论高斯在保形投影方面的贡献

宋学峰

（西北大学 数学与科学技术史研究中心，陕西 西安 710127）

论高斯在保形投影方面的贡献

宋学峰

（西北大学 数学与科学技术史研究中心，陕西 西安 710127）

1822年高斯提出使任意两曲面在最小部分保持相似的投影（即保形投影）的一般解法，并将这一结果以论文的形式发表于1825年。由于大地测量工作的需要，促使高斯考虑任意两曲面间的保形投影问题。高斯利用曲面的第一类基本量将问题条件解析化；从曲面的参数方程出发，通过参数变换及消元法，在任意两曲面间建立保形投影。高斯这一工作深刻影响着他后来的大地测量学以及内蕴几何学。

高斯；大地测量；保形投影；一般解法

从古至今，数学一直是大地测量学的重要基石，而实质上大地测量学是几何学在地球上的综合应用，是一门研究地球形状大小和地球重力场，以及测定地面点几何位置的学科。因此，将地球保形（即保持最小部分相似）地投影到平面是研究大地测量学的一个有效方法，而保形投影问题早已开始被研究。早在希腊时期，托勒密（C Ptolemy，约100—170）在《平球法》中用到球极平面投影［1］131；1569年，墨卡托（G Mercator，1512—1594）作出一幅地图，用到著名的墨卡托投影［1］193；18世纪末，兰伯特（J H Lambert，1728—1777）、欧拉（L Euler，1707—1783）及拉格朗日（J L Lagrange，1736—1813）对球面到平面的保角投影都进行过不同程度的分析［2］；1825年高斯（C F Gauss，1777—1855）发表论文《将一给定曲面投影到另一曲面而使最小部分保持相似的一般解法》，首次对任意两曲面间的保形投影进行详细探究。［3］

就解决保形投影问题方法来看，高斯的一般解法最具有一般性，它可以在任意两曲面间建立保持最小部分相似的投影，因此，它可以被看作是解决保形投影问题乃至微分几何学的一个历史转折点。那么，高斯为什么会想到要给出一个一般解法？高斯是如何分析保形投影的一般解法？该一般解法的具体步骤是怎样的？文献［4-8］在介绍高斯的大地测量工作以及后期的内蕴几何学时提到高斯解决了任意两曲面间的保形投影问题，文献［9］论述了高斯发表的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而使最小部分保持相似的一般解法》产生的背景。本文将在前人研究的基础上，从原始文献出发，对高斯的这一工作进行分析，探究高斯本人对保形投影问题的想法。

1　一般解法的提出

18世纪末到19世纪初，随着拿破仑战争的发动以及欧洲经济发展的需要，迫使许多国家开始了全国的天文大地测量工作，其主要目的是为绘制全国地形图提供大量地面上点的精确几何位置，要进行这项工作就必须有各等三角测量的精密大地控制网。1816年，高斯的学生、德国天文学家舒马赫（H C Schumacher，1780—1850），受丹麦政府委托铺设从斯卡根（Skagen）到劳恩堡（Lauenburg）的三角网，并进行子午圈弧度测量，最后又将测量向南延伸到汉诺威王国的边界［4］。次年，舒马赫询问高斯是否有兴趣合作并向南部延续丹麦网。高斯曾第二次在不伦瑞克期间进行过一些大地测量的工作，他立刻被这个想法吸引［5］，于是向汉诺威政府提交了一份详细报告，说明弧度测量的必要性，很快他的计划和所需要的经费都得到批准，本人被任命为该项任务的领导者。因此高斯从事的整个大地测量工作及这方面的研究都和完成汉诺威弧度测量相关联［6］。当时高斯决定在地面上选取三座山峰Brocken、Hohehagen和Inselsberg的顶点构成一个大三角网，利用回照器以及最小二乘法测量推算两端点间的弧度。也正是为了该汉诺威三角网，高斯拟定并应用了旋转椭球面到平面的保形投影。由于后期大地测量工作的需要，他又设计将旋转椭球面保形地投影到球面。高斯深刻地意识到任意两个曲面间的保形投影对于测量工作的重要性，且在1816年7月5日，高斯写信给舒马赫：

我想到一个有趣的问题，即：一般地，将一给定曲面投影到另一（给定）曲面，使得在最小部分的图像与原像是相似的。一个特殊情形是，当第一个曲面是一个球面第二个是一个平面时，球极平面投影和墨卡托投影是特殊解法，然而，我们希望有一种对于任意类型的曲面都适用的一般的解法，它涵盖了所有这些特殊解法。［10］

舒马赫利用职务之便建议哥本哈根科学院将上述问题设为1821年的征奖竞赛问题，可是时经一年该问题仍没有得到解答。最后，这个问题由高斯于1822年12月11日正式解决［11］，且于1825年以题为《将一给定曲面投影到另一曲面而使最小部分保持相似的一般解法》的论文在一本天文学杂志Astronomischen Abhandlungen上发表，并具体给出其一般解法。

2　高斯对一般解法的分析

高斯首先对投影进行具体讨论，将一个曲面投影到另一个曲面实际上就是在两个曲面间建立一个映射。他详知曲面有三种表示形式，分别为一般方程、蒙日形式以及参数方程，对于该保形投影问题，我们看出高斯采用最后一种形式，分别设两个曲面为

其中t，u及T，U的值与各自曲面上的点一一对应，为曲面的曲纹坐标。对此，高斯在论文中明确指出：“这（映射）可以通过设T，U等于两个变量t，u的确定的函数来完成。”［12］193也就是当两个曲面的参数t，u与T，U间建立关系时，那么这两个曲面间的投影就建立了。

曲面间的投影有很多种，每一种都要满足各自相应的条件，因此，T，U关于t，u的函数就不再是任意的。它们需满足：（1）由两个曲面的性质决定的条件，比如平面和球面之间不能建立保长映射，这曾被欧拉论证过［2］；（2）投影要满足的条件，比如在最小部分保持相似。

对于保形投影，高斯采用无穷小分析法将这个具体问题数学化，把最小部分投影图像相似转化为任意对应小三角形相似，也就是对应弧长成比例以及对应夹角相等，且由弧长比值来衡量其相似程度。他利用勾股定理求出两对应弧长微元成比例也即两曲面的第一基本形式成比例，又因比例与dt、du无关得出第一个曲面上的第一类基本量a2+b2+c2，aa′+bb′+cc′，a′2+b′2+c′2与第二个曲面上第一类基本量A2+B2+C2，AA′+BB′+CC′，A′2+B′2+C′2对应成比例。利用余弦公式求出对应夹角的余弦，并由前面讨论的两曲面对应的第一类基本量成比例可推出对应夹角的余弦相等，因此他论述道：“第二个条件已蕴含在第一个条件之中。”［12］195这里的“第一个条件”指的是对应弧长成比例，“第二个条件”是对应夹角相等。最后得出该问题的条件可以解析地表示为即两曲面对应的第一类基本量成比例，它是t和u的函数。高斯把它设为m2，称m为“放大率比例”［12］19，且用它来刻画该投影的保形性。特殊情况下，比值会是一个常数，此时两曲面在有限部分是相似的；当比值为1时，这个有限部分的相似就会成为相等，也就是两个曲面可以相互展开。因此，综合以上分析可知，高斯解决保形投影问题的关键就在于该如何确立两曲面参数间的关系，并求出对应的放大率比例。

3　一般解法的步骤

高斯详细给出了该问题一般解法的具体步骤，即确定满足条件的T，U关于t，u的函数，求出对应的m。首先，为方便计算，他将原曲纹坐标（t，u），（T，U）变换为等温参数系下的坐标（p，q），（P，Q）。设第一个曲面上的弧长微元的平方为

现今称其为该曲面的第一基本形式。又设ω=0并将其因式分解为关于dt和du的两个一次因式乘积的形式，即

因此，上述两因子中至少有一个为零。高斯凭借把实解析函数看做复解析函数的技巧，利用两个变量的一次微分形式的积分因子的存在性，先令上述dt和du的两个因式均为零，再对其积分，最后设得出的结果为 p±iq=常量，其中 p，q是t，u的实函数。因此有

同理可得

这里P、Q、N均是T、U的实函数。其次，由上一部分对问题条件的分析可知如果两曲面在最小部分相似，那么它们的第一基本形式就得满足关系Ω=m2ω，因此有

高斯由此推出满足前面条件的P，Q与p，q之间的关系。由于上式右边一定是关于t，u的一个函数，那么上式左边的分子一定会被分母整除，因此对应于两种情况，也就是两种解法：dP+idQ可被dp+idq整除且dP-idQ可被dp-idq整除或者是dP+idQ可被dp-idq整除且dP-idQ可被dp+idq整除。对于第一种情况，如果dp+idq=0，那么必有dP+idQ=0，即如果p+iq=常量，那么P+iQ=常量，因此P+iQ是 p+iq的函数，同理P-iQ是p-iq的函数。对于第二情况，P+iQ为p-iq的函数，P-iQ为p+iq的函数。因此他设第一种情况为

f为任意函数，由 f的性质选取合适的 f′。为了使数组（p，q）分别经上述 f和 f′作用后得到的数组（P，Q）是相同的，如果 f中的系数全为实数，那么 f′与 f相同，否则 f′仅取 f的共轭即可。由于P，Q为T，U的实函数，p，q为t，u的实函数，因此通过上式相互约减可得

最后，由消元法可推出满足问题条件的T，U与t，u之间的函数关系。第二种解法得出的结果也是两曲面在最小部分相似，只是将第一种解法的结果位置颠倒。到此高斯总结性地说：“由此预先给定的问题就被完全地和非常一般地解决了。”［12］198

作为一般解法的结果，高斯由前面的推导具体给出了当 f和 f′选定后投影的放大率比例的计算公式。设对 f和 f′微分后的函数分别为φ和φ′，因此会有

根据式（1），高斯定义：放大率比例由式（2）确定。［12］199

式中∗=φ（p+iq）·φ′（p-iq）。 dp2=（dp）2，同理dq2=（dq）2，dP2=（dP）2，dQ2=（dQ）2。也即

为了说明解法的一般性，高斯在1825年的论文中给出五个例子，首先他用平面到平面的投影具体解释了它们之间是如何相似的，其次又分别列举出从直锥面、球面、旋转椭球面到平面的保形投影，最后给出将旋转椭球面保形地投影到球面的例子。1844年和1847年在舒马赫的杂志中刊登了高斯的两篇通称“大地测量学研究”的论文，这两篇论文中，高斯在上面第五个例子的基础上又引入一个常量，设 fυ=αυ-ilnk，对如何用旋转椭球面在球面上的保形投影理论来解决大地测量问题作出解答［4］。

4　结语

由于汉诺威弧度测量的需要，高斯意识到任意两个曲面间建立保形投影的重要性，并且详细地给出了该投影的一般解法。他首先将保形投影的条件解析化，从曲面的参数方程出发，为了方便计算将原曲纹坐标（t，u），（T，U）变换为等温参数系下的坐标（p，q），（P，Q），然后根据第一基本形式要满足的问题的解析条件推出P，Q与p，q之间的关系，再通过消元法得出T，U与t，u之间满足条件的关系，最后由放大率比例计算公式得出对应的放大率比例m。

高斯对保形投影一般解法的研究不仅解决了自己在1816年提出的问题，而且对他后期大地测量研究工作以及后来高斯-克吕格投影的形成具有重要意义。此外，高斯在解法中用到的曲纹坐标及给出的曲面的第一基本形式对其后来内蕴几何学的诞生做了很重要的铺垫，并在1827年发表的论文《关于曲面的一般研究》中提出“一个曲面本身就是一个空间”的内蕴几何思想。

［1］莫里斯·克莱因.古今数学思想：第1册［M］.张理京，张锦炎，江泽涵，等，译.上海：上海科学技术出版社，2014.

［2］STRUIK D J.Outline of a history of differential Geometry:I［J］.Isis，1933（19）：92-120.

［3］袁向东.高斯［C］//吴文俊.世界著名数学家传记.北京：科学出版社，1995：749-773.

［4］吴世杰，谢世杰.高斯在大地测量学上的成就［J］.测绘通报，1988（6）：1-5.

［5］BÜHLER W K.Gauss:a biographical study［M］.New York：Springer-Verlag，1981：95-96.

［6］巴格拉图尼P D.卡·弗·高斯——大地测量研究简述［M］.许厚泽，王广运，译.北京：测绘出版社，1957：16-17.

［7］PETER D.Differential geometry-150 years after gauss’disquisitiones generales circa superficies curves［J］.Asterisque，1979，62：1-153.

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［9］陈惠勇.高斯哥本哈根获奖论文及其对内蕴微分几何的贡献［J］.内蒙古师范大学学报（自然科学版），2007，36（6）：771-774.

［10］GAUSS C F.Gauss werke VIII［M］.Herausgegeben von der K.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1900：370-371.

［11］STACKEL P.Gauss als Geometer［M］//Gauss Werke X（2），Abhandlung 4.Herausgegeben von der K.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1900：90-92.

［12］GAUSS C F.Gauss werke IV［M］.Herausgegeben von der K.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1880.

Gauss’s Research in Terms of the Conformal Projection

SONG Xuefeng
（Center for the History of Mathematics and Science，Northwest University，Xi’an 710127，Shaanxi，China）

In 1822，Gauss proposed a general solution of the projection（Conformal projection）of keeping the smallest parts of any two surfaces similar，and published this result in the form of papers in 1825.Due to the need of Geodetic works，which encouraged Gauss to consider the problem of Conformal projection between any two surfaces；he used the the first fundamental amount of surface to brief the conditions of problem；from the parameters equation of the surface and by the parameter conversion and elimination method to establish conformal projection between any two surfaces.At last noting that this work of Gauss impact on his later Geodesy and intrinsic geometry deeply.

Gauss；geodesy；conformal projection；general solution

N09

A

1672-2914（2016）02-0025-04

2015-12-11

国家自然科学基金项目（11571276，11501444）。

宋学峰（1989—），女，山西阳高县人，西北大学数学与科学技术史研究中心硕士研究生，研究方向为近现代数学史。