结果，告知我们，从促进学生理解数学的角度设计好教学，才是好的教学！

1.张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.

2.邵光华.作为教育任务的数学思想与方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

3.菲施拜因，等.理解数学归纳法原理的心理困难.载张奠宙主编.数学教育研究导引［M］.南京：江苏教育出版社，1994.

4.邵光华.作为教育任务的数学思想与方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

5.李俊.基于数学理解性学习的教学设计［J］.中学数学教学参考（上），2014（3）.

6.王历权，党忠良，郭晓俊.也谈“RMI原理”与仿射变换下有关圆与椭圆的若干问题［J］.中学数学（上），2016（2）.

7.王历权，党忠良.也谈谈极值点偏移问题［J］.福建中学数学，2016（4）.

附录：

为了掌握同学们的学习状况，特作课后小问卷，以下各问题均为单项选择，请根据自己的真实情况如实填写，不要猜测答案.谢谢！

1.高二期间，你的数学成绩一般在哪个分数段内（）

A.多数时候在120分以上

B.多数时候在90与119分之间

C.多数时候在89分及以下

2.数学归纳法第一次课后你的整体感觉（）

A.理解了数学归纳法的基本原理，基本会作题

B.没有理解数学归纳法的原理但能模仿格式证明

C.根本没理解数学归纳法的基本原理，也不会证明问题

3.真正理解数学归纳法原理是在第一次课后的多长时间（）

A.当堂课就基本理解了

B.练习题目后两三天才基本理解

C.至今尚未完全理解

4.某个命题与自然数n有关，已知若n=k（k∈N*）时命题成立，可推得n=k+1时命题也成立.现已知当n=5时命题不成立，那么可以推得（）

学习小调查班级：高二（）班

A.当n=4时命题不成立

B.当n=6时命题成立

C.当n=6时命题不成立

5.下面是某同学学习归纳法后提出的一种证明命题的方法，请仔细阅读其关键步骤，你认为这种方法得出的结论正确吗？__________

A.正确B.不正确

C.不清楚该证明是否正确

6.有同学证明命题P（n）（n∈N*，n≥n0）成立，他用如下方式证明，你认为是否正确？_______

A.正确

B.不正确

C.不清楚不清楚该证明是否正确

【小调查问卷统计数据】：（以重庆育才中学高二年级三个平行班级为实验班级）

*本文系重庆市教育科学“十二五”规划2014年度重点课题——“基于促进学生理解数学本质的中学数学核心概念及思想方法的教学实践与评价研究”（课题批准号：2014-00-021）阶段性成果.