《测量全义》中的数学天文学知识及其源流

邓可卉，陈亚君

（东华大学 人文学院，上海 201620）

《测量全义》中的数学天文学知识及其源流

邓可卉，陈亚君

（东华大学 人文学院，上海 201620）

《测量全义》被编入明末大型历算丛书《崇祯历书》中。以球面天文学在西方的发展为历史背景，重点探讨了《测量全义》中的有关知识。分析《测量全义》“球上三角形相易之法”中的“元形”“次形”三角形，并和欧洲近代以前的相关知识进行比较，探讨《测量全义》中“垂弧法”的来源及其在中国的流传，以及其中的计算昼夜长度的表格计算法等。认为《测量全义》在由弧角到弦的变换方面继承了西方古典传统。清代中算家在《测量全义》理论和概念的基础上进一步做了会通。

《测量全义》；球面三角法；球面天文；中算家

1　球面天文学的历史回顾与比较

球面天文学是西方天文学的基础。球面天文知识在古希腊已经产生，建立的基础是地圆说。由于这一知识体系的系统性和完整性，近代以来逐渐发展为天文学中的一门学科，一些球面上的点、圈、坐标系等概念在后世基本没有太大变化。

球面三角学问题的提出与发展源于球面天文学。在托勒密之前，在球面三角学方面做出成绩的首先是天文学家奥托利科斯（Autolycus of Pitane，约300BC），他的著作《关于运动的球》（On the Moving Sphere）和《关于上升和下落》（On Risings and Settings），批评了欧多克斯体系，但是书中内容只涉及球面天文，主要是关于平行于赤道的圈上的天球匀速圆周运动以及在地平圈上不同点的运动。此后，有以对比《至大论》而出名的《小天文学》；有欧几里得的《现象》（Phaenomena），这本书现存有希腊文本；还有德阿多西阿（Theodosius of Bithynia，约100BC）的《球面学》（Sphaerica）。德阿多西阿还有另外的关于球面天文学的书《关于昼夜》（On the Day and Night）和《关于居所》（On Habitation）。德阿多西阿的《圆球原本》旨在补充《几何原本》第12、13卷，建立在第3卷“关于圆”的基础上，并且涉及天球上的普通圆，但没有直接提到在天文学中的应用。这里没有涉及三角法，只是有一个关于球面三角的一致性法则的新结论。严格意义上的球面三角的计算是公元前2世纪由希帕克斯开始的，但是直到梅内劳斯（Menelaus，约公元1世纪）的《球面学》才使得球面三角成为数学的一个特殊分支。梅内劳斯的《球面学》后由意大利的毛罗利科（F Maurolico，1494—1575）在1558年印刷出版拉丁文本，此版本是在原始希腊文本散失后，基于阿拉伯文译本而成［1］。

梅内劳斯的《球面学》分3个部分展开。首先给出一系列的定义，球面三角形定义为由球面上的三个大圆弧组成，然后是35个命题，分别是关于这些三角形的一致性特点的调查，命题11陈述了三角形内角和大于180°。第2部分包括在德阿多西阿定则基础上的扩展，仍然没有球面三角学内容。第3卷系统陈述了球面三角学，第1个命题是梅内劳斯定则，有平面形式和球面形式两种，由托勒密（Ptolemaios，100—165）在《至大论》中给出证明［2］。

从古代到中世纪，平面和球面三角学的基本方向和所关注的问题没有变化，三角函数知识产生于天文学的定量研究，古希腊人最早开始研究三角函数，托勒密第一个做出了系统的表述。由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承和发展了希腊的三角术，许多阿拉伯数学家参与编制了精度较高的三角函数表。希腊三角术系统化的工作是9世纪天文学家阿尔巴塔尼（Al-Battani，858？—929）做出的，其《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文，对欧洲影响最大，该书中创立了系统的三角学术语，使得作为一门学科的球面三角学，其体系更加完整而严密，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了他的成果。

在托勒密《至大论》中大量球面天文学内容的基础上，13世纪英国数学家、天文学家萨克罗博斯科（Joannes de Sacrobosco，？—1258）根据拉丁文本的《天文学基础》，并参考《至大论》等书，写出欧洲最标准的天文学教科书《天球论》，从中世纪到近代的过渡期中，它广泛在各大学和一般知识界中普及。

中世纪以后一些学者在这方面做出了努力，三角学在欧洲真正得以确立应首推德国的雷琼蒙塔努斯（Regiomontanus，原名J Muller，1436—1476）的著作《三角全书》（1533）中所做的工作。

哥白尼在《天体运行论》第1、2卷中，是关于三角学和球面天文学的内容。虽然哥白尼在章首说“我在下面严格仿照托勒密的办法，用六条定理和一个问题来说明这一课题”，但是实际上哥白尼的论证方法和顺序有所调整，他对所说的“六条定理和一个问题”给出更加严密的逻辑证明和作图方法。

经过比较发现，《至大论》和《天体运行论》两部书中求弦长所用的图形基本一致，内容类似。《天体运行论》第13章中“平面三角形的边和角”和第14章中“球面三角形”是《至大论》中没有的内容，显然在14个世纪以后三角函数经由印度和阿拉伯数学家的发展，已经大为改观，哥白尼的学生雷蒂科斯（George Joachim Rheticus，1514—1574）在三角学方面做出了新的工作，在数学方法上完善了《天体运行论》。《天体运行论》球面三角学内容基本上以命题的形式展开，对于每一命题的各种可能性在题目和解的结果方面讨论都比较充分，多处引用《原本》的内容，在形式方面沿袭了定理的证明程序，并在最后有“证明完毕”。本文以西方数学天文学知识的产生与发展为背景，探讨《测量全义》知识体系的源流。

2　《测量全义》中的相关内容

《测量全义》完成于1631年，作者是耶稣会士罗雅谷（Jacqaes Rho，1593—1638），徐光启督修，这本书作为“法原”“法器”被编入明末大型天文历算丛书《崇祯历书》，系统介绍了西方数学天文学以及测量仪器和计算工具，继承了西方古典传统。

《测量全义》中的内容与西方数学天文学知识一脉相承。下面举一个例子说明。《测量全义》中的“球上三角形相易之法”中讲到的“元形”“次形”三角形等内容和《天体运行论》第14章中的类似，在这里哥白尼的“主题三角形”［3］被译成了“元形”，通过比较发现所作的图也一致。可见，“元形”“次形”法从梅内劳斯球面三角的两个定理发展而来。如图1三角形ABC是哥白尼的主题三角形，图2说明了梅内劳斯定理各弧段的关系。图3是托勒密在《至大论》中证明梅内劳斯定理的图。其中图1在梅文鼎的《弧三角举要》中演变为“次形法”（图4），可以把不易求解的三角形转化为易解的三角形。

托勒密在他的《至大论》中，为了讨论方便，首先把天球分为天极在地平圈上（正球）和天极不在地平圈上（欹球）两种情形［4］。关于球面天文的一些测算表格，托勒密在其《至大论》中最经常用到的就是“赤纬表”“升度表”和“昼夜长短表”。同样的，哥白尼讨论了“赤道、黄道与子午圈相交的弧和角”“测赤经、赤纬和过中天时黄道度的方法”“地平圈的交点”和“正午日影的差异”等问题后，给出了“赤纬表”“赤经表”和“斜球经度差值表”等。之后，他说明：“以上对与黄道有关的角度和交点的论述，是我在校核对球面三角形的一般讨论时从托勒密的著作中扼要摘引的。”哥白尼解决的球面天文学的一些问题与托勒密一致，但实际上他的论证更加严密而符合学科发展趋向。例如图5与图6分别是哥白尼在《天体运行论》中给出的计算球面三角的例子，而图6同样出现在梅文鼎的《弧三角举要》中，他认为“垂弧法”可以通过作一边的垂弧，把斜弧三角形化为正弧三角形。

图1　《天体运行论》中的主题三角形

图2　梅内劳斯定理

图3　梅内劳斯定理的证明

图4　次形法

图5　哥白尼的球面三角计算

图6　垂弧法

罗马教廷的克拉维斯（Christoph Clavius，1537—1612，德国人）1561年写出《萨克罗博斯科天球论注释》，多次修订出版，是当时的天文学百科全书。利玛窦作为克拉维斯在罗马学院的学生，来华后传授的天文学知识多依据此书。据白尚恕研究，罗雅谷等人的《测量全义》译著的底本吸收了克拉维斯（又称丁先生）的《实用几何学》（Geometri Practice，1611），玛金尼《球面三角学》（Et Trigonometrice Sphericonum，1609）等内容［5］。

3　《测量全义》之前介绍的球面天文知识

西方古典球面天文知识在《崇祯历书》编撰之前就已经传入中国了。相关的比较重要的书籍有利玛窦、李之藻合译的《乾坤体义》（1605），这是中国学者了解托勒密天文学的入门书，是克拉维斯传入中国的《天球论注释》的知识片段的译编本［6］。而邓玉函等人编撰的《测天约说》（1630）是为了修历而节取西方学科体系之部分，并集中了与测天有关的内容而译撰的。

《测天约说》首次介绍了球面天文的预备知识，结合天体运动之时度定义了赤道圈、经圈、纬圈、经度、纬度和地平圈、地平经度、地平纬度、顶极、底极；又明确了“地为圆体，故球上之每一点各有一地平圈，从人所居，目所四望者即是，其多无数”；接着给出了正球、欹球、平球的图示和定义，分别是：“正球者，天元赤道之二极在地平，则天元赤道与地平为直角，而左右各纬圈各半在地平上，半在地平下。”“欹球者，天元赤道之二极一在地平上，一在地平下。赤道与地平为斜角，而赤道与地平之各经纬圈，伏见多寡各不等。其极出地之度，为用甚大。测候者所必须也。”“平球者，一极在顶，天元赤道与地平为一线，各距等圈皆与地平平行也。”另外，书中特别指出，黄赤道相距是用赤道纬度进行度量的，这应该和古代希腊没有黄道极，所以一直以赤道纬度测量的传统有关［7］。关于天球运动的一些实际问题，给出了距度（天球上两点之间的距离）、升度（在赤道上度量的黄道的上升度）、日距圈（周日平行圈）、地平上点的出和入，又分别结合定义和平面图示举例说明了正球、欹球上不同的运动情况。

《测天约说》中首次引进了“正球”“欹球”“升度差”等概念，在罗雅谷、徐光启等人完成的《测量全义》中也有类似的内容，这是继承了古希腊天文学的内容。

4　《测量全义》中球面三角学及其应用

《测量全义》第7卷第3题有：“球上斜角形，全数上方形与两腰之正弦矩内形若两腰间角之矢与两矢之较。两矢者，其一为底弧（即角之对边）之矢，其一为两腰较弧之矢。”此术文的对应公式如下：

12：sin b sin c=versA:［vers a-vers（c-b）］①这里的vers表示“矢”，是中世纪三角学中的一种表示方法。

对以上命题的证明如下：

如图7，“论曰，丁甲酉、寅巳庚两形相似”，

图7　《测量全义》中的球面三角法

又乙巳辰、壬子酉两直角形相似，则

式（1）（2）相乘

即 12：sin b sin c=versA:［vers a-vers（c-b）］。

对于这一题除了“论曰”，又给出“图说”“解曰”“系”“二系”“解法”，其中“系”和“二系”是这个定理的两个推论。在《测量全义》卷7最后总结说：“球上三角形比类法，见宗动天诸问。向上诸篇皆先言其理（诸问见本篇八卷）。上法之外，尚多别法。或用实球，从球面界画诸圈测之，或用平立环浑仪测之，或用平浑仪测之，或用比例规，或用宗动天之象限，或用规于平面画图，以缀术算之，或先算成各度分之数，而列为立成表。俱有本书、本论、本捷法，然方之前法则竦而不密，故近来历家舍而不用也。古法用弦数推步七政，必须勾股、开平、立、三乘方等术，至繁而易紊，用力多而见功少，今悉置不用。”

以上对测量术进行了总结，给出大约7种测天方法，而最后一种所谓古法，应是指“弧矢割圆术”，因为繁杂，也弃之不用了。这些测天方法基本上涵盖了中古时期不同的数学家创造的方法。从卷7的内容来看，没有出欧洲中世纪之前的水平，大多把球面三角转换为平面三角，通过相似勾股形、《几何》比例诸法、割圆八线等解决，解决的途径是作平面投影图。这些内容和方法正好符合中算家的专长，传统勾股术、比例法，加上传入的割圆八线内容即可，所以清代许多中算家有的从西学角度，有的从传统中算角度，另有的人“会通中西”角度对三角学进行解释。

《测量全义》卷8“测球上大圈”，是关于球面三角在天文学中的应用，是在《测天约说》的基础上展开，可以计算两道各度分相距之纬度表；可计算每度之同直升表；还可藉此计算每度与过极圈之交角表［1］；以上内容都为计算日食之根本，为后面交食历奠定了基础，即可以据此确定月或者五星距离黄道的度数。《测量全义》卷8前面的内容都是作为后面的铺垫，第8、9卷在《崇祯历书》的其他书中运用和援引的最多，说明《测量全义》是《崇祯历书》天体测量的理论基础。

在《测量全义》卷8有最常用的一种计算昼夜长度的表格计算法，在《测量全义》卷8第3题有“有北极出地度及黄道之某点，求昼夜长短”。对于“昼夜长短”用小字解释为“即各欹球黄赤道同升之点”，并且用图8解释如下：从北极过日体作过极圈之弧癸丙甲，甲为赤道之一点，庚也是，辛为黄道上一点，它们同过子午圈，那么辛丙的2倍即为昼长。辛丙与庚甲等长，庚甲的余弧为甲乙，所以最终归结为求甲乙。利用前面的定理解球面三角形甲乙丙，即可计算甲乙。

《测量全义》指出，甲乙又为正球与欹球两升之差，是各不同地方昼夜长短之根。按照这个思路进一步分析得到，对于不同地方，只要按照相同的计算程序和方法计算不同的甲乙长度，即可得到不同的昼夜长短。最后，计算并列出诸方半昼分立成表。

《测量全义》的昼夜长度理论还强调了赤道、地平阔度（经度）为各种日晷之宗法。西式日晷的制造和使用在清代较为普遍的重要原因就是，西方三角学和球面天文学的传入更加明确了它的理论意义。

图8　计算昼夜长度

《测量全义》中球面三角学的引入，避免了中国传统历算中利用弧矢割圆术的明显缺陷，即计算的有限适用范围和近似计算公式，在由弧角到弦的变换方面继承了西方古典传统，引进了新型学科，消除了数学计算本身的误差，而且大大扩充了解题范围。不仅如此，建立在球面三角学基础上的球面天文也开始引进，内容包括，一系列球面天文弧、点、圈的概念和各个坐标量值等名词术语的建立，几个重要的球面天文坐标系的建立，各个坐标系量值之间的转换等等，在近代天文学传入之前，使得中国天文学传统受到冲击而进一步更新和发展。

5　清代学者对《测量全义》的研究

清代学者梅文鼎、戴震、焦循等人在罗雅谷《测量全义》的基础上进一步阐发，他们不但吸收了其中的投影法，把球面三角形转换为平面三角形，而且结合了中算传统。下面举例说明。

《测量全义》卷7第6节有“球上直角形各边角正弦等线之比例”，第1题的内容简要摘录如下：

欲明此论，宜以浑体解之。今权设浑象，以坚厚堵，作一圆形，中心折作直角，半平者，其弧如赤道之半周也。半立者，其弧如极分交圈之半周也。……如上图，乙丁圈为赤道，乙丙癸为黄道，乙寅为春秋分，癸为夏至，午辰为南北极，午癸丁为极至交圈，午丙为过极经圈，以限黄道之经度，容黄赤二道之距度。……则图中有直线直角形四，一癸巳卯，二戊丁卯，三丙辛壬，四子甲丑，因卯、壬、丑三角等，故三形俱相似。①据笔者考察，这幅图中有的点没有标出，因此有与述文不符之处，且这种现象在《测量全义》中其他地方还存在。

《测量全义》给出了以上文字的对应图，如图9。梅氏在《弧三角举要》中对此图形进行讨论时又在原图的基础上补充两条切线AP、AQ，从而增加了一个平面直角三角形APQ。他不仅给出若干新的三角函数关系，而且对《测量全义》中的公式进行了证明［8］。

图9　《测量全义》中的球面三角投影图

焦循在其《释弧》中对图10中的许多弧弦通过引入距等圈、经纬圈的概念而进行定义，考虑到弧三角形各个量的天文含义，并给出两个比例关系，即所谓“以正弦合经切，为半径与角切之比例；以黄弦合经弦，为半径与角弦之比例”。［9］

图10　梅文鼎《弧三角举要》中的解构

如图10，正弦=HC，经切=GC，半径=OM=OD，经弦=NM，黄弦=BR，角弦=DE，用公式表示，有

焦循指出，在应用上述公式时，只需清楚其中的两个量，就可求出第三个量；这些量之间的转换可以灵活应用。他将其应用于解三角形。他认为图11中庚丙寅经线可以在1～90度之间移动，不论移到何处，乙丙甲三弧都与乙癸辰三弧相似，且弧角互成比例。

图11　焦循以天文量定义三角形弧

焦循以传统数学角度重新认识三角学，试图将西方数学融入传统中算之中。他说：“《九章算术》方田章有圆田、弧田之术，圆为弧之合，弧为圆之分，于此可见。其术有周径，有半周半径，有矢、有弦，为割圆弧矢之术所从出，亦即三角八线之理所不能外也。”［9］

梅文鼎在《环中黍尺》中，再次应用平行投影法，把球面三角形投影到平面上，利用平面关系来解球面三角形和证明球面三角公式。他的问题是：如图12，在三角形丙乙丁中，已知丙乙、丁乙两弧及夹角乙角，求丙丁弧。

设有三角形乙丙丁，三个角分别为A、B、C，它们的对边分别为a、b、c。由投影关系进一步证明得到：

12：sinbsinc=vers A:［versa-vers（c-b）］（令半径=1）

证明过程如下：

由投影关系可知

寅辛=VersA，甲壬=sin b，丙辰=sin c。

根据距等圈原理和△壬丁子∽△丙己辰，有

丁壬∶甲壬=寅辛∶己辛

丙己∶丙辰=丁壬∶丁子

所以

图12　《环中黍尺》中的“先数后数法”法

梅文鼎分别称上述两式中的丁壬、丁子为“先数”“后数”。进一步可得：

令半径=1，则有

丁子∶VersA=（sin b·sin c）∶1

由图可知

丁子=午卯=午丙-卯丙=Vers a-Vers（b-c）=己卯-己午=cos（b-c）-cos a

即有［Vers a-Vers（b-c）］:VersA=（sin b·sin c）:1

所以1:（sin b·sin c）=VersA:［cos a-cos（b-c）］。

梅文鼎“先数后数法”等价于现代的余弦公式。

在焦循看来，梅文鼎的这些证明思路是不清晰的。在焦循的“初数后数法”中，他先给出“初数”“后数”的定义，接着又分别列出各种情形下的公式，给出证明，最后是公式的应用。可见，他继承了《测量全义》的写作体例，运用了西学演绎推理的方法。

焦循《释弧·卷下》提到“矢较之法”，包含“初数后数法”和“总弧存弧法”两种情况。［10］主要是利用投影原理证明球面三角公式。他说：“大弧小弧之和曰总弧，其较曰存弧。截总弧之所至而画之，为总弧之弦；以弦截矢，为总弧之矢。截存弧之所至而画之，为存弧之弦；以弦截矢为存弧之矢。……总弧之矢减存弧之矢曰两矢较。中两矢较而半之曰半矢较。”［9］按照他的定义作图13，乙丙丁三角形，B、C、A分别对应于乙、丙、丁三个顶点，b、c、a分别为对应三边。丙丁为大弧，乙丁为小弧；乙己=b+c为总弧，乙戊=b-c为存弧；己寅=sin（b+c），戊癸=sin（b-c），乙寅=Ver（b+c），乙癸=Ver（b-c）；寅癸为两矢较，癸卯=寅卯为半矢较。他先给出基本概念，再结合图形对各个基本概念进行分析，然后总结出一些类似于性质定理的公式并结合图形给出严密的推理论证，最后结合应用实例加以说明。

图13　焦循的“总弧存弧法”

焦循的天算研究成果主要有《释弧》《释轮》《释椭》，其书名说明他主要是对西方数学、天文学进行诠释。相较于梅文鼎，焦循在方法上更多地移植了西学的逻辑演绎方法，而在原理上则会通了中国传统数学，真正达到了贯通并阐释发挥西学的目的。

在解球面三角形时，梅文鼎和焦循都用到了“垂弧法”和“次形法”，这两种方法是中世纪发展起来的，通过《测量全义》介绍到了中国。所谓“垂弧法”是利用作斜弧三角形一边的垂弧，使之分为两个正弧三角形再进行求解。梅文鼎在《弧三角举要》中讨论了形内垂弧，而焦循在《释弧》中将垂弧分为形内垂弧和形外垂弧，对于不能用垂弧法解的，可以用“次形法”解之。梅文鼎总结道：“同类之说，只可施于两锐；异类之说，只可施于一钝两锐。”［11］

在焦循看来，“次形法”的原理是利用弧与角的对称、互余、互补情况，把原来不容易求解的三角形转化为比较容易求解的三角形。利用次形法可以避免对大于九十度的弧、角作三角函数的代数运算，使得全部三角函数定理都可以通过几何线段间的相互关系而获得。梅文鼎、焦循等人总结了作“次形”的基本方法有：取余边法、取对极法，根据不同的情况，有的取两边的余边或补边，有的取三边的余边或补边，还有的取次形的次形。

戴震在《勾股割圜记》中定义三角八线时，用到了一些古奥的术语，如本弧正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别被他称为“内矩分”“次内矩分”“矩分”“次矩分”“径引数”“次径引数”；他对弧三角八线的定义，则在本弧的对应三角八线名称前加一“即”字。由于他没有使用通用的术语，这让人很难掌握他的思想方法。

［1］OLAF PEDERSEN.A survey of the almagest odense［M］. Odense University，1976.

［2］邓可卉.希腊数理天文学溯源——托勒密《至大论》比较研究［M］.济南：山东教育出版社，2009.

［3］哥白尼.天体运行论［M］.叶式辉，译.北京：北京大学出版社，2006：33-37.

［4］TOOMER G J.Ptolemy’s almagest［M］.Gerald Duckworth& Co.Ltd，1984.

［5］白尚恕.《测量全义》底本问题初探［C］//科学史集刊编辑委员会.科学史集刊.北京：地质出版社，1984：143-159.

［6］樊洪业.耶稣会士与中国科学［M］.北京：中国人民大学出版社，1992：18.

［7］邓可卉.东汉空间天球概念及其晷漏表的天文学意义——兼与托勒密《至大论》相关问题的比较［J］.中国科技史杂志，2010，31（2）：196-206.

［8］李迪，郭世荣.清代著名天文数学家梅文鼎［M］.上海：上海科学技术文献出版社，1988：172-188.

［9］焦循.释弧［M］//焦氏丛书.清光绪二年刻本（1876）.

［10］王君，邓可卉.试论焦循对“总弧存弧法”的研究［J］.内蒙古师范大学学报（自然科学版），2009，38（4）：544-549.

［11］梅文鼎.弧三角举要［M］//郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷.郑州：河南教育出版社，1993.

Mathematics andAstronomy in Celiangquanyi

DENG Kehui，CHEN Yajun
（College of Humanities and Social Sciences，Donghua University，Shanghai 201620，China）

Celiangquanyi was firstly edited in Chongzhen Lishu.With spherical astronomy developing in Europe as the background，this paper studies the knowledge in it.It analyses Yuanxing“元形”and Cixing“次形”triangle in Celiangquanyi and compares them with related knowledge in modern Europe.It analyses the origin of Chuihufa“垂弧法”in Celiangquanyi and its spreading.It is thought that the transformation method from arc angle to chord in Celiangquanyi inherited the western classical tradition.The paper analyses the Chinese mathematician’s researches after their understanding thoroughly at last.

Celiangquanyi；method of spherical trangle；spherical astronomy；Chinese mathematician

N09

A

1672-2914（2016）02-0001-07

2015-12-10

国家自然科学基金项目（11373016）。

邓可卉（1966—），女，内蒙古呼和浩特市人，东华大学人文学院教授，博士生导师，研究方向为天文学史、中西天文学比较与交流等。