例谈转化思想在数学解题中的应用

宁夏西吉中学 何永安

例谈转化思想在数学解题中的应用

宁夏西吉中学 何永安

所谓化归与转化思想，是指把需要解决或未解决的数学问题通过适当的方法进行转化，归结为已解决或者比较容易解决的问题，最终求得问题圆满解答的一种手段和方法。它贯穿于整个数学学习的始终，比如，一般与特殊的转化、常量与变量的转化、函数与方程的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、空间问题与平面问题的转化、实际问题与数学模型的转化，等等。下面仅通过几例说明转化思想在解题中的应用。

一、函数与方程的转化

函数与方程都是重要的数学思想，虽然概念不同，但它们之间有着密切的联系。方程可看成特殊的函数，而函数又是方程的拓展。函数y=f（x）的零点⇔函数y=f（x）图像与X轴交点的横坐标⇔方程f（x）=0的实数根。所以许多有关方程问题可以转化为函数问题来解决，反之，也有许多函数问题可以转化为方程来解决。

例1 设二次函数f（x）=（m-2）x2-6mx+6m-15与X轴有两个不同的交点，其中至少有一个交点在X轴的负半轴上，求实数m的取值范围。

分析：本题直接解要分三种情况，显然比较麻烦。若注意到至少有一个交点在X轴的负半轴上的反面却只有一种，即两个交点都在X轴的非负半轴上，先求这种情况下m的范围，再求其补集即可。

解：由以上分析，问题转化为一元二次方程（m-2）x2-6mx+6m-15=0有两个不同实数根，且至少有一个根在X轴的负半轴上，其反面为两个根都在X轴的非负半轴上，则m-2≠0且△=（-6m）2-4（m-2）（6m-15）＞0，即m＜-10或1＜m＜2或m＞2……（1），设两根分别为x1，x2，得不等式组

评析：本题由函数转化为方程，再通过正难则反的转化，使问题获得解决。

二、数与形的转化

数与形之间存在着一一对应关系，通过“以形助数”和“以数解形”，使数形达到了和谐的统一。但数与形之间可以相互转化，有许多代数问题潜藏着几何背景，由几何背景的特征，从数中构型把数学问题的数量信息转化为图形信息，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系直观化，由图形的特征寻找解决问题的途径。但也有一些几何问题，虽然图形较直观，其条件和结论相距甚远，解题的切入点不易找到；还有那些条件较多，与结论关系又不明显，不能一下子抓住它们特征的题目，若采用代数、三角及解析法，则解题思路比较明显，这些题目在平面向量、立体几何、平面解析几何中更为常见。

评析：本题由函数表达式转化为函数图像，由图像得到C的取值范围，直观明了，体现了数与形的转化。

三、实际问题与数学模型的转化

数学模型是许多实际问题的抽象概括，而实际应用问题又要通过建立数学模型，运用数学知识来解决，其思维过程归结为：（1）熟悉题目所提供的背景；（2）反复阅读背景材料；（3）建立数学模型，实际问题转化为数学模型；（4）求解这个数学模型；（5）还原。

例3 提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞。此时车流速度为0，当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。

（Ⅰ）当0≤x≤200，求函数v（x）的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x.v（x）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

评析：很明显，本题将实际问题转化为数学模型，通过数学知识使问题获得解决。

从以上几例可以看出，化归与转化思想具有灵活性和多样性，灵活运用转化思想解题，需要依据问题本身提供的信息，明确转化的目标，利用动态的思维，去寻求有利于问题解决的转化途径和方法。