傅里叶分析和小波分析的教学实践探索

廖翠萃

(江南大学 理学院，江苏　无锡　214122)



傅里叶分析和小波分析的教学实践探索

廖翠萃

(江南大学 理学院，江苏无锡214122)

为了更好地完善傅里叶分析和小波分析选修课的教学工作，讨论了这门课在实际教学过程中存在的问题，结合理论与实践教学经验，在理论讲述、讲述技巧、课堂形式上进行了一些尝试和调整，收到了良好的教学效果。

傅里叶分析； 小波分析； 教学方法

傅里叶分析和小波分析是迄今为止应用最广泛的数学工具，为工程应用和数学中的很多问题提供了解决办法。大多数院系信息相关的理工科专业都会把傅里叶分析和小波分析列为高年级本科生或者研究生的选修课。这门课程具有较强的数学背景，在信息领域的应用层面相当广泛，但在这门选修课教学过程中存在的一些问题还有待讨论和解决，对这门课程的教学方法研究目前还有待成熟和完善。

1　课程背景和选修课要求

1822年，法国著名数学家Fourier提出一种新的理论“热的解析理论”对当时数学物理学科的分析领域产生了重大影响，后来被誉为傅里叶分析方法[1]。傅里叶变换定义了“频率”的概念，用它可分析信号能量在各个频率成分中的分布情况。傅里叶分析对频谱分析带来了重大进展，但傅里叶分析并不是万能的，它无法做到局部分析，无法在频域信息中提供时间刻度。随后产生的小波分析弥补了傅里叶分析的这点不足。1974年由J. Morlet首次提出了小波变换的概念[2]，1986年著名数学家Y.Meyer构造出了一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的有效多分辨分析方法，此时小波分析逐渐蓬勃发展起来。小波分析是对傅里叶分析的发展，而傅里叶分析是对小波分析的支撑，它们同是信号分析中的主要方法。小波理论的进一步发展仍然离不开傅里叶分析的理论和方法。

傅里叶分析和小波分析作为数学的一类分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其他分支的发展。数学中很多重要思想的形成，都与傅里叶分析的发展过程密切相关。而傅里叶分析和小波分析是迄今为止应用最广泛的数学工具，它对工程应用的发展产生了深远的影响，其理论研究和应用是紧密结合在一起的，广泛应用于信号分析、图像处理、量子力学、理论物理、军事电子对抗与武器智能化、计算机分类与识别、音乐与语言的人工合成、医学成像与诊断、地质勘探数据处理、大型机械的故障诊断及数学领域的许多学科[2]。

这门课程以数学课程为基础，以解决信息技术领域为目标[3]，是“门槛高”“难度大”的选修课。通过学习，要求学生了解傅里叶分析与小波分析的发展历史，掌握多分辨分析的思想、尺度函数与小波函数的构造、波分析的分解与重构算法，了解多元小波分析和小波包的分解，会使用Matlab小波工具箱，能使用波分析理论解决实际应用问题。

2　课程教学中存在的一些问题

这门选修课在非信号处理专业的学科中的教学方法尚不成熟，在学习和教学过程中普遍存在以下三个问题：

2.1学生前续课程理论不扎实，贮备知识欠缺

傅里叶分析和小波分析的前续课程包括高等数学、线性代数、泛函分析、矩阵分析、计算机程序语言、Matlab等。波分析的数学原理需要较复杂和广泛的数学背景，其对数学知识贮备的要求很高，即使对于数学专业的学生也存在一定的难度。因此,对于大部分理工科专业的学生而言，这门课的入门台阶较高，大部分学生不完全具备符合要求的数学知识贮备，在多分辨分析原理的学习上存在较多障碍，无法按照要求掌握抽象的多分辨分析理论。理论上的欠缺直接影响继续学习和运用波分析工具。

2.2课程缺乏难易适中、形象易懂的教材

因为这门课的难度系数较大且应用层面广泛，国内外关于傅里叶分析和小波分析的教材数目并不丰富，且每个教材的侧重点不同，在知识框架的难度掌握上难以有合适的选择。有的教材侧重于其严密的数学原理证明，叙述抽象，难度很大，不便于作为选修课教材来学习；有的教材侧重于波分析的具体应用，对数学原理的介绍较为简略和概括，无法较好地阐述傅里叶分析和小波分析之间的联系与区别以及多分辨分析的理论本质，没有足够的理论支持就无法较好地掌握具体的应用。对于数学知识储备不足的学生来说，难以理解波分析的数学原理，直接影响波分析的理解和后续应用。从教师的角度来说，难以选择合适教材，通常指定一门教材后，在实际教学中经常需要补充相关的理论知识和实验，或者省略难度大晦涩难懂的证明；从学生的角度来说，难以选择到易于理解的参考书指导课后的学习。能够既将所需的数学原理叙述的形象而清晰，并且在此基础上展开波分析应用的教材，比较紧缺。这给实际教学带来了一定的困难。

2.3波分析应用范围相当广泛，教学难以深入

傅里叶分析和小波分析是应用最广泛的数学工具，其引用所跨领域五花八门，每个应用都是一门较深的学问。这门选修课也是一门新兴的课程，属于学科交叉范围的课程。对于一般教师来说，在选修课教学过程中难以把握好广度和深度，对社会热点中的波分析技术的掌握不足，无法兼顾波分析在多个领域中的具体应用，在引导学生的学习兴趣、开发学生的创造性思维上还需要更多的准备和努力。

3　在理论与实践教学中的探索

在实际教学过程中，笔者感到傅里叶分析和小波分析是一门非常符合高等教育理念的选修课，有助于培养学生数学逻辑能力、问题分析能力、计算机编程能力、理论联系实际的能力，其不仅扩展了学生知识领域和专业视野，还可以深入影响学生将来的就业和科研工作。为了更好地做好这门选修课的教学工作，笔者在以下几个方面做出了调整和尝试：

3.1强调波分析理论框架的思想，着重基本数学原理的讲授

波分析理论所需数学知识贮备较高，难度较大，学生对数学知识的准备程度不同，对波分析理论的掌握程度就各不相同。但是对于大多数学生来说，基本了解波分析理论的一般框架、认可波分析的基本数学原理，并不是一件难事。这部分内容又是傅里叶分析和小波分析理论部分的核心内容，在此基础上学生可以举一反三，根据兴趣做到自主学习和应用波分析理论去解决实际问题。所以在实际教学中要反复加强对波分析思想的讲述，重视对基础数学原理的阐述和证明，使学生能够较好地掌握波分析的核心理论。对于其他数学原理的讲述，应着重对其数学几何意义的阐述，丰富其在理论框架中的作用。对理论部分的讲解做到有重有轻，有利于提高授课质量，讲授核心思想，让学生掌握波分析的核心规律。

3.2遵循由易入难、由特殊到一般的学习规律，通过对比教学展现不同波分析工具的特点

多分辨分析理论较为抽象复杂，而Haar小波分析是小波分析中最简单的波分析工具，其理论框架隶属于多分辨分析的理论。Haar小波分析简单、形象，同时功能强大。在教学过程中对Haar小波分析的透彻讲解，非常有利于后面难度较大的多分辨分析理论的理解和掌握。在讲解多分辨分析理论中，及时回忆相应理论在Haar小波分析中的作用和意义，有利于学习和理解多分辨分析理论。

同时，在教学过程中注重对比教学, 不同波分析工具的特点和适用对象不同，除了在理论上对比讲述它们之间的区别外[4]，在实验效果上加强处理效果的对比，加深学生对不同波分析工具的理解。

例如，在讲完傅里叶分析后，引入小波分析。首先为了说明傅里叶分析的不足，可以对图1中的两个信号进行快速傅里叶变换比较它们的处理效果，即频谱图。图1中的两个不同的信号a和b，分别进行快速傅里叶变换后的频谱图非常相似，可知两个原信号都是主要由25 Hz,50 Hz,100 Hz,200 Hz这四个频率成分构成。虽然这两个信号频率构成成分相同，但由原信号图可知，每部分频率发生的时间段是不一样的，这个特征在傅里叶变换后的频谱图中，无法体现。这表明了傅里叶变换的缺陷就在于在无法提供信号的时刻信息。傅里叶分析是完全的频谱分析，无法提供时间刻度，而后来的小波分析能做到的是时频分析，在分析频域的同时，也可以提供某个频率发生的时间。图1中信号b经过小波分析后的时频图如图2所示，x轴是时间，y轴是尺度，注意尺度值越低代表的是高频率，尺度值越高代表的低频率。从图1中可以看出25 Hz,50 Hz,100 Hz,200Hz每部分频率发生的时间位置。这是小波分析的优于傅里叶分析的所在之处。小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

图1　对两个信号(左上、左下)分别经过快速傅里叶变换的频谱图结果(右上、右下)对比

通过对比实验，学生们不仅能够较直观地掌握知识要点，有利于理论知识的记忆和梳理，也有助于增强学生对动手实验部分的兴趣。对后面波分析工具的具体应用打下基础。

图2　对图1中的信号b进行小波分析的时频图

3.3翻转课堂，由学生们讲述对波分析原理的认识和应用

傅里叶分析和小波分析的应用非常广泛，在日常生活中也很常见，比如音频除噪、图像压缩，在浏览网页时就经常会遇到波分析工具的应用。相对于理论部分，波分析的应用有趣而生动，且与日常生活息息相关，也是学生们非常感兴趣的部分。在讲述了有代表性的音频除噪和图像压缩原理及其应用后，学生完全可以利用已经掌握的基础理论学习波分析在科技领域的应用。所以在讲授完多分辨分析理论之后，布置学生分组报告作业。分组报告的内容与波分析有关，可以是理论总结、课本练习中的Matlab过程实现、波分析各类应用介绍与实践等。学生们通过查找资料和与组内成员的讨论，分析原理，分析实验结果，发现问题，解决问题，组织一个PPT报告。

比如在实施过程中学生小组曾报告的题目有：“浅谈医学图像的压缩应用”“小波分析与图像处理”“多分辨分析对音频文件的除噪和压缩”“歌曲音频除噪的Matlab实现”“图片的融合和强化程序实现”“图像的加密实验”“小波分析在气象分析中的应用”“岩层探测中的小波探矿法”“股票k线图的小波分析应用”等。

这种形式的报告激发了学生的学习主动性和兴趣，抓住了学生的注意力，并且每个报告内容是不同的波分析应用或者不同深度、不同层面的应用实践，扩大了学生对波分析工具的应用视野。这种翻转课堂的形式在实际教学过程中收到了显著的效果，学生也在此过程中受益匪浅。

4　结论

傅里叶分析和小波分析是高等教育理工科专业的重要而有难度的选修课。这门课程对教师和学生的要求较高，在实践教学和学习过程存在一定的问题。本文介绍了笔者在理论讲述、讲述技巧、课堂形式这三方面做出了一定的调整和尝试。针对傅里叶分析和小波分析在教学过程中存在的问题，我们将继续积极进行探索和研究。希望在教师同行的共同努力下，为这门课的教学和发展做出有益的贡献。

[1]刘明才.小波分析及其应用[M].北京：清华大学出版社, 2005:2-5.

[2]Albert Boggess, Francis J Narcowich. 小波与傅里叶分析基础[M].芮国胜，康健,译.北京：电子工业出版社，2013:185-190.

[3]徐立祥, 牛欣, 顾泽宇,等.应用型本科院校信息与计算科学专业小波分析课程理论与实践教学的探索[J].科技视界, 2016(4):43-44.

[4]罗永, 成礼智.傅立叶变换与小波变换的比较教学[J]. 数学理论与应用, 2008, 28(4):105-108.

责任编辑俞林

Exploration on the teaching practice of Fourier analysis and Wavelets analysis

LIAOCuicui

(College of Science, Jiangnan University, Wuxi214122, China)

To improve the teaching method in Fourier analysis and wavelets analysis, problems in the teaching practice are discussed. With experiences in theory and practice of teaching, several experiments and adjustments are taken, which has obtained a good effect.

Fourier analysis; wavelets analysis; teaching method

2016-04-29

项目来源：国家自然科学基金资助项目(11401259)

廖翠萃(1983—)，女，河南唐河人，讲师，博士，研究方向:计算数学。

10.13750/j.cnki.issn.1671-7880.2016.04.007

G 712

A

1671-7880(2016)04-0023-04