对一道抛物线习题的引申和拓展

贵州省遵义市第五中学　刘承辉

对一道抛物线习题的引申和拓展

贵州省遵义市第五中学刘承辉

在平常的学习中，我们不乏周而复始、简单重复的解题训练。对于一些习题，具有较强的示范性。在教学中教师要善于以这些习题为原型，引导学生进行适当引申、拓展和解题后的反思。这样不仅能充分发掘习题的潜在教学价值，而且对于提高学生学习积极性，培养探索性和创新精神大有帮助。本文仅对一道习题结论加以引申、拓展，供读者参考。

原题：过抛物线y2=2Px（P＞0）的焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-P2。

由此结论发现y1y2是一个常数，此结论不难证明（略）。

一、引申

1.原题条件不变，结论变化

（1）x1x2是常数

分析：（如图1）∵A、B两交点都在抛物线上

分析：如图1，由抛物线定义得：

2.条件与结论互换

分析：若AB垂直X轴，结论显然成立；若AB不垂直于X轴，设直线AB的斜截式方程y=kx+b（k≠0），且A（x1，y1）、B（x2，y2）

二、拓展

例设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点。点C在抛物线的准线上，证明直线AC经过原点O。

证明：（如图2）

∴直线AC经过原点O

由此可知，对于典型习题结论加以引申、拓展，不仅能收到举一反三触类旁通的功效，而且有利于激发学生的学习兴趣，培养思维的灵活性和深刻性。